1) Si considerino due particelle che interagiscono tramite la Hamiltoniana

Suggerimenti per la soluzione del

I Parziale di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 12 Novembre 2018

1) Si considerino due particelle che interagiscono tramite la Hamiltoniana

H ₀ = p ² ₁

2m ₁ + p ² ₂

2m ₂ + V (|r ₁ − r ₂ |)

- Si determino tutte le osservabili che commutano con H ₀ dandone una giustificazione.

- Si dia una espressione generale per l’autostato appartenente allo spettro discreto del problema.

- Per particelle dotate di spin si aggiunga ad H ₀ il potenziale U = −g ˜ s 1 · ˜ s 2

- Si determinino di nuovo tutte le osservabili che commutano con H = H ₀ + U .

Si pu` o notare l’invarianza per traslazione e rotazione spaziale dell’Hamiltoniano...

Il termine aggiuntivo si pu` o esprimere tramite il modulo quadro dello spin troatle ed imoduli quandir dei singoli spin...

2) Lo stato di una particella di spin 1/2 in uno spazio unidimensionale ` e rappresentato dal seguente spinore

 ψ ₊ (x) ψ − (x)



nella base degli autostati della componente z dello spin. Inoltre ψ ± (x) = A exp(− ^(x∓x _4σ

⁾

).

- Determinare A affinch` e lo stato sia normalizzato.

- Determinare la probabilit` a di trovare in una misura dello spin lungo z il valore ¯ h/2.

- Determinare su questo stato i valori medio < x >,< σ _z > e la loro correlazione < xσ _z >. Essendo la costante A comune alle due componenti la probabilit` a di cui al secondo punto risulta 1/2... Si pu` o notare la correlazione fra spin e coordinata confrontando i diversi valori medi...

3) La funzione d’onda di due particelle in uno spazio tridimensionale ` e tale che Z

d ³ r ₂ |ψ(r ₁ , r ₂ )| ² =

 1 2πσ ²

 3/2

exp(− |r 1 | ² 2σ ² ) Z

d ³ r ₁ |ψ(r ₁ , r ₂ )| ² =

 1 2πσ ²

 3/2

exp(− |r ₂ | ² 2σ ² ) - Dare un esempio di funzione d’onda ψ(r 1 , r 2 ) che soddisfi tali requisiti.

- Se le due particelle sono bosoni di spin 0 determinare se la funzione trovata ` e ammissibile.

- Se le due particelle sono fermioni di spin 1/2 quale sar` a la parte di spin ammissibile?

Una funzione prodotto soddisfa facilmente i requisiti richiesti...

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4) Una misura di energia in un atomo di idrogeno pu` o fornire i soli due valori pari all’energia dello stato fondamentale e a quello del primo stato eccitato con uguale probabilit` a.

- Scrivere gli stati del sistema che soddisfano tali requisiti.

- Aggiungendo all’Hamiltoniano un termine del tipo

−g ~ B · ~ L con g > 0 e ~ B campo esterno omogeneo.

- quale degenerazione viene rotta nell schema dei livelli?

- determinare le energie dello stato fondamentale e del primo stato eccitato.

Si deve ricordare come in assenza di ogni interazione e nel caso non-relativistico lo stato eccitato dell’atomo di idrogeno risulti 4 volte degenere... Il termine aggiuntivo rimuove questa degenerazione...

5) Un oscillatore armonico di frequenza caratteristica ω ` e perturbato dal termine V = −λ(a ^{† 2} + a ² )

- Determinare le correzioni al primo e secondo ordine alla energia dello stato fondamentale.

- Determinare la correzione al primo ordine allo stato fondamentale.

Il potenziale di perturbazione connette fra loro stati |ni ed |n ± 2i...

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