Analisi Matematica 1 20 gennaio 2011 COMPITO 1
Cognome e nome . . . Firma . . . Matricola . . . .
Corso di Laurea: ♦ AMBLT ♦ AUTLT ♦ CIVLT ♦ GESLT ♦ MATLT ♦ MECLT Sezione: ♦ SEZIONE I ♦ SEZIONE II
Istruzioni
1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata.
2. Per lo studio di funzione: SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. Per i quesiti a risposta chiusa: SEGNARE nella tabella riportata in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande; in caso di correzione, apporre un “SI”
vicino alla risposta scelta.
4. PUNTEGGI per i quesiti a risposta chiusa: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data
= 0.
5. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.
6. CONSEGNARE IL FOGLIO CONTENENTE LA GRIGLIA DELLE RISPOSTE con TUTTI I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO
7. TEMPO a disposizione: 150 min.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
A A A A A A A
B B B B B B B
C C C C C C C
D D D D D D D
Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da:
f (x) = x
√4 + x2 −1
2arctanx 2
(a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 0,5]:
(b) Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzon- tali, obliqui) per f .
Risposta [punti 1,5]:
(c) Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 1]:
(d) Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
(e) Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
(f) Tracciare un grafico della funzione f , in accordo con i risultati ottenuti.
Risposta [punti 2]:
Analisi Matematica 1 20 gennaio 2011 COMPITO 1
1. Le soluzioni dell’equazione z4− i|1 + i√
3|z = 0 sono date da Risp.: A : 0, √3
2(
√ 3
2 − 2i), √3 2(
√ 3
2 + 2i), −√3
2i B : 0, √3 2(12 +
√ 3 2 i), √3
2(−12 +
√ 3
2 i), −√3 2i C : 0, √3
2(
√3
2 +2i), √3 2(−
√3
2 +2i), −√3
2i D : 0, √3 2(
√3
2 +2i), √3 2(−
√3
2 +2i), √3 2i
2. Il limite
n→+∞lim q
arctan7n+ n −√ n
√n(1 − cosn7) vale
Risp.: A : +∞ B : 17 C : −17 D : 0
3. Dato β ∈ R, la serie numerica
+∞
X
n=1
n2+ 1 n3
1 + 1
n
(β−1)n2
converge se e solo se
Risp.: A : β ≤ 1 B : β > 1 C : β ≥ 1 D : β < 1
4. Siano α > 0 e f : R −→ R definita da f (x) =
(0 se x ≤ 1,
(x − 1)αsinp(x − 1) se x > 1.3 Allora f `e derivabile in x = 1 se e solo se
Risp.: A : α > 23 B : α < 23 C : α ≥ 23 D : α ≤ 23
5. Il limite lim
x→+∞
3x cosh7x(sinh7x− sinx7)
e7x − 1 − log(1 +x7) vale Risp.: A : +∞ B : 0 C : 7 D : 7√
2
6. Sia F la primitiva di f (x) = e3x− 2ex
1 + e2x tale che F (0) = 1. Calcolare F (1) Risp.: A : 2 B : 1 C : +∞ D : e + 3(π4 − arctan e)
7. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy
(y0+ xy = x3, y(0) = 2 . Allora y(√
2) vale Risp.: A : 2√
2 B : 4e−1 C : 4 D : 0
