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0, la funzione fα(x, y

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Academic year: 2021

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COGNOME: NOME: MATR.:

Analisi Matematica 2 – Ingegneria dell’Informazione 2o appello – 14 febbraio 2013

Tema A

FARE SUBITO: 1) Inserire qui e sul foglio intestato le proprie generalit`a. 2) Riportare sul foglio intestato il nome del tema (A, B, C,...) alla voce ”N. Tema”.

COSA CONSEGNARE: questo foglio con le RISPOSTE SCRITTE NEGLI APPOSITI SPAZI e il foglio intestato con gli SVOLGIMENTI degli esercizi.

REGOLE: NON inserire fogli di brutta copia - Risposte non giustificate sul foglio intestato o non coerenti con quanto ivi scritto non saranno prese in considerazione - TEMPO: 2 h 20’

1. Si consideri, al variare del parametro α > 0, la funzione fα(x, y) =!

|x|α|y|.

i) Determinare, se esistono, le derivate parziali di fαin (0, 0); Risp.:

ii) determinare, se esiste, la derivata di fαin (0, 0) nella direzione (v, w) con v != 0, w != 0, Risp.:

iii) per α = 1, la funzione f1`e differenziabile in (0, 0)? Risp.:

2. Data la funzione f(x, y) = x4+ y4− xy i) calcolare, se esiste, il lim

(x,y)→∞f (x, y); Risp.:

ii) determinare e classificare i punti stazionari di f;

Risp.:

iii) determinare gli eventuali massimi e minimi globali di f in R2. Risp.:

3. Si disegni il solido

V ={(x, y, z): x2− 2x + y2≤ 0, 0 ≤ z ≤ 1}

e si calcoli il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = (y, x, z!

x2+ y2), uscente da V . Risp.:

4. Nel semipiano x ≥ 0 del piano (x, z), si consideri la curva parametrizzata da γ(t) = (3t− 3 sin t, 3 − 3 cos t), t∈ [0, 2π].

i) si calcoli l’ascissa del baricentro (centroide) della curva [Sugg.: usare una formula di bisezione]; Risp.:

ii) si calcoli l’area della superficie ottenuta nello spazio (x, y, z) ruotando γ di 2π intorno all’asse z. Risp.:

5. Data la funzione di variabile complessa

f (z) = 3z3+ 2 (z − 1)(z2+ 9)

i) determinarne gli zeri, le singolarit`a e la loro classificazione, e rappresentarli nel piano complesso;

Risp.:

ii) calcolare gli integrali di "

γf (z)dz e "

γf#(z)/f(z)dz , dove γ `e la circonferenza di centro −i e raggio 3, per- corsa in senso orario. Risp.:

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