TEORIA DELLA MAGNETOIDRODINAMICA
Richiami di elettromagnetismo
Equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell permettono di descrivere in maniera del tutto generale qualsiasi problema di elettromagnetismo. Si tratta di equazioni che legano i campi vettoriali E G
, B G , D G
, H G , j G
e la densità di carica q, indipendentemente dalle proprietà della materia.
− Solenoidalità dell’induzione magnetica: div B G = 0
− Teorema di Gauss: div D q G =
− Principio di conservazione della carica elettrica: div j G = 0
− Legge di Faraday-Neumann-Lenz: B
rot E t
= − ∂
∂ G G
− Teorema della circuitazione di Ampère: D
rot H j t
= + ∂
∂ G G G
− Legge di Ohm: G j = ⋅ σ ( E u B G + ∧ G G )
Equazione dell’induzione
Sostituendo le definizioni dei potenziali ( B rot A E G = G , G = − grad ϕ ) e combinando opportunamente le leggi di Lenz e di Ohm si ottiene un’espressione che descrive chiaramente il legame tra i campi i la corrente nella materia:
1 A
j grad u B
φ t σ
⋅ = − − ∂ + ∧
∂
G G
G G
Possiamo vedere chiaramente che la corrente che scorre in una sezione di un circuito elettrico elementare, che possiamo immaginare isolato, può nascere da tre differenti sorgenti:
− la differenza di potenziale applicata ai capi della sezione, grad − φ
− la forza elettromotrice indotta sulle cariche elettriche presenti nella sezione, −∂ ∂ A t G
− la forza elettromotrice generata dal moto del materiale nel campo magnetico,
u BG ∧ G Dato che div j G = 0
, queste tre sorgenti di corrente non possono essere considerate indipendenti:
div A u B
ϕ ∂
t
∆ = − + ∧
∂
G G G
Questa equazione mostra che la variazione nel tempo del flusso magnetico e lo spostamento di materia perpendicolare ad un campo magnetico fanno nascere una distribuzione di potenziale elettrico φ. Nei casi particolari in cui ( −∂ ∂ + ∧ A t u B G G G ) sia irrotazionale, questa distribuzione è tale per cui grad ϕ cancella esattamente il campo elettrico risultante; pertanto non può scorrere corrente.
Eccetto che in questi casi particolari, la corrente elettrica risulta solo dalla differenza locale tra il campo elettrico indotto ( −∂ ∂ + ∧ A t u B G G G ) e grad ϕ : i due campi si equilibrano sempre a vicenda.
L’esempio di un condotto rettilineo di sezione trasversale uniforme posto in un campo magnetico B G trasversale, permanente e uniforme illustra questo comportamento (Figura 1).
Figura 1: Condotto isolante immerso in un campo magnetico trasversale: traiettorie della corrente elettrica
Ipotizziamo che le pareti di questo condotto siano isolanti e che il flusso sia parallelo al suo asse. Il campo elettrico indotto ha solo una componente non nulla, lungo y, pari a
B u⋅ , ma distribuita non uniformemente nella sezione trasversale, dato che la velocità
uG
è funzione delle coordinate x e y. Se il magnete e il condotto sono molto lunghi, si potrebbe supporre che la densità di corrente rimanga nel piano della sezione trasversale (x,y). La conservazione della carica richiede che le linee di corrente elettrica siano curve chiuse contenute entro la sezione trasversale, essendo anche il suo contorno una di esse. Il solo modo di conciliare questi elementi è accettare che le cariche positive siano concentrate nella regione A e quelle negative nella regione B, affinché il campo elettrico creato da questa distribuzione di carica superficiale bilanci globalmente la forza elettromotrice.
Al centro del condotto, dove la velocità è massima, l’equilibrio è rotto in favore del campo mozionale
u BG ∧ G
e la corrente ha una componente diretta lungo y da B verso A. Vicino alle pareti,
dove la velocità è minima, l’equilibrio è rotto in favore di − grad φ e la corrente deve scorrere da A
verso B lungo la parete.
Eseguendo il rotore termine a termine, l’equazione precedente si trasforma in una relazione che descrive l’influenza reciproca tra il campo di velocità e il campo magnetico:
( ) 1
2B rot u B B
t
σ µ
∂ = ∧ + ⋅∇
∂ ⋅
G G G G
Forza di Laplace
Il principio che sta alla base della magnetoidrodinamica è la forza che agisce sulle cariche elettriche che si trovino a muoversi all’interno di un campo magnetico, che si va ad aggiungere alle consuete forze elettrostatiche. Tale forza prende il nome di “forza di Lorentz” ed è espressa come:
F q E G = ⋅ + ∧ G G j B G
Questa forza rappresenta il trascinamento collettivo di tutte le cariche elettriche che circolano nell’unità di volume. Questo trascinamento, sentito prima di tutto dagli atomi, viene trasmesso a tutta la materia situata nell’unità di volume.
