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2 2 sin x − arctan x = o(x) per x → 0 2 2 La funzione f (x, y

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(1)

Pisa, 14 Gennaio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

log527 = log520 + log57 2 2

La funzione cos x20 `e pari 2 2

L’equazione sin2x = x + 1000 non ha soluzioni reali 2 2

n−1· | sin n|1/2 → 0 per n → +∞ 2 2

sin x − arctan x = o(x) per x → 0 2 2

La funzione f (x, y) = x2+ 4xy + 4y2 ha un solo punto stazionario 2 2

∀M ∈ R ∃ K ∈ N tale che n2 ≥ M per ogni n ≥ K 2 2

La serie P(2n+ n2)xn converge per ogni x ∈ R 2 2 L’equazione differenziale u00 = t cos u `e lineare 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0

2x + sin x

x + sin x = . . . lim

x→4π

2x + sin x

x + sin x = . . . lim

x→+∞

2x + sin x

x + sin x = . . . . min {x ∈ R : |x − 10| ≤ 1} = . . . .

inf



α ∈ R :

Z +∞

5

x5

xα+ 5 converge



= . . . .

• Siano

f (x, y) = y x +1

2, A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 2, x + y ≥ 0 . Calcolare:

2f

∂x∂y(2, 3) = . . . .

Z

A

(x2+ y2) dx dy = . . . .

(2)

Pisa, 28 Gennaio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

log5140 = log520 + log57 2 2

La funzione sin x20 `e dispari 2 2

L’equazione x2 = x4− 1000 non ha soluzioni reali 2 2 Se x0 = 0 e xn+1 = 3xn+ 1 per ogni n ∈ N, allora x3 = 13 2 2

sin x − arctan x = o(x2) per x → 0 2 2

La funzione f (x, y) = cos x + cos y non ha punti stazionari 2 2

∀M ∈ R ∃ n ∈ N tale che 2n− n2000 > M 2 2

La serie di potenze P(2n+ 4n)xn ha raggio di convergenza 1/6 2 2 L’equazione differenziale u00 = u cos t `e lineare 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→0lim x sin2

x = . . . lim

x→1 x sin2

x = . . . lim

x→+∞ x sin2

x = . . . . max {x − 6y : x ∈ [0, 3], y ∈ [0, 1]} = . . . .

sup



α ∈ R : Z 1

0

dx

arctan(x) converge



= . . . .

• Siano

f (x, y) = y2 x + 1

2arctan y7, A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 2 . Calcolare:

2f

∂x∂y(2, 3) = . . . .

Z

A

(x2+ y2) dx dy = . . . .

(3)

Pisa, 11 Febbraio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

log527 = log520 · log57 2 2

La funzione sin4x3 `e dispari 2 2

L’equazione x−1 = ex ha esattamente una soluzione reale 2 2 Se an → +∞ e bn → −∞, allora di sicuro an+ bn non ha limite 2 2

sin x − arctan x = o(x3) per x → 0 2 2

La funzione f (x, y) = y + cos x non ha punti stazionari 2 2

2n+ 3n− 4n≥ 0 definitivamente 2 2

Se an > 0 per ogni n ∈ N e an+1/an→ 2006, allora P an diverge 2 2 L’equazione differenziale u00 = cos(tu) `e lineare 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→−∞lim x arctan3

x = . . . lim

x→0 x arctan3

x = . . . lim

x→+∞ x arctan3

x = . . . . max {3x − y : x ∈ [0, 3], y ∈ [0, 1]} = . . . .

min {|x − 10| : x ≤ 1} = . . . .

• Siano

f (x, y) = x y +1

2, A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 2, x ≥ 0 . Calcolare:

2f

∂x∂y(2, 3) = . . . .

Z

A

(x2+ y2) dx dy = . . . .

(4)

Pisa, 3 Giugno 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

arctan(π/4) = 1 2 2

La funzione sin3x4 `e dispari 2 2

L’equazione x−1 = x3+ 1000 ha esattamente due soluzioni reali 2 2 Se an> 0 per ogni n ∈ N e an+1/an → 2006, allora √n

an → 2006 2 2

sin3x4 = o(x10) per x → 0 2 2

(0, 0) `e un punto stazionario per la funzione f (x, y) = e2x+y2 2 2

∀M ∈ R ∃ K ∈ R tale che ex ≥ M per ogni x ≤ K 2 2

Per ogni x 6= 1 si ha che P

n=0xn= 1/(1 − x) 2 2

L’equazione differenziale u00= u + cos t `e lineare 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

lim

x→0+

ex+ 2 log x

ex+ 3 log x = . . . lim

x→1

ex+ 2 log x

ex+ 3 log x = . . . lim

x→+∞

ex+ 2 log x

ex+ 3 log x = . . . .

sup {x ∈ R : log(7 + x) < 0} = . . . . maxx2 : x ∈ [−2, 1] = . . . .

• Siano

f (x, y) = y x+ 1

2arctan y7, A = [0, 1] × [0, 1].

Calcolare:

2f

∂x2(2, 3) = . . . .

Z

A

xy2dx dy = . . . .

(5)

Pisa, 22 Luglio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

240 corrispondono a 4π/3 radianti 2 2

La funzione ex2 `e monotona in tutto R 2 2

L’unica soluzione dell’equazione x = sin(1000x) `e x = 0 2 2 Se an → +∞ e bn ≥ 0 per ogni n ∈ N, allora an+ bn → +∞ 2 2

log(1 + x2) = x2+ o(x3) per x → 0 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 7, y ≤ 4} `e limitato 2 2

∀ε > 0 ∃K ∈ R tale che ex < ε ∀x ≤ K 2 2

Se an ≥ 0 per ogni n ∈ N e √n

an→ 1, allora sicuramente P an converge 2 2 L’equazione differenziale u00 = u · cos t `e lineare e omogenea 2 2

• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

x→0lim

5x+ 2x

4x+ 3x = . . . lim

x→1

5x+ 2x

4x+ 3x = . . . lim

x→+∞

5x+ 2x

4x+ 3x = . . . . Z +∞

0

2

1 + x2 dx = . . . .

sup (

α ∈ R :

X

n=0

nα

n8+ 5 converge )

= . . . .

• Siano

f (x, y) = xe2xy, A =(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y ≤ 1 . Calcolare:

2f

∂y2(1, 1) = . . . .

Z

A

3 dx dy = . . . .

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