Analisi Matematica 1 1 settembre 2011 COMPITO 1
Cognome e nome . . . Firma . . . Matricola . . . .
Corso di Laurea: ♦ AMBLT ♦ AUTLT ♦ CIVLT ♦ GESLT ♦ MATLT ♦ MECLT Sezione: ♦ SEZIONE I ♦ SEZIONE II
Istruzioni
1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata.
2. Per lo studio di funzione: SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. Per i quesiti a risposta chiusa: SEGNARE nella tabella riportata in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande; in caso di correzione, apporre un “SI”
vicino alla risposta scelta.
4. PUNTEGGI per i quesiti a risposta chiusa: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data
= 0.
5. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.
6. CONSEGNARE IL FOGLIO CONTENENTE LA GRIGLIA DELLE RISPOSTE con TUTTI I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
A A A A A A A
B B B B B B B
C C C C C C C
D D D D D D D
Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da:
f (x) = 2 log | log (x + 2)| + log (x + 2).
(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
(b) Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzon- tali, obliqui) per f .
Risposta [punti 2]:
(c) Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 1]:
(d) Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
(e) Calcolare la derivata seconda di f e studiare concavit`a/convessit`a della funzione.
Risposta [punti 2]:
(f) Tracciare un grafico della funzione f , in accordo con i risultati ottenuti.
Risposta [punti 1]:
x y
Analisi Matematica 1 1 settembre 2011 COMPITO 1
1. Siano z1 e z2 le soluzioni dell’equazione (z − 2)2= −i. Allora z1+ z2 vale Risp.: A : 4 B : 2 C : √
2 D : 2 − i
2. Il limite
n→+∞lim
[−(n + 2)! + n!]
1 − e3(n−1)!1 qn6
3 + log (n + 1) vale
Risp.: A : √1
3 B : 0 C : 13 D : −∞
3. L’integrale improprio
Z +∞
1
p1 +√ x −√4
x
xα dx
converge se e solo se
Risp.: A : α ≤ 34 B : α > 34 C : ∀α D : α > 12
4. Il limite
lim
x→0+
arctan1x −π2 (cos x + 1) x − sin2x
vale
Risp.: A : 2 B : non esiste C : −2 D : 0
5. Sia f : R → R derivabile tale che limx→0 f (x)
x−sin x = 7. Allora il grafico approssimativo di f in un intorno di x = 0 `e dato da
Risp.: A : B : C : D :
6. L’integrale
Z 2 1
ln2x dx vale
Risp.: A : 2 ln22+4 ln 2−6 B : 2 ln22−4 ln 2+2 C : 2 ln22−4 ln 2−2 D : 2 ln22+4 ln 2+6
7. Sia ˜y : R → R la soluzione del problema di Cauchy
y00− y = x + sin x y(0) = 0
y0(0) = 0.
Allora ˜y(π) vale
Risp.: A : 32sinh π − π B : π C : −π D : 2π
