Pisa, 14 Gennaio 2006
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
log527 = log520 + log57 2 2
La funzione cos x20 `e pari 2 2
L’equazione sin2x = x + 1000 non ha soluzioni reali 2 2
n−1· | sin n|1/2 → 0 per n → +∞ 2 2
sin x − arctan x = o(x) per x → 0 2 2
La funzione f (x, y) = x2+ 4xy + 4y2 ha un solo punto stazionario 2 2
∀M ∈ R ∃ K ∈ N tale che n2 ≥ M per ogni n ≥ K 2 2
La serie P(2n+ n2)xn converge per ogni x ∈ R 2 2 L’equazione differenziale u00 = t cos u `e lineare 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
lim
x→0−
2x + sin x
x + sin x = . . . lim
x→4π
2x + sin x
x + sin x = . . . lim
x→+∞
2x + sin x
x + sin x = . . . . min {x ∈ R : |x − 10| ≤ 1} = . . . .
inf
α ∈ R :
Z +∞
5
x5
xα+ 5 converge
= . . . .
• Siano
f (x, y) = y x +1
2, A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 2, x + y ≥ 0 . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(2, 3) = . . . .
Z
A
(x2+ y2) dx dy = . . . .
Pisa, 28 Gennaio 2006
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
log5140 = log520 + log57 2 2
La funzione sin x20 `e dispari 2 2
L’equazione x2 = x4− 1000 non ha soluzioni reali 2 2 Se x0 = 0 e xn+1 = 3xn+ 1 per ogni n ∈ N, allora x3 = 13 2 2
sin x − arctan x = o(x2) per x → 0 2 2
La funzione f (x, y) = cos x + cos y non ha punti stazionari 2 2
∀M ∈ R ∃ n ∈ N tale che 2n− n2000 > M 2 2
La serie di potenze P(2n+ 4n)xn ha raggio di convergenza 1/6 2 2 L’equazione differenziale u00 = u cos t `e lineare 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→0lim x sin2
x = . . . lim
x→1 x sin2
x = . . . lim
x→+∞ x sin2
x = . . . . max {x − 6y : x ∈ [0, 3], y ∈ [0, 1]} = . . . .
sup
α ∈ R : Z 1
0
dx
arctan(x5α) converge
= . . . .
• Siano
f (x, y) = y2 x + 1
2arctan y7, A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 2 . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(2, 3) = . . . .
Z
A
(x2+ y2) dx dy = . . . .
Pisa, 11 Febbraio 2006
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
log527 = log520 · log57 2 2
La funzione sin4x3 `e dispari 2 2
L’equazione x−1 = ex ha esattamente una soluzione reale 2 2 Se an → +∞ e bn → −∞, allora di sicuro an+ bn non ha limite 2 2
sin x − arctan x = o(x3) per x → 0 2 2
La funzione f (x, y) = y + cos x non ha punti stazionari 2 2
2n+ 3n− 4n≥ 0 definitivamente 2 2
Se an > 0 per ogni n ∈ N e an+1/an→ 2006, allora P an diverge 2 2 L’equazione differenziale u00 = cos(tu) `e lineare 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→−∞lim x arctan3
x = . . . lim
x→0 x arctan3
x = . . . lim
x→+∞ x arctan3
x = . . . . max {3x − y : x ∈ [0, 3], y ∈ [0, 1]} = . . . .
min {|x − 10| : x ≤ 1} = . . . .
• Siano
f (x, y) = x y +1
2, A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 2, x ≥ 0 . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(2, 3) = . . . .
Z
A
(x2+ y2) dx dy = . . . .
Pisa, 3 Giugno 2006
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
arctan(π/4) = 1 2 2
La funzione sin3x4 `e dispari 2 2
L’equazione x−1 = x3+ 1000 ha esattamente due soluzioni reali 2 2 Se an> 0 per ogni n ∈ N e an+1/an → 2006, allora √n
an → 2006 2 2
sin3x4 = o(x10) per x → 0 2 2
(0, 0) `e un punto stazionario per la funzione f (x, y) = e2x+y2 2 2
∀M ∈ R ∃ K ∈ R tale che ex ≥ M per ogni x ≤ K 2 2
Per ogni x 6= 1 si ha che P∞
n=0xn= 1/(1 − x) 2 2
L’equazione differenziale u00= u + cos t `e lineare 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
lim
x→0+
ex+ 2 log x
ex+ 3 log x = . . . lim
x→1
ex+ 2 log x
ex+ 3 log x = . . . lim
x→+∞
ex+ 2 log x
ex+ 3 log x = . . . .
sup {x ∈ R : log(7 + x) < 0} = . . . . maxx2 : x ∈ [−2, 1] = . . . .
• Siano
f (x, y) = y x+ 1
2arctan y7, A = [0, 1] × [0, 1].
Calcolare:
∂2f
∂x2(2, 3) = . . . .
Z
A
xy2dx dy = . . . .
Pisa, 22 Luglio 2006
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
240◦ corrispondono a 4π/3 radianti 2 2
La funzione ex2 `e monotona in tutto R 2 2
L’unica soluzione dell’equazione x = sin(1000x) `e x = 0 2 2 Se an → +∞ e bn ≥ 0 per ogni n ∈ N, allora an+ bn → +∞ 2 2
log(1 + x2) = x2+ o(x3) per x → 0 2 2
L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 7, y ≤ 4} `e limitato 2 2
∀ε > 0 ∃K ∈ R tale che ex < ε ∀x ≤ K 2 2
Se an ≥ 0 per ogni n ∈ N e √n
an→ 1, allora sicuramente P an converge 2 2 L’equazione differenziale u00 = u · cos t `e lineare e omogenea 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→0lim
5x+ 2x
4x+ 3x = . . . lim
x→1
5x+ 2x
4x+ 3x = . . . lim
x→+∞
5x+ 2x
4x+ 3x = . . . . Z +∞
0
2
1 + x2 dx = . . . .
sup (
α ∈ R :
∞
X
n=0
nα
n8+ 5 converge )
= . . . .
• Siano
f (x, y) = xe2xy, A =(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y ≤ 1 . Calcolare:
∂2f
∂y2(1, 1) = . . . .
Z
A
3 dx dy = . . . .