Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale

(1)

Francesca Poggiolesi

Facolt` a di Medicina e Chirurgia

26 Agosto 2010, Firenze

(2)

Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale Dal test alla logica

Alcuni esempi di test 1

Se ` e vero che “chi disprezza, compra,” sar` a necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, non compra,

I chi non disprezza, compra,

(3)

Alcuni esempi di test 1

Se ` e vero che “chi disprezza, compra,” sar` a necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, non compra,

I chi non disprezza, compra,

(4)

Alcuni esempi di test 1

Se ` e vero che “chi disprezza, compra,” sar` a necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, non compra,

I chi non disprezza, compra,

(5)

Alcuni esempi di test 1

Se ` e vero che “chi disprezza, compra,” sar` a necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, non compra,

I chi non disprezza, compra,

(6)

Alcuni esempi di test 1

Se ` e vero che “chi disprezza, compra,” sar` a necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, non compra,

I chi non disprezza, compra,

(7)

Alcuni esempi di test 1

Se ` e vero che “chi disprezza, compra,” sar` a necessariamente vera anche una delle affermazioni seguenti:

I chi non compra, non disprezza,

I chi non compra, disprezza,

I chi non disprezza, non compra,

I chi non disprezza, compra,

(8)

Alcuni esempi di test 2

Non si d` a il caso che Anna ` e bella e simpatica. O, equivalentemente...

I Anna ` e bella e simpatica,

I se Anna non ` e bella, allora non ` e simpatica,

I non si d` a il caso che Anna non ` e bella n´ e simpatica,

I Anna non ` e bella o non ` e simpatica.

(9)

Alcuni esempi di test 2

Non si d` a il caso che Anna ` e bella e simpatica. O, equivalentemente...

I Anna ` e bella e simpatica,

I se Anna non ` e bella, allora non ` e simpatica,

I non si d` a il caso che Anna non ` e bella n´ e simpatica,

I Anna non ` e bella o non ` e simpatica.

(10)

Alcuni esempi di test 2

Non si d` a il caso che Anna ` e bella e simpatica. O, equivalentemente...

I Anna ` e bella e simpatica,

I se Anna non ` e bella, allora non ` e simpatica,

I non si d` a il caso che Anna non ` e bella n´ e simpatica,

I Anna non ` e bella o non ` e simpatica.

(11)

Alcuni esempi di test 2

Non si d` a il caso che Anna ` e bella e simpatica. O, equivalentemente...

I Anna ` e bella e simpatica,

I se Anna non ` e bella, allora non ` e simpatica,

I non si d` a il caso che Anna non ` e bella n´ e simpatica,

I Anna non ` e bella o non ` e simpatica.

(12)

Alcuni esempi di test 2

Non si d` a il caso che Anna ` e bella e simpatica. O, equivalentemente...

I Anna ` e bella e simpatica,

I se Anna non ` e bella, allora non ` e simpatica,

I non si d` a il caso che Anna non ` e bella n´ e simpatica,

I Anna non ` e bella o non ` e simpatica.

(13)

Alcuni esempi di test 3

Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.

Sei un artista. Dunque:

I hai talento,

I non hai talento,

I non ` e possibile inferire alcuna conclusione,

I non sei artista e hai talento.

(14)

Alcuni esempi di test 3

Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.

Sei un artista. Dunque:

I hai talento,

I non hai talento,

I non ` e possibile inferire alcuna conclusione,

I non sei artista e hai talento.

(15)

Alcuni esempi di test 3

Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.

Sei un artista. Dunque:

I hai talento,

I non hai talento,

I non ` e possibile inferire alcuna conclusione,

I non sei artista e hai talento.

(16)

Alcuni esempi di test 3

Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.

Sei un artista. Dunque:

I hai talento,

I non hai talento,

I non ` e possibile inferire alcuna conclusione,

I non sei artista e hai talento.

(17)

Alcuni esempi di test 3

Si completi il seguente ragionamento. Se hai talento, sei un artista.

Sei un artista. Dunque:

I hai talento,

I non hai talento,

I non ` e possibile inferire alcuna conclusione,

I non sei artista e hai talento.

(18)

Strategie differenti

Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test:

I rispondere a caso,

I ragionare,

I applicare un metodo.

(19)

Strategie differenti

Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test:

I rispondere a caso,

I ragionare,

I applicare un metodo.

(20)

Strategie differenti

Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test:

I rispondere a caso,

I ragionare,

I applicare un metodo.

(21)

Strategie differenti

Tre sono le strategie che si possono adottare per rispondere a tali test:

I rispondere a caso,

I ragionare,

I applicare un metodo.

