∇⋅ ∇× ∇∇⋅ D B J ! ! ! = () = = H ! H ! E = E ! E H = ! ! ! 0 c −∇ ∂ ∂ E t ! E + ! = 4 c − c E ! ∂∂ t ∇× H ! = − c ∂ ∂ t E ! − 4 c ∂ ∂ E t ! →ω 0

CAPITOLO II

INTERAZIONE TRA RADIAZIONE E MATERIA. L’APPROCCIO MACROSCOPICO

1) L’equazione delle onde nella materia

Posto, se il mezzo in cui si propaga la radiazione è omogeneo e isotropo: _! D=ε ^E!

B!=µ ^H! J!=σ^E! per ρ_ext =J_ext =0 le Equazioni di Maxwell si scrivono

t E H

0 E

∂

− ∂

=

×

∇

=

⋅

∇ !

!

!

c µ

∇ ⋅ ! H = 0

∇ × ! H =ε

c

∂! E

∂t +4π c σ !

E

(II.5)

Poiché ^∇×

(

^∇×E!

) (

^=∇∇⋅E!

)

^−∇2E!, sostituendo si trova:

∇ ∇ ⋅ !

(

E

)

^{− ∇2E!= −µ}_c∂t^{∂ ∇ ×H! = −µε}_c^{2 ∂2}

E!

∂t² −4πσµ c²

∂! E

∂t

t 4 E

t

E E_{2 2}

2 2

∂

∂ + π

∂

= ∂

∇

!

! !

c σ µ c

ε µ

2 (II.6)

(Eq. d’onda in un mezzo dissipativo; ε,µ,σfunzionidiω!) La soluzione della (II.6) è un’onda piana del tipo

(qr t)

i 0e E

E!= ! ^!⋅!−ω

(II.7)

La conducibilità ottica ^σ

( )

^ω nella (II.6) si riduce alla conducibilità ohmica σ per ₀ ω→0. Inoltre q!

è un vettore del piano complesso. Infatti sostituendo la (II.7) nella (II.6):

( )

a dielettric funzione

~ σ

c

~ µ c µ c

σ µ c

ε µ

~

2

ω= π + ε

= ε + ε

= ε

ε + ω ε

= ω ε

= π ω

+ ω

=

i 4 i

4 i i q

2 1

2 2 1

2

2 2

2 2

2

Ricordando che la velocità dell’onda nel mezzo di indice di rifrazione n è

ε c µε c n

v= c = ≅ (in

materiali non magnetici), per l’indice di rifrazione complesso (e posto in forma vettoriale) vale:

!"

n= c ω

!"

q=! n+ i !

k k!= coefficiente di estinzione; !

n= indice di rifrazione

ε!= !n²⇒ ε1= n²− k² ε2 = 2 n k

#$

%

Nella (II.7), per q^!"=ω c

!"

n

^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ω ⋅−ω ω ⋅

= −

t r n r i k

0e e

E E

!

! !

! !

! _c

c (II.8)

In un dielettrico σ=0 ⇒ ε₂ =0 ⇒ k=0 ⇒ q~,~ε,~n reali (dissipazione nulla). Dal confronto con la relazione I= I0exp(−αr) si ricava che il coefficiente di assorbimento è α= 2ωk / c.

Un metallo assorbe fino alla frequenza di plasma degli elettroni (ma anche in un dielettrico reale alle frequenze dei fononi, delle transizioni interbanda, ecc.) la radiazione ha una lunghezza di penetrazione:

isotropo è

mezzo il

se ω 1

p ∝ σ

λ

dielettrico

spessore metallo

E

₀²

/l E

₀²

I ~|E|

²

0 λ

_p

Fig. 1

2) Riflettività e indice di rifrazione

All’interfaccia vuoto-campione il campo elettromagnetico viene in parte riflesso e in parte trasmesso (Fig. 2).

E_i

E_r

E_t

vuoto campione

Fig. 2

Usando le relazioni di continuità sulla superficie e le equazioni di Maxwell, si ricava che il coefficiente di riflessione r~ in caso di incidenza normale

( )

⊥ vale:

( )

(

^{n ik}

)

¹

1 k i n 1 n

1 n E r E

i r

+ +

−

= + +

= −

= ~

~

~

~

~ (III.1)

La riflettività misurata R è dunque:

( )

( )

^{2 2}

2 2

2 i

2 r

0 r

k 1 n

k 1 r n

r E E I R I

+ +

+

= −

=

=

= ~^∗ ~

~

~

(III.2)

La (III.1) è una sola equazione nelle incognite n e k. La seconda equazione si ricava dalle relazioni di Kramers-Kronig (vedi Appendice) che legano la parte immaginaria alla parte reale della funzione risposta nella teoria della risposta lineare.

