I Appello di Analisi Stocastica 2009/10

I Appello di Analisi Stocastica 2009/10

Laurea Magistrale in Matematica

17 marzo 2010

Esercizio 1. Sia {Bt}t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità completo (Ω, F, P). Per M, t0, h > 0introduciamo i seguenti eventi:

A^{(M )}_t0,h := �

|Bt0+h− Bt0| ≤ Mh} , C_t^{(M )}_0,h := A^{(M )}_t0,h ∩ A^{(M )}t0+h,h∩ A^{(M )}t0+2h,h = �

|B(t0+ih)+h− B(t0+ih)| ≤ Mh , per i = 0, 1, 2} . (a) Si mostri che P(A^{(M )}_t,h )≤ M√

h, per ogni M, t, h > 0.

(b) Si mostri che P(C_t,h^{(M )})≤ M³h^3/2, per ogni M, t, h > 0.

Per M > 0 e n ∈ N introduciamo gli eventi

D^{(M )}_n :=

2ⁿ

�

k=1

C^{(M )}k

2n,_2n¹ , G^{(M )} := lim sup

n→∞ D^{(M )}_n . (c) Si mostri che P(D^{(M )}n )≤ M³2^−n/2, per ogni M > 0 e n ∈ N.

(d) Si mostri che P(G^{(M )}) = 0, per ogni M > 0. In altri termini, q.c. si verifica solo un numero finito di eventi D^{(M )}n .

(e) (*) (facoltativo) Sia f : [0, ∞) → R una funzione continua tale che esiste s ∈ (0, 1) in cui f è derivabile. Si mostri che esiste una costante M > 0 tale che per ogni n ∈ N esiste k∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che |f(^k+i2ⁿ +₂¹n)− f(^k+i2ⁿ)| ≤ M2¹ⁿ, per i = 0, 1, 2.

Si proceda nel modo seguente:

- Si mostri che esiste L > 0 tale che |f(s + h) − f(s)| ≤ L h per ogni h ∈ [0, 1].

- Per n ∈ N sia k ∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che ^k₂⁻¹n ≤ s < ₂^kn. Applicando la disuguaglianza triangolare, si mostri che |f(^k+i+12ⁿ )− f(^k+i2ⁿ)| ≤ L (2i + 3)2¹ⁿ e si concluda ponendo M := 7L.

(f) Si concluda che q.c. il moto browniano non è derivabile in nessun punto s ∈ (0, 1).

Soluzione 1. (a) Dato che Bt₀+h− Bt0∼ N(0, h), si ha (Bt₀+h− Bt0)/√

h∼ N(0, 1) e dunque P(|Bt0+h− Bt0| ≤ Mh) = P�����Bt0+h√− B^t0

h

��

�� ≤ M

√h

�

=

�M√ h

−M√ h

e^−x2/2

√2π dx

≤

� M√ h

−M√ h

√1

2πdx = 2

√2πM√ h≤ M√

h .

(b) Per l’indipendenza degli incrementi del moto browniano e per il punto precedente P(A^{(M )}_t,h ∩ A^{(M )}t+h,h∩ A^{(M )}t+2h,h) = P(A_t,h^{(M )})· P(A^{(M )}t+h,h)· P(A^{(M )}t+2h,h)≤ (M√

h)³= M³h^3/2. (c) Per il punto precedente

P(D^{(M )}_n ) = P

�₂n

�

k=1

C^{(M )}k 2n,_2n¹

�

≤

2ⁿ

�

k=1

P

� C^{(M )}k

2n,_2n¹

�

≤ 2ⁿM³

� 1 2ⁿ

�3/2

= M³ 2^n/2. (d) Per il punto precedente�

n∈NP(D^{(M )}n )≤ M³�

n∈N2^−n/2<∞, quindi P(G^{(M )}) = 0per il Lemma di Borel-Cantelli.

