esercizi sul calcolo differenziale per funzioni di più variabili

Corso di Laurea in Matematica

Analisi Matematica II

Esercizi sul calcolo differenziale Versione del 16/01/2017

Esercizi sulla differenziabilit`

a

Esercizio 1. Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni:

1. f (x, y) = x2y + exysen y, 3. f (x, y) = (x − y) log(1 + xy), 5. f (x, y) = p

3yx2_{+ 1}

x2_{+ y}2 ,

2. f (x, y, z) = (x − yz2)3, 4. f (x, y, z) = zex2− 3y2_{sen(xz), 6. f (x, y, z) =} xy − 1

z2_{− y}2.

Esercizio 2. Calcolare le derivate direzionali delle prime tre funzioni dell’Esercizio 1 nel punto (1, 1) lungo la direzione del vettore (2, 1).

Esercizio 3. Si calcolino le matrici Jacobiane delle seguenti tre applicazioni:

i) g : Ω ⊆ R2 → R2, g(ρ, ϑ) = (ρ cos ϑ, ρ sen ϑ) ii) g : Ω ⊆ R3 → R3, g(ρ, ϑ, z) = (ρ cos ϑ, ρ sen ϑ, z)

iii) g : Ω ⊆ R3 → R3, g(ρ, ϕ, ϑ) = (ρ sen ϕ cos ϑ, ρ sen ϕ sen ϑ, ρ cos ϕ)

(Le inverse di queste funzioni, ristrette a opportuni sottodomini dove possono essere definite, rappresentano i cambiamenti di variabili in variabili polari, cilindriche, sferiche). Detta ora f : R2 → R nel caso i), oppure f : R3_{→ R nei casi ii) e iii), calcolare la Jacobiana di f ◦ g.}

Esercizio 4. Data la funzione f (x, y) = sen(xy)_y , la si prolunghi per continuit`a nei punti della forma (x, 0) e si provi che la funzione cos`ı ottenuta `e differenziabile in (0, 0).

Esercizio 5. Data la funzione f (x, y, z) = (y2sen x, 3x − z2), dimostrare che f `e differenziabile in R3 e scrivere la matrice Jacobiana. Calcolare infine il differenziale di f nel punto (π, −1, 1). Esercizio 6. Data la funzione f (x, y) = (x2y, cos y, ex−y), dimostrare che f `e differenziabile in R2

e scrivere la matrice Jacobiana. Calcolare infine il differenziale di f nel punto (1, 0).

Esercizio 7. Data la funzione f : R2 _{→ R definita da}

f (x, y) =    xy2 x2_{+ y}2 se (x, y) 6= (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0),

a) studiare la continuit`a e la differenziabilit`a di f nei punti (x, y) 6= (0, 0); b) studiare la continuit`a di f in (0, 0);

c) calcolare, se esistono, le derivate parziali ∂xf (0, 0) e ∂yf (0, 0);

d) dire se f `e differenziabile in (0, 0) e, in caso affermativo, calcolarne il differenziale nel punto.

Esercizio 8. Fare l’analogo dell’esercizio precedente per g(x, y) = sen

2_(xy)

x2_{+ y}2 , h(x, y) =

x3 x2_{+ y}2,

avendo posto g(0, 0) = h(0, 0) = 0.

Esercizio 9. Date le funzioni f (x, y, z) = xy − y2z + z2 e g(t) = (t, sen t, et) si calcoli la deri-vata di f (g(t)): i) calcolando prima f (g(t)) e poi derivando; ii) utilizzando la formula di differenziazione delle funzioni composte.

Esercizio 10. Date le funzioni f (x, y, z) = xy − y2_{z + z}2 _{e g(s, t) = (se}t_{, sen(st), t) si calcoli la}

derivata parziale ∂sf (g(s, t)): i) calcolando prima f (g(s, t)) e poi derivando parzialmente; ii)

utilizzando la formula di differenziazione delle funzioni composte.

Esercizio 11. Date f (x, y) = (xy2, −2x2y), g(s, t) = (st, t2− s2_{) scrivere la matrice Jacobiana di}

h := f ◦ g : i) calcolando prima h e poi trovandone la Jacobiana; ii) utilizzando la formula per la Jacobiana delle funzioni composte.

Esercizi sull’ottimizzazione libera e vincolata

Esercizio 1. Si calcolino i punti critici di ciascuna delle seguenti funzioni, individuandone anche la natura; determinare poi l’immagine di f :

f (x, y) = x6+ y6− 3xy, f (x, y) = xey+ yex, f (x, y) = x(log2x + y2).

Esercizio 2. Si studi il comportamento nell’origine delle seguenti funzioni da R2 in R f1(x, y) = x2+ y4 f2(x, y) = x2− y4 f3(x, y) = x2

f4(x, y) = x2+ y f5(x, y) = x4+ y4 f6(x, y) = x4− y4

Esercizio 3. Trovare i punti critici della funzione f (x, y, z) = x3+ xz + y2+ z2 e dire se sono punti di massimo/minimo locale o punti di sella. Si studino gli estremi assoluti e relativi di f e si determini f (R3).

Esercizio 4. Si determinino gli estremi assoluti e relativi della funzione f (x, y) = x + y + 1/x + 1/y ristretta al dominio Ω = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}.

Esercizio 5. Si trovino gli estremi assoluti e relativi della funzione f (x, y) = y2_{− 2|y| + 2x}3_{− 3x}2_.

Esercizio 6. Cercare i punti critici della funzione f : R2 → R definita da f(x, y) = x4_{− 2x}2_{y + y}2_.