(22)

Logica come metodo

In questo corso cercher` o di spiegarvi (brevemente) quella parte di

logica, detta proposizionale, che in questo contesto pu` o essere

vista come il metodo per risolvere i tipi di domande sopra esposte.

(23)

Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale Logica proposizionale: formalizzazione

Enunciati atomici

Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.

Esempi:

I piove,

I Paolo ama Francesca,

I Firenze ` e il capoluogo della Toscana.

(24)

Enunciati atomici

Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.

Esempi:

I piove,

I Paolo ama Francesca,

I Firenze ` e il capoluogo della Toscana.

(25)

Enunciati atomici

Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.

Esempi:

I piove,

I Paolo ama Francesca,

I Firenze ` e il capoluogo della Toscana.

(26)

Enunciati atomici

Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.

Esempi:

I piove,

I Paolo ama Francesca,

I Firenze ` e il capoluogo della Toscana.

(27)

Enunciati atomici

Si dicono atomici quegli enunciati che non si lasciano decomporre ulteriormente in parti che sono a loro volta enunicati.

Esempi:

I piove,

I Paolo ama Francesca,

I Firenze ` e il capoluogo della Toscana.

(28)

Enunciati composti

Si dicono composti quegli enunciati che possono essere considerati il risultato di applicazioni di operazioni che trasformano enunciati in enunciati.

Si possono isolare cinque operazioni fondamentali.

(29)

Enunciati composti

Si dicono composti quegli enunciati che possono essere considerati il risultato di applicazioni di operazioni che trasformano enunciati in enunciati.

Si possono isolare cinque operazioni fondamentali.

(30)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo:

(31)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo:

(32)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo:

(33)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo:

(34)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo: A

(35)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo: B

(36)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo: C

(37)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo: ¬

(38)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo: ¬ A

(39)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo: ¬ B

(40)

Prima operazione: negazione

Partiamo con l’analizzare i seguenti enunciati (composti):

non piove

Anna non ` e sorella di Marco 4 non ` e un numero primo

Formalmente, abbiamo: ¬ C

(41)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo:

(42)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo:

(43)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo:

(44)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo:

(45)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: ∧

(46)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: A ∧ B

(47)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: C ∧ D

(48)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: E ∧ F

(49)

Seconda operazione: congiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Maria ` e bella e (Maria ` e) ricca 2 ` e pari e 3 ` e dispari

nevica e fa freddo nevica e nevica

Formalmente, abbiamo: E ∧ E

(50)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo:

(51)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo:

(52)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo:

(53)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo:

(54)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo: ∨

(55)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo: A ∨ B

(56)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo: C ∨ D

(57)

Terza operazione: disgiunzione

Continuiamo con i seguenti enunciati (composti):

Piove o nevica

Carlo ` e pazzo o (Carlo ` e) bugiardo

il vincitore ` e Alberto o il vincitore ` e Alessandro

Formalmente, abbiamo: E ∨ F

(58)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo:

(59)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo:

(60)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo:

(61)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo:

(62)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo: →

(63)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo: A → B

(64)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo: C → D

(65)

Quarta operazione: implicazione

Proseguiamo con i seguenti enunciati (composti):

Se ` e domenica, allora i negozi sono chiusi se piove, allora prendo l’ombrello

se qualcuno mi accompagna, allora vengo alla festa

Formalmente, abbiamo: E → F

(66)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo:

(67)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo:

(68)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo:

(69)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo:

(70)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo: ↔

(71)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo: A ↔ B

(72)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo: C ↔ D

(73)

Quinta operazione: bicondizionale

Terminiamo con i seguenti enunciati (composti):

I funghi nascono se, e solo se, la stagione ` e adatta

L’esame si passa se, e solo se, si ottiene un voto superiore a 17 L’acquisto si far` a se, e solo se, il prezzo non supera la nostra disponibilit` a

Formalmente, abbiamo: E ↔ F

(74)

Riassumendo...

I Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B, ....)

I ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:

¬, ∧, ∨, →, ↔

(75)

Riassumendo...

I Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B, ....)

I ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:

¬, ∧, ∨, →, ↔

(76)

Riassumendo...

I Sappiamo formalizzare gli enunciati atomici (A, B, ....)

I ma anche gli enunciati composti dai cinque connettivi:

¬, ∧, ∨, →, ↔

(77)

Da notare

I i connettivi fin qui introdotti non operano soltanto su

enunciati atomici ma anche su enunciati composti, e.g.

(78)

Da notare

I i connettivi fin qui introdotti non operano soltanto su

enunciati atomici ma anche su enunciati composti, e.g.