2

(e) • Se f è derivabile in s ∈ (0, 1) esiste finito il limite di (f(s + h) − f(s))/h, per h → 0;

in particolare, esistono costanti L^�, ε > 0tali che |f(s + h) − f(s)|/h ≤ L^�per ogni h∈ [0, ε]. Dato che la funzione f è continua, essa è limitata nell’intervallo [s, s + 1];

di conseguenza, esiste L^�� > 0tale che |f(s + h) − f(s)|/h ≤ L^�� per ogni h ∈ [ε, 1].

Ponendo L := max{L^�, L^��} si ha dunque che |f(s + h) − f(s)|/h ≤ L per ogni h ∈ [0, 1].

• Applicando la disuguaglianza triangolare e quanto appena mostrato, possiamo scrivere

��

��f

�k + i + 1 2ⁿ

�

− f

�k + i 2ⁿ

����� ≤

��

��f

�k + i + 1 2ⁿ

�

− f(s)

��

�� +

��

��f

�k + i 2ⁿ

�

− f(s)

��

��

≤ L�����k + i + 1 2ⁿ − s

��

�� +

��

��k + i 2ⁿ − s

��

��

� , e se^k₂⁻¹n ≤ s <2^kn si ottiene

��

��k + i + 1 2ⁿ − s

��

�� +

��

��k + i 2ⁿ − s

��

�� ≤i + 2 2ⁿ +i + 1

2ⁿ = (2i + 3)1 2ⁿ.

Per i = 0, 1, 2 si ha 2i + 3 ≤ 7; ponendo M := 7L, abbiamo dunque mostrato che

|f(^k+i+12ⁿ )− f(^k+i2ⁿ)| ≤ M2¹ⁿ.

(f) Sia ω ∈ Ω tale che la funzione t �→ Bt(ω)sia derivabile in un punto s = s(ω) ∈ (0, 1). Per il punto precedente, esiste M = M(ω) > 0 tale che per ogni n ∈ N esiste k = k(ω) ∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che |B^k+i

2n+_2n¹(ω)− B^k+i

2n(ω)| ≤ M₂¹n, per i = 0, 1, 2. Questo significa precisamente che ω ∈ C^{(M )}k

2n,_2n¹ . Quindi ω ∈ D^{(M )}n , per ogni n ∈ N, e dunque ω ∈ G^{(M )}. Abbiamo mostrato l’inclusione di eventi

{s �→ Bsè derivabile in qualche punto s ∈ (0, 1)} ⊆ �

M∈N

G^{(M )}. Per i punti precedenti, P(G^{(M )}) = 0per ogni M > 0 e dunque P(�

M∈NG^{(M )}) = 0.

3

Esercizio 2. Su uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F, {Ft}t∈[0,∞), P)sono definiti un {Ft}t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,∞) e un processo continuo e adattato X = {Xt}t∈[0,∞)che risolve la seguente equazione differenziale stocastica:





dXt = c XtdBt + Xt

1 + X_t²dt X0 = x0

, (1)

dove x0, c > 0sono numeri reali strettamente positivi fissati.

(a) Sia X^�={Xt^�}t∈[0,∞)un altro processo continuo e adattato definito su Ω che risolve l’equazione (1). Si mostri che, per ogni T > 0 fissato, i processi {Xt}t∈[0,T ]e {Xt^�}t∈[0,T ]sono indistinguibili, ossia P(Xt= Xt^�, ∀t ∈ [0, T ]) = 1. Si deduca che P(Xt= Xt^�, ∀t ∈ [0, ∞)) = 1.

Definiamo ora i processi Y = {Yt}t∈[0,∞)e Z = {Zt}t∈[0,∞)ponendo Yt := e^−cBt, Zt := XtYt = e^−cBtXt.

(b) Si mostri che Y è un processo di Itô e se ne calcoli il differenziale stocastico.

(c) Si mostri che Z è un processo di Itô e che si ha



 dZt =

� 1

1 + X_t² − c² 2

� Ztdt Z0 = x0

. (2)

(d) Si mostri che il processo �Z ={ �Zt}t∈[0,∞), definito da Z�t := x0exp

�� t 0

1

1 + Xs²ds − c² 2t

�

, (3)

soddisfa l’equazione (2).

Ammetteremo che per l’equazione (2) ci sia unicità per traiettorie.

