Consideriamo un esperimento casuale ripetibile (lancio di una moneta ,di un dado…) e supponiamo di ripetere l'esperimento un numero n di volte.

Distribuzione Binomiale

B n,p(k) problema delle prove ripetute

Consideriamo un esperimento casuale ripetibile (lancio di una moneta ,di un dado…) e supponiamo di ripetere l'esperimento un numero n di volte.

Supponiamo di essere interessati a una modalità dell'esperimento evento A (testa, faccia 5..) che valutiamo essere un “successo” mentre la comparsa dell’evento complementare Ā viene considerato “insuccesso”. Ci chiediamo

qual'e' la probabilità di osservare un numero intero k = 0,1,2,…n di volte la comparsa dell'evento "successo" su n prove ripetute nelle stesse condizioni

sperimentali e indipendenti fra loro.

Si suppone nota la probabiltà P(A) = p di A e P(Ā) = q di Ā con p + q = 1

Definizione:

La Distribuzione Binomiale è la risposta al problema di valutare la probabilità di osservare un numero intero

k = 0,1,2,3...,n di “successi” in n prove ripetute

nelle stesse condizioni sperimentali e indipendenti tra loro.

Un possibile risultato delle prove sia, per esempio, la sequenza AĀAĀĀAAĀĀAAAĀAAĀĀAAA

in cui su n = 20 prove ripetute e indipendenti si presentano k = 12 eventi A (“successi”)

e n - k = 8 eventi Ā (“insuccessi”).

La probabilità che si sia verificata la sequenza di eventi indipendenti A e Ā è il prodotto delle loro probabilità

la P(sequenza) = p q p q q... = p

q

L’evento k successi in n prove può presentarsi con modalità diverse tante quante sono le permutazioni di n elementi di cui k di tipo A e (n-k) di tipo Ā

ovvero n!/(k!(n-k)!)

che è stato chiamato coefficiente binomiale

e viene indicato come (

)

Coefficiente binomiale (

) = n!/(k!(n-k)!)

Si richiama alla formula dello sviluppo della potenza n-esima di un binomio a+b

(a+b)

=  _k (

) ^a

^b

La probabilità di osservare un numero intero k = 0,1,2,3...,n di “successi” in n prove ripetute

e indipendenti si ottiene applicando la legge della probabilità totale per eventi disgiunti, ovvero è il prodotto di

p

q

per il numero di modalità (

)

ovvero

( ⁿ _k ) p ^k q ^(n-k)

detta Distribuzione binomiale indicata con Bn,p(k)

k = 0,1,2,3...,n è detta variabile binomiale

Esempi B _n,p (k) = ( ⁿ _k ) p ^k q ^(n-k)

B _n,p ( ^k ) n = 20 p = 0,3

Caratteristiche della distribuzione binomiale - la distribuzione binomiale è normalizzata

●

Dalla formula dello sviluppo della potenza n-esima del binomio

●

(a+b) ⁿ =  _k ( ⁿ _k ) ^{a k b (n-k)}

●

Ponendo a=p e b=q con p+q=1 risulta

●

1 =(p+q) ⁿ =  _k ( ⁿ _k ) p ^{k q (n-k)}

●

^ma ( ⁿ _k )p ^k q ^(n-k) = B _n,p (k) quindi

●

1=  _k ^B _n,p ^(k)

●

La Binomiale e’ normalizzata

valor medio atteso e varianza (da Carnelli)

Distribuzione binomiale – la varianza è np(1-p) = npq

Distribuzione di Poisson

Per n  e p  0 ma np limitato = m

la distribuzione binomiale assume una forma semplice dipendente dal solo parametro m detta distribuzione di eventi rari o distribuzione di Poisson

B _n,p (k)

P _m (k) = e ^-m m ^k

k!

variabile k = 0,1,2, ……

Esercizio

Confronto fra Binomiale con Np = 5 per N crescenti e p0

con la Poissoniana P

(k)

Calcolo valor medio atteso E( n)

dimostrazione tratta dal Taylor

Calcolo varianza σ ²