II Appello di Analisi Stocastica 2009/10

II Appello di Analisi Stocastica 2009/10

Laurea Magistrale in Matematica

25 marzo 2010

Esercizio 1. Sia {Bt}t∈[0,∞) un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità completo (Ω, F, P). Introduciamo la funzione f = [0, 1/e] → R definita da f(0) := 0 e per t > 0

f (t) := √ 2t

� log log

�1 t

� .

Sia {tn}n∈Nuna successione fissata, strettamente decrescente e infinitesima (tn↓ 0 per n → ∞).

Per n ∈ N e ε > 0 definiamo gli eventi

A^(ε)_n :=

� sup

s∈[tn+1,tn]

Bs

f (s)> (1 + ε)

�

, C_n^(ε) :=

� sup

s∈[0,tn]

Bs≥ (1 + ε)f(tn+1)

� . Si verifica facilmente (non è richiesto di farlo) che la funzione f è crescente in [0, u0]con u0> 0.

Definiamo quindi n0:= min{n ∈ N : tn< u0}, di modo che per ogni n ≥ n0si ha tn< u0. (a) Si mostri che vale l’inclusione di eventi A^(ε)n ⊆ Cn^(ε)per ogni n ≥ n0e ε > 0.

[Sugg.: si usi il fatto che la funzione f(s) è crescente per s ∈ [tⁿ⁺¹, tn], per n ≥ n⁰.]

(b) Si mostri che P(Cn^(ε)) = 2 P�

Btn ≥ (1 + ε)f(tⁿ⁺¹)�

, per ogni n ∈ N e ε > 0.

[Sugg.: si sfrutti il principio di riflessione.]

(c) Sfruttando la stima P(B1≥ x) ≤ ^√1_2πx¹e^−12x2, valida per ogni x > 0, e lo scaling diffusivo del moto browniano, si deduca che

P(A^(ε)_n ) ≤ 2

√2π

√tn

(1 + ε)f (tn+1) exp

�

−(1 + ε)²f (tn+1)² 2 tn

�

, ∀n ≥ n0, ∀ε > 0 . (d) (*) Fissiamo ora tn= (1 + ε)⁻ⁿ, per ε > 0 fissato. Si mostri che�

n∈NP(A^(ε)n ) <∞.

(e) (*) Si mostri che per ogni ε > 0 vale l’inclusione di eventi

� lim sup

s↓0

Bs

f (s)> (1 + ε)

�

⊆ lim sup

n→∞ A^(ε)_n . (f) Si mostri che P�

lim sup_n→∞A^(ε)n �

= 0, ∀ε > 0. Si concluda che q.c. lim sups↓0 Bs f (s)≤ 1.

Soluzione 1. (a) Se n ≥ n0 si ha f(s) ≥ f(tn+1)per s ∈ [tn+1, tn], quindi _{f (s)}^Bs ≤ _{f (t}^B_n+1^s ₎. Di conseguenza, se ω ∈ A^(ε)N si ha

(1 + ε) < sup

s∈[tn+1,tn]

Bs(ω) f (s) ≤ 1

f (tn+1) sup

s∈[tn+1,tn]

Bs(ω) , da cui segue che

sup

s∈[0,tn]

Bs(ω) ≥ sup

s∈[tn+1,tn]

Bs(ω) ≥ (1 + ε)f(tⁿ⁺¹) , cioè ω ∈ C^n(ε).

(b) Per il principio di riflessione P(sups∈[0,t]Bs≥ x) = P(|Bt| ≥ x). Dato che Bt∼ N(0, t), per simmetria si ha P(|Bt| ≥ x) = P(Bt≥ x) + P(Bt≤ −x) = 2 P(Bt≥ x). Ponendo t = tne x = (1 + ε)f (tn+1)si ottiene la relazione cercata.

2

(c) Per i punti precedenti, si ha P(A^(ε)n )≤ P(Cn^(ε))≤ 2 P�

Btn ≥ (1 + ε)f(tn+1)�

. Applicando la stima suggerita e la proprietà di scaling, dato che Bt/√

t∼ B1, per ogni t, x > 0 si ha P(Bt≥ x) = P

� B1≥ x

√t

�

≤ 1

√2π

√t x e^−x22t. Ponendo t = tne x = (1 + ε)f(tn+1)si ottiene la relazione cercata.