In questa espressione, il primo termine rappresenta la forza di Coulomb, trascurabile nei materiali conduttori che ci interessano (ma importante in elettrostatica). Nelle approssimazioni dell’elettromagnetismo, la forza per unità di volume, chiamata “forza di Laplace”, è quindi
F G = ∧ G j B G
RICHIAMI DI MECCANICA DEI FLUIDI
Equazioni di stato
Nei liquidi semplici, due variabili quali la pressione e la temperatura sono sufficienti per definirne lo stato termodinamico. Tra le equazioni di stato di un liquido, la più semplice è
const
ρ =
dove ρ è la densità. Questo significa che il fluido è sia incomprimibile (ρ non dipende dalla
pressione p) e non dilatabile (ρ non dipende dalla temperatura T).
Equazione di continuità
Il principio di conservazione della massa applicato a un certo dominio materiale D richiede che
( ) 0
D D
d dv div u dv
dt t
ρ = ∂ ∂ ρ + ρ ⋅ =
∫ ∫ G
In ogni punto, il campo di velocità
uG
e la densità ρ sono pertanto legate dall’equazione
( ) 0
div u t
ρ ρ
∂ + ⋅ =
∂
G
Per i liquidi che ci interessano, l’equazione di stato ρ =
constfa ridurre questa equazione a 0
div u G = Equazioni di Navier-Stokes
Per fluidi newtoniani incomprimibili con viscosità invariante, l’equazione del moto, chiamata equazione di Navier-Stokes, è espressa come:
i i 2
j i i
j i
u u p
u u F
t x x
ρ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ⋅ ⋅∇ + ⋅ ρ ν ρ
I liquidi di nostro interesse sono influenzati dalla forza di gravità g G
e dalla forza di Laplace j B G ∧ G , quindi la densità volumetrica delle forze esterne è data da
F g j B
ρ ⋅ = ⋅ + ∧ G ρ G G G Useremo l’equazione di Navier-Stokes nella forma:
( ) 1
21
u u u p u g j B
t ν
ρ ρ
∂ + ⋅∇ ⋅ = − ⋅∇ + ⋅∇ + + ⋅ ∧
∂
G G G G G G G G G
Teorema di Bernoulli
Se il flusso è stazionario ( ∂ ∂ =
t0 ) e se la viscosità è trascurabile, allora si ottiene
2
2
p u g z const s
ρ + + ⋅ =
L’estensione di questa espressione alla MHD prevede l’aggiunta di un termine legato all’induzione magnetica:
2 2
2 2
p u B
g z const s
ρ + + ⋅ + ⋅ µ =
Considerazioni energetiche
Teorema di Poynting
Eseguiamo termine a termine il prodotto scalare tra l’equazione dell’induzione e il vettore B G µ :
( )
2 2
2
1 2
B B
rot u B B B
t
µ µ µ σ
∂ = ⋅ ∧ + ⋅ ⋅∇
∂ ⋅ ⋅
G G G G G
Si riconosce nel primo termine la derivata parziale rispetto al tempo dell’energia magnetica per unità di volume. Integrando questa equazione su un dominio D delimitato da una superficie chiusa S, otteniamo la derivata parziale dell’energia magnetica del dominio
2 M
2
D
E B dv
= µ
∫ ⋅ Date le identità
( )
( ) ( )
2
A B B rot A A rot B B grad div B rot rot B
∇ ⋅ ∧ = ⋅ − ⋅
∇ = −
G G G
G G G G
G G G
e la relazione di Ampère, il secondo termine della precedente equazione può essere riscritto:
( E H ) ( u B j ) σ 1 j
2−∇ ⋅ G G ∧ G + ∧ G G G ⋅ − ⋅ Usando il teorema della divergenza, l’integrazione porta a:
( ) ( )
2M
S D D
E E H n dS j B u dv j dv
t σ
∂ = − ∧ ⋅ − ∧ ⋅ −
∂ w ∫∫ G G G ∫ G G G ∫
L’interpretazione delle due ultime quantità del secondo membro è diretta:
2 J
D
D j dv
= ∫ σ
è l’energia dissipata in calore per effetto Joule nel dominio D nell’unità di tempo, e
( )
em D
j B u dv
= ∫ G ∧ G ⋅ G P
è la potenza delle forze elettromagnetiche. Mostreremo in seguito che l’energia magnetica così rimossa è trasformata in energia cinetica. E’ interessante anche combinare questi due termini come
em J
D
D E j dv
+ = ∫ G G ⋅ P
per comprendere che insieme essi rappresentano la potenza totale fornita alle cariche che circolano
nel dominio D. Parte di questa potenza, usata per guidare il flusso di carica contro la resistenza
ohmica del materiale, corrisponde al riscaldamento per effetto Joule. Il resto viene trasformato in
potenza meccanica dalla pressione collettiva degli elettroni sugli atomi e globalmente sulla materia.
