VETTORIALI
Appello 2 Febbraio 1995 Si consideri il campo vettoriale:
F = − 2(x − 1)
((x − 1)2+ y2)2i − 2y
((x − 1)2+ y2)2j.
(1) Stabilire se F `e conservativo e in caso affermativo trovarne un potenziale.
(2) Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l’arco di curva r(t) :
(x = cos t + 1
y = sin t 0 ≤ t ≤ π percorso nel verso delle t crescenti.
Soluzione (1)
Z
− 2(x − 1)
((x − 1)2+ y2)2dx = 1
(x − 1)2+ y2 + f (y).
∂
∂y
1
(x − 1)2+ y2 + f (y)
= − 2y
((x − 1)2 + y2)2 + f0(y).
Quindi se f0(y) = 0, cio`e se f (y) = c con c ∈ R, allora φ(x, y) = 1
(x − 1)2+ y2 + c
`
e un potenziale di F.
(2) L’ arco di curva assegnato ha punto iniziale P0 = (2, 0) e punto finale P1 = (0, 0). Poich´e F `e conservativo con potenziale φ, il lavoro di F lungo il percorso assegnato `e dato da φ(2, 0) − φ(0, 0) = 0.
Appello 10 Luglio 2003 Si consideri il campo vettoriale:
F = y2 x2i −2y
x j.
1
Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo il segmento che con- giunge il punto P = (1, 1) con il punto Q = (4, −2).
Soluzione
Si pu`o trovare il lavoro con il calcolo diretto oppure trovare, se esiste, un potenziale e calcolare la differenza dei valori del potenziale nel punto iniziale e finale del segmento. Risolviamo l’esercizio in entrambi i modi.
Primo modo Il segmento ` da P = (1, 1) a Q = (4, −2) ha equazione y = 2 − x, con 1 ≤ x ≤ 4, quindi
Z
`
F · r = Z 4
1
(2 − x)2
x2 − 2(2 − x) x (−1)
dx =
= Z 4
1
4
x2 + 1 − 4 x + 4
x − 2
dx =
−4 x − x
4 1
= 0.
Secondo modo
Z y2
x2dx = −y2
x + f (y)
∂
∂y
−y2
x + f (y)
= −2y
x + f0(y).
Allora φ(x, y) = −yx2 `e un potenziale di F e il lavoro di F lungo il segmento dato `e φ(4, −2) − φ(1, 1) = 0.
Appello 27 Giugno1996 Si consideri il campo vettoriale:
F = zi + yj + xk.
(1) Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l’arco di curva
r(t) :
x = 2 cos t y = 2 sin t z = 3t
0 ≤ t ≤ 2π
percorso nel verso delle t crescenti.
(2) F `e conservativo?
(3) Calcolare la lunghezza dell’arco di curva definito in (1).
Soluzione
(1) Il lavoro si trova risolvendo:
Z 2π 0
(3t(−2 sin t) + 2 sin t(2 cos t) + 6 cos t)dt =
= Z 2π
0
(−6t sin t)dt = −6 sin t]2π0 + Z 2π
0
6 cos tdt = 0.
(Si noti che le primitive di funzioni del tipo sin t, cos t e sin t · cos t sono periodiche di periodo 2π quindi l’integrale da 0 a 2π di tali funzioni
` e 0.)
(2) Il dominio del campo `e R3 che `e un dominio semplicemente con- nesso.
Si ha ∂F∂y1 = 0 = ∂F∂x2,
∂F1
∂z = 1 = ∂F∂x3,
∂F2
∂z = 0 = ∂F∂y3 = 0. Quindi il campo `e conservativo.
Ci`o conferma il risultato ottenuto al punto (1), poich´e la curva `e chiusa.
(volendo trovare un potenziale, si ha:
Z
zdx = zx + f (y, z) Z
ydy = y2
2 + g(x, z) Z
xdz = xz + h(x, y).
Quindi φ(x, y, z) = xz + y22 `e un potenziale per il campo.) (3) La lunghezza dell’arco di curva `e data da
Z 2π 0
|dr dt|dt =
Z 2π 0
(p
4 sin2t + 4 cos2t + 9)dt =
= Z 2π
0
√
13dt = 2π√ 13.
Appello 13 Settembre 1994
Nel piano cartesiano Oxy `e presente un campo di forze centrali dirette verso l’origine O. L’intensit`a della forza in ogni punto `e inversamente proporzionale alla distanza dall’origine con costante di proporzionlit`a 4, cio`e F = −4rr2 dove r `e il raggio vettore xi + yj.
(1) Stabilire se F `e conservativo e in caso affermativo trovarne un potenziale.
(2) Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l’arco di cir- conferenza
(x = cos t
y = sin t 0 ≤ t ≤ 3 4π percorso in verso antiorario.
Soluzione (1) Si ha
F = − 4x
x2 + y2i − 4y x2+ y2j.
Il dominio di F `e R2\ {(0, 0)}.
Si ha ∂F1
∂y = 8xy
(x2+ y2)2 = ∂F2
∂x , ma questo non permette di conclud- ere che il campo `e conservativo perch´e il dominio non `e semplicemente connesso.
Quindi per stabilire se F `e conservativo cerchiamo se esiste un poten- ziale.
Z
− 4x
x2+ y2dx = −2 ln(x2+ y2) + f (y) Z
− 4y
x2+ y2dx = −2 ln(x2+ y2) + g(x) Quindi un potenziale `e φ(x, y) = −2 ln(x2+ y2).
(2) Il punto iniziale dell’arco di circonferenza dato `e (1, 0) e il punto finale `e (−√12,√12). Si ha φ(1, 0) = 0 = φ(−√12,√12). Quindi il lavoro compiuto dal campo F `e 0.
Seconda prova parziale 1994 Si consideri il campo vettoriale:
F = y
√xyi + x
√xyj
(1) Trovare il dominio di F e disegnare le linee di campo.
(2) Stabilire se F `e conservativo e in caso affermativo trovarne un potenziale.
(3) Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l’arco di curva r(t) :
(x = cos3t
y = sin3t 0 ≤ t ≤ π 2 percorso nel verso delle t crescenti.
Soluzione
(1) Il campo `e definito in D = {(x, y) ∈ R2 | xy > 0}, cio`e nei punti del primo e terzo quadrante del piano esclusi gli assi cartesiani.
Le linee di campo si ottengono risolvendo l’equazione differenziale
√xy y dx =
√xy x dy cio`e xdx = ydy
che fornisce R xdx = R ydy, quindi x2 = y2 + c con c una costante arbitraria.
Le curve x2 − y2 = c sono iperboli con asintoti le rette x = y e x = −y con asse trasverso l’asse x per valori positivi di c e l’asse y per valori negativi di c, pertanto le linee di campo sono quei rami di tali iperboli che si trovano nel primo e terzo quadrante del piano.
(2) Cerchiamo se esiste un potenziale del campo.
Z y
√xydx = 2√
xy + f (y)
Z x
√xydy = 2√
xy + g(x) Quindi φ(x, y) = 2√
xy `e iun potenziale per il campo.
(3) I punti iniziale e finale della curva data sono (1, 0) e (
√2 4 ,
√2 4 ).
Pertanto il lavoro `e
√2 2 .