(e) Si mostri che P(Zt> 0 , ∀t ≥ 0) = 1. Si deduca che la variabile τ := inf{t ∈ [0, ∞) : Xt= 0} (dove inf ∅ := +∞) vale q.c. +∞.

Soluzione 2. (a) Le funzioni σ(x) := c x e b(x) :=_1+x^x2 hanno derivata limitata sull’intera retta reale (σ^�(x) = c, |b^�(x)| = |(1+x^1−x22)²| ≤(1+x^1+x22)² =_1+x¹2 ≤ 1), quindi sono lipschitziane e hanno crescita al più lineare all’infinito.

Sono dunque soddisfatte le ipotesi standard del teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali stocastiche visto a lezione: di conseguenza, per ogni T > 0, per l’equazione (1) con insieme dei tempi ristretto a t ∈ [0, T ] c’è unicità per traiettorie. Questo significa che le due soluzioni {Xt}t∈[0,T ]e {Xt^�}t∈[0,T ]sono indistinguibili, cioè P(Xt= X_t^�, ∀t ∈ [0, T ]) = 1.

Osservando che l’evento {Xt= X_t^�, ∀t ∈ [0, T ]} è decrescente in T e {Xt= X_t^�, ∀t ∈ [0, ∞)} = �

T∈N

{Xt= X_t^�, ∀t ∈ [0, T ]} ,

dalla continuità dall’alto della probabilità segue che P(Xt= X_t^�, ∀t ∈ [0, ∞)) = 1.

(b) Y è un processo di Itô perché è funzione C²del moto browniano B, che è un processo di Itô.

Applicando la formula di Itô si ottiene

dYt = −c e^−cBtdBt + 1

2c²e^−cBtdt . (4)

(c) Z è un processo di Itô perché prodotto dei due processi di Itô X e Y (il prodotto (x, y) �→ xy è una funzione C²). Per la formula di integrazione per parti stocastica si ha

dZt = d(XY )t = XtdYt + YtdXt + d�X, Y �t.

4

Dalle relazioni (1) e (4) segue che d�X, Y �t=−c²Xte^−cBtdt = −c²Ztdt, per cui dZt = Xt

�

−c e^−cBtdBt + c² 2 e^−cBtdt

�

+ e^−cBt

�

c XtdBt + Xt

1 + X_t²dt

�

− c²Ztdt

=

� 1

1 + X_t² − c² 2

� Ztdt .

(d) Chiaramente �Z0 = x0. Per ogni ω ∈ Ω, la funzione t �→ �Zt(ω) è derivabile (infatti t�→�t

0 1

1+Xs(ω)²ds è derivabile per il teorema fondamentale del calcolo). Di conseguenza, applicando l’ordinaria formula di derivazione per le funzioni composte si ottiene

d �Zt

dt = x0exp

��t 0

1

1 + X_s²ds − c² 2t

�

·

� 1

1 + X_t² − c² 2

�

= �Zt

� 1

1 + X_t² − c² 2

� . Sempre per il teorema fondamentale del calcolo si ha dunque

Z�t− �Z0 =

� t 0

d �Zs

ds ds = � t 0

Z�s

� 1

1 + X_s² − c² 2

� ds , che non è altro che l’equazione (2) in forma integrale.

In alternativa, si poteva notare che {Wt:=�t

0 1

1+X_s²ds −^c2²t}t≥0è un processo di Itô. Si osservi che dWt= (_1+X¹ 2

t −^c2²)dt, quindi d�W �t= 0. Dato che �Zt= x0e^Wt, per la formula di Itô si ha

d �Zt = x0e^WtdWt = �Zt

� 1

1 + X_t² − c² 2

� dt .

(e) Dalla relazione (3) segue immediatamente che, q.c., �Zt> 0per ogni t ≥ 0. Di conseguenza, q.c., anche Zt> 0per ogni t ≥ 0, perché Z è indistinguibile da �Z. Dato che Xt= Zt/Yt= Zte^cBt, si ottiene che, q.c., Xt> 0per ogni t ≥ 0, dunque τ = +∞.