(79)

Esempio 1

Se Anna non ` e sorella di Marco, allora ` e amica di Lucia e cugina di Mauro

¬ A → ( B ∧ C )

(80)

Esempio 1

Se Anna non ` e sorella di Marco, allora ` e amica di Lucia e cugina di Mauro

¬

A

→ (

B

∧

C

)

(81)

Esempio 1

Se Anna non ` e sorella di Marco, allora ` e amica di Lucia e cugina di Mauro

¬ A

→ (

B

∧

C

)

(82)

Esempio 1

Se Anna non ` e sorella di Marco, allora ` e amica di Lucia e cugina di Mauro

¬ A

→ (

B ∧ C

)

(83)

Esempio 1

Se Anna non ` e sorella di Marco, allora ` e amica di Lucia e cugina di Mauro

¬ A →

(

B ∧ C

)

(84)

Esempio 1

Se Anna non ` e sorella di Marco, allora ` e amica di Lucia e cugina di Mauro

¬ A → ( B ∧ C )

(85)

Esempio 2

Anna non ` e sorella di Marco e se ` e cugina di Giovanni allora ` e parente di Cristina

¬ A ∧ ( B → C )

(86)

Esempio 2

Anna non ` e sorella di Marco e se ` e cugina di Giovanni allora ` e parente di Cristina

¬

A

∧ (

B

→

C

)

(87)

Esempio 2

Anna non ` e sorella di Marco e se ` e cugina di Giovanni allora ` e parente di Cristina

¬ A

∧ (

B

→

C

)

(88)

Esempio 2

Anna non ` e sorella di Marco e se ` e cugina di Giovanni allora ` e parente di Cristina

¬ A ∧

(

B

→

C

)

(89)

Esempio 2

Anna non ` e sorella di Marco e se ` e cugina di Giovanni allora ` e parente di Cristina

¬ A ∧

(

B → C

)

(90)

Esempio 2

Anna non ` e sorella di Marco e se ` e cugina di Giovanni allora ` e parente di Cristina

¬ A ∧ ( B → C )

(91)

Da notare

I nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressioni sincategorematiche, che si lasciano per` o assimilare ai connettivi classici, e.g.

I

Anna ` e bella ma insensibile, Gianni studia nonostante sia malato. Equivalgono a ∧.

I

Gianni sta male quando vola, 28 ` e pari perch´ e ` e divisibile per

due. Equivalgono a →.

(92)

Da notare

I nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressioni sincategorematiche, che si lasciano per` o assimilare ai connettivi classici, e.g.

I

Anna ` e bella ma insensibile, Gianni studia nonostante sia malato. Equivalgono a ∧.

I

Gianni sta male quando vola, 28 ` e pari perch´ e ` e divisibile per

due. Equivalgono a →.

(93)

Da notare

I nel discorso dichiarativo, vi sono molte altre espressioni sincategorematiche, che si lasciano per` o assimilare ai connettivi classici, e.g.

I

Anna ` e bella ma insensibile, Gianni studia nonostante sia malato. Equivalgono a ∧.

I

Gianni sta male quando vola, 28 ` e pari perch´ e ` e divisibile per

due. Equivalgono a →.

(94)

Percorso 2010: Introduzione alla Logica Proposizionale Logica proposizionale: tavole di verit`a

Domanda

Quand’` e che un enunciato della forma “non piove” ` e vero?

(95)

Domanda

Quand’` e che un enunciato della forma “se piove, prendo

l’ombrello” ` e vero?

(96)

Domanda

Come si fa a determinare la verit` a di un enunciato composto?

(97)

Domanda

Rispettando i tre principi di determinatezza, bivalenza e

verofunzionalit` a, la risposta si articola nel modo seguente...

(98)

Valori di verit` a

Assumiamo di denotare la verit` a con il numero 1, e la falsit` a con il numero 0.

Mostriamo le tavole di verit` a di ciascuno dei nostri connettivi.

(99)

Valori di verit` a

Assumiamo di denotare la verit` a con il numero 1, e la falsit` a con il numero 0.

Mostriamo le tavole di verit` a di ciascuno dei nostri connettivi.