(d) Ponendo tn= (1 + ε)⁻ⁿsi ha f (tn+1)

√tn =√

2 (1 + ε)^−1/2�

log(n + 1) + log(1 + ε) , per cui la relazione ottenuta al punto precedente diventa

P(A^(ε)_n )≤ 2

√2π

√ 1 2√

1 + ε�

log(n + 1) + log(1 + ε)e−(1+ε)(log(n+1)+log(1+ε))

= Cε 1

(n + 1)^1+ε

� 1

log(n + 1) + log(1 + ε), dove Cε:= 1

√π (1 + ε)^12+(1+ε). Dato che log(n + 1) → ∞ per n → ∞, si ha log(n + 1) + log(1 + ε) ≥ 1 per n grande, quindi P(A^(ε)n )≤ Cε/(1 + n)^1+ε. Questo mostra che�

n∈NP(A^(ε)n ) <∞.

(e) Sia ω ∈ {lim sups↓0 Bs

f (s) > (1 + ε)}. Per definizione si ha lim sups↓0 Bs(ω)

f (s) > (1 + ε)e quindi esiste una successione {sm}m∈N={s^m(ω)}m∈Nstrettamente decrescente e infinitesima tale che ^B_{f (s}^sm_m^(ω)₎ > (1 + ε), per ogni m ∈ N. Se n = nm∈ N è tale che sm∈ [tn+1, tn]si ha in partiolare sups∈[tn+1,tn]Bs(ω)

f (s) > (1 + ε), per cui ω ∈ A^(ε)n per ogni n della forma nm. Dato che tali valori di n sono infiniti (perché sm↓ 0), ω appartiene a infiniti eventi A^(ε)n , cioè ω∈ lim supn→∞A^(ε)n . La relazione è dimostrata.

(f) Dato che�

n∈NP(A^(ε)n ) <∞, si ha P(lim supn→∞A^(ε)n ) = 0per il Lemma di Borel-Cantelli, quindi per il punto precedente

P

� lim sup

s↓0

Bs

f (s)> (1 + ε)

�

= 0 .

Dato che questo è vero per ogni ε > 0, per continuità dall’alto della probabilità si ottiene P

� lim sup

s↓0

Bs

f (s)> 1

�

= 0 , ossia q.c. lim sups↓0 Bs

f (s)≤ 1.

3

Esercizio 2. Sia (Ω, F, {Ft}t∈[0,∞), P)uno spazio di probabilità filtrato standard su cui è defi- nito un {Ft}t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,∞). Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica:





dXt = 1

�1 + X_t²dBt + Xt

1 + X_t²dt X0 = 0

. (1)

(a) Si mostri che, per ogni T > 0, esiste un processo continuo e adattato {Xt}t∈[0,T ]definito su Ωche risolve l’equazione (1) e che tale processo è unico a meno di indistinguibilità.

Supporremo d’ora in avanti che X = {Xt}t∈[0,∞)sia un processo continuo e adattato definito su Ωche risolve l’equazione (1) per ogni t ∈ [0, ∞). Introduciamo la funzione ϕ : R → R definita da

ϕ(x) :=

�x

−∞

e^−z2dz . (2)

Ricordiamo che limx→+∞ϕ(x) =√π. Definiamo il processo Y = {Yt}t∈[0,∞)ponendo Yt:= ϕ(Xt).

(b) Si mostri che Y è un processo di Itô con differenziale stocastico











dYt = e^−Xt2

�1 + X_t²dBt

Y0=

√π 2

.

(c) Si deduca che Y è una martingala di quadrato integrabile.

Ricordiamo che �Y �t =

� t 0

e^−2X2s 1 + Xs²

ds.

(d) Si spieghi perché il processo M = {Mt}t∈[0,∞)definito da Mt:= Y_t²− �Y �tè una martingala.

Si deduca che per ogni tempo d’arresto τ e per ogni t ≥ 0 si ha E(Y_τ²_∧t)− E(�Y �τ∧t) = π

4.

Consideriamo infine il tempo d’arresto τ := inf{t ≥ 0 : |Xt| ≥ a}, dove a > 0 è un numero fissato.

(e) (*) Si giustifichino le seguenti disuguaglianze, valide per ogni t ≥ 0:

Y_τ²_∧t ≤ π , �Y �τ∧t ≥ e^−2a2 1 + a²(τ∧ t) .

Si deduca che E(τ ∧ t) ≤ e^2a2(1 + a²)^3π₄, per ogni t ≥ 0, e si concluda che E(τ) < ∞.