L’altra grandezza a secondo membro è costruita come flusso del vettore E H G ∧ G
, chiamato vettore di Poynting. Per comprenderne il significato, sostituiamo ad E G
la sua espressione in funzione dei potenziali:
( ) ( )
P
D D D
E H n dS H n dS A H n dS
ϕ ∂
t
Φ = ∧ ⋅ = − ∇ ∧ ⋅ − ∧ ⋅
∂
∫∫ ∫∫ ∫∫
G G G G G G G G G
w w w
e distinguiamo due contributi a questo flusso Φ
P. L’identità
( )
H rot H rot H
ϕ ϕ ϕ
∇ ∧ = G G ⋅ G − ⋅ G
e la relazione di Ampère permettono di riscrivere il primo termine come
( )
1
S D
rot ϕ H n dS ϕ j n dS Φ = − w ∫∫ ⋅ G ⋅ G + w ∫∫ ⋅ ⋅ G G
Dato che il flusso di un rotore attraverso una superficie chiusa è identicamente nullo, si ha che
1 D
j n dS
ϕ
Φ = w ∫∫ ⋅ ⋅ G G
Consideriamo una superficie chiusa come quella di figura 2, contenente un generatore che alimenta un circuito, del quale alcuni elementi, specialmente l’elemento dissipativi, sono situati all’esterno del dominio D.
Figura 2: Interpretazione del flusso del vettore di Poynting come trasferimento di energia per conduzione a una parte di circuito situata al di fuori del dominio D
Il contributo all’integrale viene soltanto dalle sezioni trasversali S
1e S
2dei conduttori di collegamento che tagliano la superficie S. Con l’approssimazione dei conduttori lineari otteniamo
( )
1 2
1 2 1
S S
j n dS j n dS I
ϕ ϕ ϕ ϕ
Φ = ∫ ⋅ ⋅ G G + ∫ ⋅ ⋅ G G = ⋅ − dato che la corrente I che scorre attraverso i conduttori è
2 1
S S
j n dS ⋅ = − j n dS ⋅ = I
∫ G G ∫ G G
La quantità
I⋅ ( ϕ ϕ
2−
1) rappresenta la potenza persa dalle cariche elettriche tra le sezioni S
2e S
1al di fuori del dominio D. La frazione Φ del flusso del vettore di Poynting è allora una potenza
1fornita dalla conduzione delle cariche elettriche che lasciano il dominio D per vincere le perdite che incorrono trasformando questa energia.
Per interpretare il contributo complementare
2 S
A H n dS t
∂
Φ = − ∧ ⋅
∂
∫∫
G G G
w
scegliamo, come dominio materiale, il circuito magnetico di figura 3.
Figura 3: Interpretazione del flusso del vettore di Poynting come potenza radiata dal circuito magnetico
Ipotizziamo che sia un circuito magnetico ideale, cioè che tutta l’induzione magnetica passi attraverso il nucleo magnetico (
HG = 0
fuori dal dominio, G j = 0
nel giogo laminato). Si ottiene:
M 2
E t
∂ = −Φ
∂
Di conseguenza, Φ rappresenta la potenza istantanea radiata al di fuori del circuito magnetico. In
2corrente alternata, E
Massume lo stesso valore dopo un periodo e il valor medio di Φ nel periodo
2è nullo. Si può quindi pensare che l’energia magnetica sia periodicamente immagazzinata e rilasciata nel circuito magnetico.
Il fenomeno di induzione che abbiamo appena toccato per interpretare il flusso del vettore di
Poynting è una proprietà fondamentale. Non si può descrivere completamente lo scambio di energia
associata con esso, senza distinguere tra potenza attiva (legata alla dissipazione per effetto Joule) e
potenza reattiva (legata al continuo scambio ciclico di energia magnetica).
Il bilancio dell’energia elettromagnetica può essere riassunto dall’espressione
M s P em J
dE D
dt = − − − φ φ P − in cui i vari termini rappresentano:
− dE
Mdt è la variazione di energia magnetica del sistema;
−
s2
2( )
S
B u n dS
φ = w ∫∫ ⋅ µ ⋅ ⋅ G G è la fuoriuscita netta di energia magnetica;
− φ
Pè il flusso del vettore di Poynting;
−
em( )
D
j B u dv
= ∫ G ∧ G ⋅ G
P è la potenza delle forze elettromagnetiche;
−
2 J
D
D j dv
= ∫ σ è la potenza dissipata per effetto Joule.