(100)

Tavole di verit` a. Negazione

A ¬ A

1 0

0 1

¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(101)

Tavole di verit` a. Negazione

A

¬ A

1 0

0 1

¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(102)

Tavole di verit` a. Negazione

A

¬ A

1

0 0 1

¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(103)

Tavole di verit` a. Negazione

A

¬ A

1

0

1 ¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(104)

Tavole di verit` a. Negazione

A ¬ A 1

0

1 ¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(105)

Tavole di verit` a. Negazione

A ¬ A

1 0

0

1 ¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(106)

Tavole di verit` a. Negazione

A ¬ A

1 0

0 1

¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(107)

Tavole di verit` a. Negazione

A ¬ A

1 0

0 1

¬ A ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso (vero)

(108)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(109)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B

A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(110)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B

A ∧ B

1 1

1 1 0 0

0 1 0

0 0 0

A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(111)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B

A ∧ B

1 1

1 1 0

0 0 1 0

0 0 0

A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(112)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B

A ∧ B

1 1

1 1 0

0 0 1

0 0 0 0

A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(113)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B

A ∧ B

1 1

1 1 0

0 0 1

0 0 0

0 A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(114)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1

1 1 0

0 0 1

0 0 0

0 A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(115)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1 1

1 0

0 0 1

0 0 0

0 A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(116)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1

0 0 0

0 A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(117)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0

0 A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(118)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(119)

Tavole di verit` a. Congiunzione

A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

A ∧ B ` e vero (falso) se e solo se A e B sono veri (A ` e falso o B ` e

falso).

(120)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(121)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B

A ∨ B

1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(122)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(123)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1 1

1 0

1 0 1

1 0 0

0 A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(124)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1

1 0 0

0 A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(125)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0

0 A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(126)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(127)

Tavole di verit` a. Disgiunzione

A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

A ∨ B ` e vero (falso) se e solo se A ` e vero o B ` e vero (A e B sono

entrambi falsi).

(128)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B A → B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(129)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B

A → B

1 1

1 1 0

0 0 1

1 0 0

1 A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(130)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B A → B

1 1

1 1 0

0 0 1

1 0 0

1 A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(131)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B A → B

1 1 1

1 0

0 0 1

1 0 0

1 A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(132)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B A → B

1 1 1

1 0 0

0 1

1 0 0

1 A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(133)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B A → B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0

1 A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(134)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B A → B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(135)

Tavole di verit` a. Implicazione

A B A → B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

A → B ` e vero (falso) se e solo se A ` e falso o B ` e vero (A ` e vero e

B ` e falso).

(136)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(137)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B

A ↔ B

1 1

1 1 0

0 0 1

0 0 0

1 A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(138)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1

1 1 0

0 0 1

0 0 0

1 A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(139)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1 1

1 0

0 0 1

0 0 0

1 A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(140)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1 1

1 0 0

0 1

0 0 0

1 A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(141)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0

1 A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(142)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(143)

Tavole di verit` a. Bicondizionale

A B A ↔ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A ↔ B ` e vero (falso) se e solo se A e B hanno lo stesso valore di

verit` a (A e B hanno valori di verit` a distinti).

(144)

Esempio 1

Prendiamo l’enunciato “oggi piove e fa freddo”

(145)

Esempio 1

Sappiamo che si formalizza con: A ∧ B

(146)

Esempio 1

Supponiamo che qualcuno ci chieda se da questo enunciato segue

necessariamente che “piove”

(147)

Esempio 1

Formalizziamo anche tale domanda: A ∧ B → A?

(148)

Esempio 1

Facciamo la tavola di verit` a di A ∧ B → A

(149)

Esempio 2

Prima di cominciare a fare la tavola di verit` a di A ∧ B → A, una osservazione importante

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(150)

Esempio 2

Quando si fa la tavola di verit` a di enunciati contenenti pi` u di un connettivo, bisogna stabilire qual ` e il connettivo principale.

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(151)

Esempio 2

In A ∧ B → A il connettivo principale ` e →.

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(152)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(153)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(154)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(155)

Esempio 2

A

∧ ¹

B

→ ²

A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(156)

Esempio 2

A

∧ ¹

B

→ ²

A 1

1

1 1 1

0

1 1 0

0

1

1 0 0

0

1

0

(157)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A 1

1

1 1 1

0

1 1 0

0

1

1 0 0

0

1

0

(158)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1

1

1 1 0 0

1

1 0 0 1

1

0 0 0 0

1

0

(159)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(160)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

(161)

Esempio 2

A ∧ ¹ B → ² A

1 1 1 1 1

1 0 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

La risposta ` e affermativa: da “piove e fa freddo” segue

necessariamente che “piove”

(162)

Tautologie

La tautologie sono quegli enunciati composti il cui valore di verit` a

` e sempre 1

(163)

Tautologie

Ad esempio:

(164)

Tautologie

A → A ∨ B

(165)

Tautologie

A → (B → A) a fortiori

(166)

Tautologie

¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B) De Morgan I

¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B) De Morgan II