Ad esempio, per una suscettività χ = χ' + i χ'' (vedi Appendice),

( ) ( )

∫

+∞

ω ω

− ω

ω χ π

− ω

= ω χ

0

2

2 d

2 P

' ' ' '

' (III.3)

Nel caso di ^R

( )

^{ω , poniamo χ~}

( )

^{ω =ln~r}

( )

^{ω =lnρ}

( )

^{ω +iθ}

( )

^ω,se~r

( )

^{ω =ρ}

( )

^{ω ⋅eiθ( )ω con ρ= ~r = R.}

Allora per la (III.3):

( ) ( )

∫

+∞

ω ω

− ω

ω π

− ω

= ω θ

0

2

2R d

2 P

' '

ln (III.4)

Noti R (dai dati) e _θ dalla (III.4) si ricavano n e k.

Dalla (III.1) si ricava:

(

⁺

)

^θ

=

−1 n 1 Reⁱ

n ~

~

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

^{+ − θ}

θ +

= − +

− +

− +

= −

−

⋅ −

−

= +

⇓ +

=

−

θ

− θ

θ

− θ θ

− θ

− θ

θ

θ θ

cos

~ sin

~

R 2 R 1

i R 2 R 1 e

e R R 1

e e R R 1 e

R 1

e R 1 e R 1

e R n 1

e R 1 e R 1 n

i i

i i

i i

i i

i i

Quindi:

!!

"

!!

#

$

θ

− +

= θ

θ

− +

= −

cos sin

cos

R 2 R 1

R k 2

R 2 R 1

R n 1

Di qui anche:

!"

#

= ε

−

= ε

k n 2

k n

2

2 2 1

Tuttavia l’integrale (III.4) è esteso da 0 a +∞, mentre l’R

( )

ω è misurata su un intervallo finito.

Bisogna quindi estrapolare i dati.

Si usa porre:

( ) ( )

( ) ( )

!

( )

"

#

≤ ω

= ω

>

∞ ε

≡ ε

⇒ ω

=

∞ ω

→ ω

!"

#

ω

−

= ω

=

→ ω ω

− p 4 (seidatigiàincludono tuttele transizionidielettronidi valenza) R

1) alta

più a ni transizio presenti

sono (se cost R

Rubens) -

Hagen di

ione approsimaz :

metallo un

(per A

1 R

isolante) un

(per cost 0 R

p

Nella fig. 3 sono rappresentati i modi normali di vibrazione di una catena biatomica appartenente a un cristallo.

Nell’esempio della figura 4, si vede come questi calcoli forniscano le parti reale ed immaginaria della funzione dielettrica e dell’indice di rifrazione, ottenute da una

misura di

riflettività di un solido (pannello in alto), nel lontano infrarosso, in corrispondenza di un fonone (modo

normale di

vibrazione) ottico trasverso.

Fig. 3

Fig. 4 Parti reale ed immaginaria della funzione dielettrica e dell’indice di rifrazione

di un fonone ottico trasverso a

ωph, j

ottenute da una misura di riflettività di un solido,

nel lontano infrarosso.

_ωLO

è la frequenza del longitudinale accoppiato.

3) Modello di Drude-Lorentz

La funzione dielettrica ~ε

( )

ω di un metallo, un semiconduttore a T≠0, un superconduttore a Tc

T> , può essere modellizzata in termini di una somma di Lorentziane:

( )

^{ω + ωΓ +}

^∑ (

^{ω −ω}

)

^{− ωΓ}

ω

− ε

= ω

ε _∞

i i

2 2 i

2 i

D 2

2 p

i S i

~ (II.9)

Il generico termine a ω nella (II.9) corrisponde al moto di un elettrone a distanza _i r!

dal nucleo, di equazione:

loc 2

i 2 i

2

E r

dt m r m d dt

r

md ! ! ! !

−e

= ω + Γ

+ (II.10)

Se il campo locale è E!_loc∝e^−iωt

(ω =frequenza della radiazione) la soluzione della (II.10) è ∝!r_ie^−iωt

con

(

^{2i 2loc}

)

ⁱ

i i

m r E

Γ ω

− ω

− ω

= −

! e!

