2. Sia X uno spazio T

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 6

7 Novembre 2013

1. Sia A un sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio topologico X. Provare che se B ` e un sottoinsieme connesso di X che interseca A e X r A allora B interseca Fr(A).

2. Sia X uno spazio T

, sia C un chiuso di X e sia ∼ la relazione di equivalenza su X che identifica i punti di C. Dimostrare che X/ ∼ ` e T

.

3. Mostrare che uno spazio topologico X ` e connesso se e soltanto se ogni sottoinsieme proprio e non vuoto di X ha frontiera non vuota.

4. Provare che l’unione delle circonferenze di centro (0, 0) e raggio razionale ≤ 1 ` e un sottoinsieme sconnesso di R

euclideo.

5. Sia σ la topologia su R che ha per base gli intervalli della forma [a, b) con a < b. ` E vero che (R, σ) `e connesso?

6. Sia X uno spazio T

. Provare che X ` e regolare se e solo se per ogni x ∈ X e per ogni intorno aperto U di x in X esiste un aperto V di X tale che x ∈ V ⊂ V ⊂ U .

7. Sia X uno spazio T

. Provare che X ` e normale se e solo se per ogni chiuso F ⊂ X e per ogni aperto U di X contenente F esiste un aperto V di X tale che F ⊂ V ⊂ V ⊂ U . 8. Siano A e B sottoinsiemi non vuoti di uno spazio topologico tali che A ∪ B e A ∩ B

sono connessi. Dimostrare che se A e B sono entrambi aperti o entrambi chiusi allora A e B sono connessi.

9. Sia X un insieme infinito e sia τ la topologia cofinita su X. Provare che (X, τ ) ` e connesso.

10. Si doti l’intervallo [0, 1] della topologia euclidea e si consideri la relazione di equivalenza

∼ su [0, 1] che identifica i punti di (0, 1). Sia poi X := [0, 1]/ ∼.

(a) Descrivere gli aperti di X.

(b) Dire se X ` e T

, T

, T

. (c) Dire se X ` e 1-numerabile.

(d) Dire se X ` e 2-numerabile.