Teorema dell’energia cinetica
Senza entrare troppo nel dettaglio, l’espressione per il teorema dell’energia cinetica è:
K
s em c v
dE D
dt = + P P + − P Vediamo brevemente cosa rappresentano i vari termini:
− dE
Kdt è la variazione di energia cinetica del sistema;
− P è la potenza delle forze superficiali esterne, include la potenza delle forze di attrito, delle
sforze di pressione e delle forze gravitazionali;
−
em( )
D
j B u dv
= ∫ G ∧ G ⋅ G
P è la potenza delle forze elettromagnetiche;
− P è la potenza di compressione, identicamente nulla per liquidi incomprimibili;
c− D rappresenta la potenza dissipata in calore dalla viscosità.
vE’ interessante notare che la somma E
M+ E
Knon è assolutamente affetta dalla potenza delle forze elettromagnetiche, e soffre di una dissipazione totale D
J+ D
v:
(
M K)
c s s P(
J v)
d E E D D
dt + = + − − − P P φ φ +
Energia termica
L’ultima equazione, che deriva dalla prima legge della termodinamica, e che chiude il sistema di equazioni della magnetoidrodinamica dei liquidi è quella che descrive l’accumulo di energia termica come bilancio del flusso termico di conduzione e delle dissipazioni elettriche (effetto Joule) e meccaniche (attriti):
( )
2 vdT j
C div T
ρ dt κ φ
⋅ ⋅ = ⋅∇ + G σ +
Condizioni al contorno
Condizioni al contorno per le grandezze meccaniche e termodinamiche
Le condizioni al contorno sono espressioni delle leggi generali applicate a un dominio ridotto ad una parte infinitesima della superficie che limita il fluido in moto. Gli argomenti usati per scrivere tali condizioni si basano, generalmente, su una sezione di un cilindro elementare come quello di figura 4, dove si suppone che l’altezza ε sia un infinitesimo di ordine più alto rispetto al diametro.
Figura 4: Tronco di cilindro elementare costruito sulla superficie S di separazione tra due materiali (1) e (2) per stabilire le condizioni al contorno
L’assioma di equilibrio locale in questo dominio implica la continuità della velocità e della temperatura (qualsiasi discrepanza sarebbe assorbita in un tempo molto più breve del tempo caratteristico del flusso). Abbiamo, quindi,
( )1 ( )2
u
G =
uG
( )1 ( )2
T = T
Si noti che il principio di conservazione della massa richiede la continuità della componente di
velocità ortogonale alla superficie.
Condizioni al contorno sulle grandezze elettromagnetiche
L’equazione di continuità del campo magnetico applicata alla regione di interfaccia di figura 4 porta alla continuità delle componenti normali del campo magnetico:
( )2 ( )1
B
G ⋅ =
n BG G ⋅
nG
Per scrivere l’equazione di Ampère nelle vicinanze di un’interfaccia, è utile considerare un contorno chiuso, come quello di figura 5.
Figura 5: contorno ABCD costruito su entrambi i lati della superficie S per scrivere la legge di Ampère al confine
Usando il teorema di Stokes, otteniamo la continuità della componente tangenziale dell’induzione magnetica:
( )2 ( )1
t t
H
=
HEquazioni della magnetoidrodinamica
Sistema completo MHD
Il sistema di equazioni che abbiamo ottenuto per un fluido incomprimibile e non dilatabile con proprietà fisiche invarianti è il seguente:
( )
22
2 2
0
1
1 1
v
div u div B
B rot u B B
t
du p u j B
dt
dT j
C T
dt
σ µ
ρ ν ρ
ρ κ φ
σ
= =
∂
= ∧ + ⋅ ∇
∂ ⋅
= − ⋅ ∇ + ⋅ ∇ + ⋅ ∧
⋅ = = ⋅ ∇ + +
G G
G G G G
G G G G G
Disaccoppiamento delle equazioni
Il termine rot u B ( G ∧ G ) è, di solito, trascurabile rispetto agli altri termini dell’equazione dell’induzione. Il sistema può essere, quindi, disaccoppiato in tre parti.
La soluzione di un problema MHD consiste nella soluzione successiva di:
− Un problema di elettromagnetismo basato sulle seguenti equazioni
2
0 1 div B
B B
t σ µ
=
∂ = ⋅∇
∂ ⋅
G
G G
− Un problema di meccanica dei fluidi basato sulle seguenti equazioni
2
0
1 1
div u
du p u j B
dt ν
ρ ρ
=
= − ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅ ∧
G
G G G G G
− Un problema termico basato sull’equazione
2 2
v