(II.11)

Ciò induce un dipolo p!i !ri i

( )

E!loc

ω α

=

−

= e ~ :

( )

i

2 2 i 2 i i

i

i i

1 m

N 1 4

N 4

1 ω −ω − ωΓ

+ π

= α π +

=

ε ~ e

~ (II.12)

Posto _i²

2

i S

m N

4π e =

, se gli oscillatori sono indipendenti ^~_ε=1₊4_πα^~, dove ^α=

∑

^α

i i

~

~ . Di

qui il terzo termine a destra nella (II.9). Al posto di 1, poi, ε_∞ somma tutti i contributi a

ωmax

<

ω degli oscillatori invisibili a ω_i >ω_max (dove ω_max è la massima frequenza di misura).

Infine ponendo ω_i =0 nella (II.11) si ha il secondo termine, cioè il contributo (di Drude) degli elettroni liberi. In un metallo le ω sono _i transizioni elettroniche (i fononi sono schermati dagli elettroni di conduzione), in un isolante manca il termine di Drude e le ω _i corrispondono a fononi e transizioni elettroniche.

Prendendo la parte reale e la parte immaginaria della (II.12) si trova:

Grafico di per ε1 e ε2 per un oscillatore Lorentziano Equilibrio Vibrazione

+e -e

! r

( )

( )

∑

− +Γ

+ −

=

−

= _i

i i

i i

m e k N

n

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 1

1 4

ω ω

ω

ω ω

ε π ^(II.13)

( )

∑

− +Γ

= Γ

= _i

i i

i i

m e k N

n 2 2 2 2 2

2

2

2 4

ω ω

ω

ω

ε π ^(II.14)

Ogni frequenza di risonanza ω corrisponde a un picco in _i ε o a uno zero in 2 ε₁−1^.

Il secondo termine della (II.9) (Drude) è una Lorentziana centrata a ω_i =0⇒forzaelastica=0⇒

⇒ elettrone libero. Quindi descrive la risposta a E!

del liquido di Fermi in un metallo:

ω Γ + ω

− ω ω= Γ

− ω

⋅− + π

= ε

D 2

2 p

i 2 2 i

D 1 i

i 1 m

N

1 4 e

( )

(

^{massaefficace, numerodi portatori}

)

σ e e σ

seguire"

a riesce

"

Fermi di liquido il

che

campo del

massima frequenza

plasma di

frequenza

collisioni le

tra medio tempo

0 p

=

=

= τ

= ω π ≡

= ω

=

= ω

= τ τ

= Γ

∗

∗

∗

N m

m 0 N

cfr.

m

N 4

con ,

2 2

2 p

-1 D

[ ]

[

¹

]

2 p

11 1

1

2 p

cm

π 2 10 9 cm 4

e da ottenere per

Formula

−

−

−

ω

×

× Ω

= π τ

ω τ

σ c

σ :

0

0

Perciò la misura spettroscopica di ω , unita a quella di _p σ , fornisce separatamente 0 N m^∗ e τ . Per avere solo N bisogna misurare la costante di Hall

c R_H e

N

− 1

= .

Per un gas di elettroni liberi, si mostra la riflettività (1), la funzione dielettrica (2) e la parte immaginaria di − ~1 ε (Loss Function) (3). E’ la misura più accurata di ω . _p

Conducibilità ottica (a) e riflettività (b) di due metalli con diversa conducibilità in continua ^σ

( )

⁰

(^σ

( )

⁰ bassa: linea tratteggiata; ^σ

( )

⁰ alta: linea continua)

APPENDICE: LE RELAZIONI DI KRAMERS-KRONIG (K-K)

Nell’ottica lineare, la risposta ^D!

( )

^t è una funzione lineare della perturbazione ^E!

( )

^t . Considerando gli effetti di polarizzazione creati da ^E!

(

^t−τ

)

^{per ogni} τ , in generale:

( )

⁼

( )

⁺

∫ ( ) (

^{τ −τ}

)

^τ

+∞

+

d t E f t E t D

0

!

!

! (3.1)¹

Poiché in ottica ^E!

( )

^{t =E!}

( )

^{r e−iωt e D! = ~ε}

( )

^{ω E!}, dalla (3.1):

( )

⁼

( )

⁺

( ) ( )

^{τ ωτ τ}

+∞

∫

₊^{f e d}

t E t E t

D ⁱ

0

!

!