Soluzione 2. (a) Le funzioni σ(x) :=√ ¹

1+x² e b(x) :=_1+x^x2 hanno derivata limitata sull’intera retta reale: infatti σ^�(x) =_(1+x^−x_2)3/2 e b^�(x) =_(1+x^1−x2²)² sono funzioni continue che tendono a 0 per x → ±∞, quindi sono limitate. Di conseguenza σ e b sono funzioni lipschitziane e hanno crescita al più lineare all’infinito, grazie al teorema di Lagrange. Sono dunque soddisfatte le ipotesi standard del teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali stocastiche visto a lezione: di conseguenza, per ogni T > 0, per l’equazione (1) con insieme dei tempi ristretto a t ∈ [0, T ] c’è esistenza di soluzioni forti e unicità per traiettorie.

(b) Y è un processo di Itô perché è funzione C² (in effetti C^∞, anzi analitica) del processo di Itô X. Chiaramente Y0 = ϕ(0) = ^√₂^π. Dato che ϕ^�(x) = e^−x2, ϕ^��(x) = −2xe^−x2 e

4

d�X�t=_1+X¹ 2

t dt, applicando la formula di Itô si ottiene dYt = ϕ^�(Xt)dXt+ 1

2ϕ^��(Xt)d�X�t

= e^−X2t

� 1

�1 + X_t²dBt + Xt

1 + X_t²dt

�

− Xte^−Xt2 1

1 + X_t²dt = e^−Xt2

�1 + X_t²dBt. (c) Il processo Y è una martingala locale perché è un integrale stocastico. Per mostrare che è

una martingale di quadrato integrabile, basta mostrare che il processo integrando è in M²e non solo in M²loc. Ma questo è immediato perché tale processo è limitato: infatti

��

��

� e^−Xt2

�1 + X_t²

��

��

� ≤ 1 , ∀t ≥ 0 , =⇒ E

�� T 0

e^−Xt2

�1 + X_t²dt

�

≤ T < ∞ , ∀T > 0 . (d) Abbiamo mostrato a lezione che Yt²−�Y �tè una martingala, per qualunque integrale stocastico

Yt=�t

0ϕsdBscon integrando {ϕs}s≥0∈ M². In alternativa, applicando la formula di Itô si ottiene

dMt = 2YtdYt+d�Y �t − d�Y �t = 2 ϕ(Xt) e^−Xt2

�1 + X_t²dBt, che mostra che M è una martingala locale. Dato che il processo integrando

�

2 ϕ(Xt) e^−X2t

�1 + X_t²

�

t≥0

è limitato (si osservi che la funzione ϕ è limitata) segue che M è una vera martingala (di quadrato integrabile).

Dato che τ ∧ t è un tempo d’arresto limitato e M è una martingala continua con M0= Y₀²=^π₄, per il teorema d’arresto si ha E(M0) = E(Mτ∧t), ossia

π

4 = E(Y_τ²_∧t)− E(�Y �τ∧t) .

(e) La prima disuguaglianza segue immediatamente dal fatto che la funzione ϕ è limitata:

ϕ(x)≤ ϕ(+∞) =√

πe dunque Ys²= ϕ(Xs)²≤ π per ogni s ≥ 0, in particolare per s = τ ∧ t.

Per la seconda disuguaglianza, osserviamo che

�Y �τ∧t =

� τ∧t 0

e^−2Xs2 1 + X_s²ds =

�t 0

e^−2Xs2

1 + X_s²1[0,τ∧t](s)ds .

Dato che per s ≤ τ si ha per definizione |Xs| ≤ a, l’integrando è minorato da ^e_1+a^−2a22 e quindi

�Y �τ∧t ≥ e^−2a2 1 + a²

� t 0

1[0,τ∧t](s)ds = e^−2a2 1 + a²(τ∧ t) .

Combinando queste disuguaglianze con la relazione ^π₄ = E(Y_τ²_∧t)− E(�Y �^τ∧t)dimostrata al punto precedente, si ottiene

E(τ∧ t) ≤ e^2a2(1 + a²) E(�Y �τ∧t) = e^2a2(1 + a²)�

E(Y_τ²_∧t)− π 4

� ≤ e^2a2(1 + a²)3π 4 . Per il teorema di convergenza monotona, dato che (τ ∧ t) ↑ τ per t → ∞, si ottiene infine

E(τ ) = lim

t→∞E(τ∧ t) ≤ e^2a2(1 + a²)3π 4 < ∞ .