Mostrare che in tali punti la matrice Hessiana `e solamente semidefinita. Studiare in maniera alternativa la natura di tali punti critici (massimi, minimi, selle?). Calcolare infine l’insieme immagine f (R2).

Esercizio 7. Sia f : Ω → R, Ω ⊆ Rn non limitato, tale che limkxk→+∞f (x) = +∞ (si dice che f

`

e coercitiva (o coerciva) in Ω). Dimostrare che gli insiemi di livello {x ∈ Ω : f (x) = c} e di sottolivello {x ∈ Ω : f (x) ≤ c} sono limitati.

Esercizio 8. Sia f : E → R, E ⊆ Rn chiuso non limitato, f continua e coercitiva in E. Dimostrare che f ammette minimo assoluto in E.

Esercizio 9. Sia f : E → R, E ⊆ Rnchiuso non limitato, f continua e tale che limkxk→+∞f (x) = 0.

Se esiste xo ∈ E tale che f (xo) > 0 (rispettivamente f (xo) < 0) allora f ammette massimo

assoluto (rispettivamente minimo assoluto) in E.

Esercizio 10. Si trovino, se esistono, gli estremi della funzione f (x, y) = x2+ y2ristretti all’insieme S dei punti che soddisfano x4+ y4− 2xy − 1 = 0.

Esercizio 11. Si trovino, se esistono, gli estremi della funzione f (x, y, z) = x2+ y2+ z2 ristretta all’insieme S = {(x, y, z) ∈ R3 : x₄2 + y2+z₉2 ≤ 1}.

Esercizio 12. Data la funzione f (x, y) = x2_{− x − y}2

a) trovare gli eventuali estremi assoluti e relativi di f e calcolare f (R2);

b) trovare gli estremi assoluti di f ristretta all’insieme {(x, y) ∈ R2 _{: x}2_{+ y}2 _{≤ 1}.}

Esercizio 13. Data la funzione f (x, y) = x2− 2xy2_{− y}2

a) trovare gli eventuali estremi assoluti e relativi di f e calcolare f (R2);

b) trovare gli estremi assoluti di f ristretta all’insieme {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1}.

Esercizio 14. Si trovino gli estremi assoluti e relativi della funzione f (x, y) = x − y − 1 ristretta all’insieme S = {(x, y) ∈ R2: x2+ 4y2+ xy ≤ 1}.

Esercizio 15. Determinare gli estremi locali e assoluti della funzione f (x, y) = |xy|(x + y − 1). Trovare infine l’immagine f (R2).

Esercizio 16. Si determinino gli estremi assoluti della funzione f (x, y) = py − x2 _{sull’insieme}

S = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2 ≤ 1} ∩ D, dove D `e il dominio di f . Esercizio 17. Data la funzione f (x, y) = x4− x2_{+ y}2

a) si trovino gli eventuali estremi assoluti e relativi di f e calcolare f (R2);

b) si trovino gli estremi assoluti di f ristretta all’insieme {(x, y) ∈ R2 : 2|x|3+ 3y2 ≤ 18}.

Esercizi sui Teoremi della funzione implicita e della funzione inversa

a) preso (x0, y0) con x0 ≤ 0 e tale che F (x0, y0) = 0, `e vero che l’equazione F (x, y) = 0

definisce implicitamente, in un intorno di (x0, y0), una funzione y = f (x)?

b) Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione y = f (x) definita implicitamente da F (x, y) = 0 in un intorno di (0, 1/2);

c) trovare tutti i punti (x1, y1) tali che F (x1, y1) = 0 ma che non soddisfano le ipotesi di

esplicitabilit`a del Teorema del Dini.

Esercizio 2. Data la funzione F (x, y) = xy2+ y + sen(xy) + 3(ex− 1)

a) verificare che in un intorno di (0, 0) con x0 ≤ 0 l’equazione F (x, y) = 0 definisce

implici-tamente una funzione y = f (x); b) calcolare, giustificando la risposta,

lim

x→0

f (x) + 3x

x .

Esercizio 3. Data la funzione F (x, y, z) = z3+ x2z + x2− y2

a) determinare i punti critici e gli estremi locali;

b) detto M il luogo degli zeri di F , mostrare che per ogni (x, y) ∈ R2 esiste un unico z = f (x, y) tale che (x, y, f (x, y)) ∈ M ;

c) mostrare che f ∈ C∞(R2\ {(0, 0)}) e che non `e differenziabile in (0, 0).

Esercizio 4. Provare che esistono funzioni y(x) e z(x) definite implicitamente dal sistema

(

x3− 3xy2_{+ z}3_{+ 1 = 0}

x − 2y2− 3z2_{+ 4 = 0}

e che soddisfano le condizioni y(1) = 1 e z(1) = 1. Calcolare le derivate di y(x) e z(x) in x = 1.

Esercizio 5. Provare che esistono funzioni u(x, y) e v(x, y) definite implicitamente dal sistema

(

(x + y)2+ u2y + 2v − 6 = 0 (x − y)2+ u2v − 2xy − 3 = 0

e che soddisfano le condizioni u(0, 1) = 1 e v(0, 1) = 2. Calcolare le derivate parziali di u(x, y) e v(x, y) nel punto (0, 1).

Esercizio 6. Sia f : R2 → R2 _{definita da f (x, y) = (x}2 _{+ 2y, 2x + y). Determinare il pi`u grande}

aperto A ⊆ R2 su cui f sia un diffeomorfismo locale.

Esercizio 7. Data fλ(x, y) = (x + λy, y − (λ + 1)x2), dove λ ∈ R,

a) determinare i punti dove fλ `e un diffeomorfismo locale;

b) determinare per quali valori di λ la funzione fλ `e un diffeomorfismo globale di R2 su R2.