!

e:

( ) ∫ ( )

+∞

ωτ

+

τ τ

+

= ε + ε

= ω ε

0

i 2

1 i 1 f e d

~ (3.2)

Nella (A.2) l’integrale converge, perché:

1) ^f

( )

^{τ →0per τ→+∞oppureτ}>>tempo di rilassamento dei dipoli del reticolo 2) Posto ω ~≡ω=ω₁ +iω₂, nel semipiano superiore

(

ω >

)

^ωτ → ω2 →∞

-

2 0 ,e ² 0per ². Quindi ~ε

( )

ω _è finito. Inoltre ~ε

( )

ω non ha singolarità sull’asse reale

(

ω2 =⁰

)

^oltre ω₁=0^(metalli:

ω

= πσ

ε 4

2 ).

0

C

∞ +

∞ +

∞

−

ω0

ρ

Integriamo lungo il percorso C la funzione:

0

1 ω

− ω

−

~ε

1 1) L’esclusione dell’integrazione da −∞ a 0 consegue dal principio di causalità; 2) ^E!

( )

^t è fuori, altrimenti da

( ) ( ) ( )

∫

+∞

→

τ τ −τ τ=

0 0f E! t d E! t

lim seguirebbe

( )

^{τ =δ}

( )

^{τ =∞}

→ τ f

0

lim

2

Dalla (3.2), per ω1 =ω→∞ (campo rapidamente variabile) ~ε→1. La TF nella (3.2) è ^F(ω)^{, ma}

( )

⁰

lim =

∞

→ ω

ω F (limite adiabatico; il sistema per ω →∞ non segue la sollecitazione).

Quindi, per il teorema di Cauchy, l’integrale converge e l’integrando è analitico entro C:

0 1 d

C 0

= ω ω

− ω

−

∫

ε

~

Ma:

0 0

infinito o semicerchi reale

asse infinito

o semicerchi C

=

= +

=

∫ ∫ ∫

∫

^; (l’integrando è nullo)

Quindi, limitandoci al caso isolante (nessun polo a ω=0) e poiché il residuo nel polo a ω è: ₀

( )

ⁱ

[ ( )

¹

]

i 1 _{0 0}

0 0

− ω ε π

−

= ω

− ω ω

− ω

− π ε

− ω→ω

' ~ '

~ lim

[ ( )

¹

]

⁰

i 1 d

P 1 d

0

reale

asse 0 0

=

− ω ε π

− ω ω

− ω

−

= ε ω ω

− ω

−

∫

ε

∫

+∞

∞

−

' ~ '

~ ' '

~

Si ricordi che la parte principale di un integrale è definita come P

−∞

+∞

∫

^{= limδ→0}

−∞

ω0−δ

∫

⁺

ω0+δ +∞

%

∫

&

''

( )

**

a cui va aggiunto 1

2× (-πⁱ⁾ × residuo nel polo (considerando che viene percorso, in senso orario, solo metà dell’intorno del polo).

Ponendo ω₀ =ω e separando parte reale e immaginaria:

( ) ( )

∫

+∞

∞

−

ω ω

− ω

ω ε

= π

− ω

ε '

' ' d 1P

1 ²

1 (3.3)

( ) ( )

∫

+∞

∞

−

ω ω

− ω

− ω ε

= π ω

ε '

'

' 1d 1P ₁

2 (3.4)

Dalla (3.2) si ricava: ^~ε

(

^−ω

)

^=~ε∗

( )

^{ω cioè:}

( ) ( )

(

^−ω

)

^=−ε

( )

^ω

ε

ω ε

= ω

− ε

2 2

1

1 (3.5)

Poiché nei sistemi reali ω>0, la (3.3) si riscrive (ω'≥0):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

( ) ^{∫ ( )}

∫

∫

∫

∞ +

∞ +

+∞

+∞

ω ω

− ω

ω ω ε

= π ω ω

− ω

−

ω

− ω

− ω + ω

− ω ε

= π

= ω ω

− ω

ω ε + π ω ω −

− ω

− ω

− ε

−

=π

− ω ε

0

2 2 2

0

2 2 2

0 2

0 2 1

d 2P

d 1P

1 d d 1P

1

' ' ' ' '

'

' '

'

' ' ' '

' '

e la (3.4) analogamente.

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫

∞ + +∞

ω ω

− ω

ω ε π

− ω

= ω ε

ω ω

− ω

ω ω ε

=π

− ω ε

0

2 2 1 2

0

2 2 2 1

d 2 P

d 2P

1

' ' ' ' '

' '

RELAZIONI DI K-K