1) L’operatore Hamiltoniano di due particelle ` e il seguente H = p

Corso di laurea in Fisica

II Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 7 Gennaio 2014

studente/ssa:

matricola:

1) L’operatore Hamiltoniano di due particelle ` e il seguente H = p

2m

+ p

2m

+ 1

2 k|r

− r

|

(v indica una quantit` a vettoriale tridimensionale).

- Si scriva l’Hamiltoniano nelle coordinate baricentrali e del moto relativo.

- Si determinino le osservabili compatibili che commutano con H.

- Per quali valori di energia ho la possibilit` a di stati legati? Quali sono le energi degli stati legati?

- Quale degenerazione ` e rimossa dal seguente termine aggiunto all’ Hamiltoniano?

V = −gB · L (L momento angolare del sistema rispetto al centro di massa).

Dopo la riscrittura dell Hamiltoniano nelle coordinate baricentrali e del moto relativo notiamo che il moto relativo ` e quello di un oscillatore armonico avente freqeunza propria ω =

q

k/µ

µ massa ridotta. L’impulso del baricentro, il modulo del momento angolare ed una sua componente commutano con H. Il potenziale legante ` e armonico ed ammette sempre stati legati. La degenerazione essenziale ` e rimossa dalla pertubazione.

2) Una particella di massa m ` e confinata in un cubo di lato L (0 ≤ x ≤ L,0 ≤ y ≤ L,0 ≤ z ≤ L).

- Scrivere autostati ed autovalori dell’Hamiltoniano.

- Aggiungendo il termine pertubativo

V (x, y, z) = λδ(x − L

2 )δ(y − L

2 )δ(z − L

2 ) (λ > 0) - Quale ` e la costante di sviluppo adimensionale per la teoria perturbativa?

- Determinare la correzione al primo ordine per l’energia dello stato fondamentale e del primo eccitato.

- Stimare in base al calcolo precedente il valore della costante di sviluppo adimensionale per il quale l’energia dello stato fondamentale uguaglia quella del primo eccitato e commentare il risultato ottenuto in termini della validit` a della teoria delle perturbazioni.

Il problema equivale al calcolo delle autofunzioni nelle tre direzioni, l’energia sar` a la

somma di tre termini. Dimensionalmente λ ` e una (energia x lughezza) dunque la costante adimensionale sara data da λL/E

dove E

` e una scala di energia dell Hamiltoniano in assenza di perturbazione....

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3) Lo stato di un atomo di idrogeno a riposo nel sistema di riferimento del laboratorio ` e tale che una misura di energia fornisce con certezza il valore del primo stato eccitato E

.

- Scrivere lo stato pi` u generale che soddisfa tale requisito.

- Stimare su tale stato il valore minimo per il prodotto

< ∆L

>< ∆L

> .

utti gli stati che hanno energia pari al primo stato eccitato sono uno stato a ` = 0 e 3

stati a ` = 1 lo stato piu generale ` e la loro combinazione lineare. L’applicazione successsiva del principio di indeterminazione fornisce il risultato richiesto.

4) L’operatore Hamiltoniano di due particelle identiche che si muovono in una dimensione ` e il seguente

H = p

2m + p

2m + 1

2 k|x

− x

|

- Determinare le energie e gli autostati del sistema relativi allo stato fondamentale ed al primo eccitato nei due casi

a) bosoni di spin nullo b) fermioni di spin 1/2

- Nel caso b) si aggiunga il seguente termine all’Hamiltoniano:

V = −λs

· s

(λ > 0)

determinare i nuovi valori per l’energia dello stato fondamentale e del primo eccitato.

Trasformando in coordinate baricentrali e relative ci si accorge che l’Hamiltoniano si separa, la funzione d’onda orbitale sar` a dunque il prodotto di una parte dipendente dalla coordinata

baricentrale e da una dipendente dalla coordinata relativa. Le condizioni di simmetrizzazione/antisimmetrizzazione vanno imposte tenedo conto della eventuale presenza della parte di spin. Per l’ultima questione

sar` a utile riscrivere il prodotto scalare in termini del modulo della somma dei due spin e dei due moduli s

ed s

...

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