FISICA GENERALE
MODULO A
CORSO H – BARI
Dinamica dei sistemi di punti materiali
Dott. Giannuzzi Giuseppe
Argomenti della lezione
Dinamica dei sistemi di punti materiali:
- Teoremi di König
- Lavoro ed energia cinetica. Energia potenziale
Sistema di riferimento del CM
Il sistema di riferimento connesso al CM pur essendo mobile e quindi non inerziale in generale (traslatorio ma non necessariamente rettilineo ed uniforme), in base alle relazioni che abbiamo trovato, risulta godere di proprietà particolari come se fosse inerziale.
Se scegliamo un sistema di riferimento con origine nel CM, con gli assi paralleli a quelli di un sistema inerziale, otteniamo le relazioni (apice per il CM) per il punto i-esimo del sistema:
𝑟𝑖 = 𝑟′𝑖 + 𝑟𝐶𝑀 (Th. velocità relative con 𝜔 = 0) 𝑣𝑖 = 𝑣′𝑖 + 𝑣𝐶𝑀 Ma essendo il sistema mobile centrato sul CM ⇒
𝑟′𝐶𝑀 = 0, 𝑣′𝐶𝑀 = 0, 𝑎′𝐶𝑀 = 0 segue dalle definizioni σ𝑖 𝑚𝑖𝑟′𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = 0, σ𝑖 𝑚𝑖𝑣′𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = 0 ⇒ σ𝑖 𝑚𝑖 𝑟′𝑖 = 0 e σ𝑖 𝑚𝑖 𝑣′𝑖 = 0
Pertanto la quantità di moto totale del sistema calcolata nel sistema di riferimento del CM è nulla
𝑃′ =
𝑖
𝑚𝑖 𝑣′𝑖 = 0
Sistema di riferimento del CM
Tuttavia per descrivere la dinamica relativa al CM, dobbiamo tener conto che il sistema è comunque non inerziale perché accelerato, quindi dobbiamo aggiungere le forze apparenti di trascinamento, ovvero quella del CM: −𝑚𝑖 𝑎𝑡 = −𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀
Quindi per ognuno dei punti del sistema avremo che:
𝐹𝑖𝐸 + 𝐹𝑖 𝐼 − 𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀 = 𝑚𝑖 𝑎′𝑖 Quindi sommando su tutti i punti si ha (𝑅 𝐼 = 0):
𝑅 𝐸 −
𝑖
𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖 𝑎′𝑖
ma abbiamo anche visto che 𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 per cui nel suo sistema
𝑖
𝑚𝑖 𝑎′𝑖 = 0
Infine si dimostra anche che 𝑀′ 𝐸 = σ𝑖 𝑟′𝑖 × 𝐹𝑖𝐸 − 𝑚𝑖 𝑎𝐶𝑀 = σ𝑖 𝑟′𝑖 × 𝐹𝑖 𝐸 senza contributi di forze apparenti.
Inoltre se definiamo il momento angolare rispetto al CM: 𝐿′ = σ𝑖 𝑟′𝑖 × 𝑚𝑖 𝑣′𝑖 si ottiene: 𝑑𝐿′
𝑑𝑡 = 𝑀′ 𝐸
Quindi il teorema del momento angolare vale anche nel caso in cui si scelga come polo il CM.
Primo teorema di KÖNIG
Vediamo che relazioni ci sono quindi tra le quantità calcolate nel sistema inerziale e quelle calcolate nel sistema del CM.
Obiettivo 1: determinare per un sistema di punti la relazione che esiste tra il momento angolare 𝐿 misurato in un sistema inerziale e quello 𝐿′ misurato nel sistema del centro di massa CM.
Il momento angolare rispetto al CM (CM come polo) 𝐿′ = σ𝑖 𝑟′𝑖 × 𝑚𝑖 𝑣′𝑖
Assumiamo di calcolare le quantità nel sistema inerziale usando come polo l’origine O del sistema di riferimento inerziale
( 𝑟𝑖 = 𝑟′𝑖 + 𝑟𝐶𝑀; dal Teorema delle velocità relative: 𝑣𝑖 = 𝑣′𝑖 + 𝑣𝐶𝑀 )
Il primo di questi 4 termini è proprio 𝐿′
Il secondo termine è nullo perché
𝑖
𝑟′𝑖 × 𝑚𝑖 𝑣𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖 𝑟′𝑖 × 𝑣𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖 𝑟′𝑖 × 𝑣𝐶𝑀 (utilizziamo 𝑟′𝐶𝑀 = 0)
𝑖
𝑚𝑖 𝑟′𝑖 = 𝑀𝑟′𝐶𝑀 = 0 Il terzo termine è nullo perché
𝑖
𝑟𝐶𝑀 × 𝑚𝑖𝑣′𝑖 = 𝑟𝐶𝑀 ×
𝑖
𝑚𝑖𝑣′𝑖 (utilizziamo 𝑣′𝐶𝑀 = 0)
𝑖
𝑚𝑖𝑣′𝑖 = 𝑀 𝑣′𝐶𝑀 = 0 Il quarto termine vale
𝑖
𝑟𝐶𝑀 × 𝑚𝑖𝑣𝐶𝑀 = 𝑟𝐶𝑀 ×
𝑖
𝑚𝑖 𝑣𝐶𝑀 = 𝑟𝐶𝑀 × 𝑀 𝑣𝐶𝑀 (𝑀 𝑣𝐶𝑀 = 𝑃 )
𝐿
′𝐿 =
Primo teorema di KÖNIG
Primo teorema di KÖNIG
Primo teorema di König
𝐿 = 𝐿′ + 𝑟𝐶𝑀 × 𝑀 𝑣𝐶𝑀
Dove 𝑟𝐶𝑀 × 𝑀 𝑣′𝐶𝑀 rappresenta il momento angolare calcolato rispetto al sistema di riferimento inerziale, del CM che si muove con velocità 𝑣𝐶𝑀, che indichiamo con 𝐿𝐶𝑀
Il momento angolare del sistema di punti rispetto al sistema di riferimento inerziale è dato dalla somma del momento angolare del moto del CM (𝐿𝐶𝑀) e dal momento angolare rispetto al centro di massa CM stesso (𝐿′ )
𝐿 = 𝐿′ + 𝐿𝐶𝑀
Secondo teorema di KÖNIG
Obiettivo 2: determinare per un sistema di punti la relazione che esiste tra l’energia cinetica totale 𝐸𝑘 misurata in un sistema inerziale e quella 𝐸𝑘′ misurata nel sistema del centro di massa CM.
L’energia cinetica rispetto al CM (CM come polo) 𝐸𝑘′ = 1
2 𝑀 𝑣𝐶𝑀′ 2 L’energia cinetica rispetto al sistema inerziale:
( 𝑟𝑖 = 𝑟′𝑖 + 𝑟𝐶𝑀; dal Teorema delle velocità relative: 𝑣𝑖 = 𝑣′𝑖 + 𝑣𝐶𝑀 )
Il primo di questi termini è l’energia cinetica calcolata rispetto al CM: 𝐸𝑘′ L’ultimo termine è nullo perché
𝑖
𝑚𝑖𝑣′𝑖 ∙ 𝑣𝐶𝑀 =
𝑖
𝑚𝑖𝑣′𝑖 ∙ 𝑣𝐶𝑀 =
𝑖
𝑝′𝑖 ∙ 𝑣𝐶𝑀 = 𝑃′ ∙ 𝑣𝐶𝑀 = 0 (utilizziamo 𝑣′𝐶𝑀 = 0 da cui σ𝑖𝑚𝑖𝑣′𝑖 = 𝑀 𝑣′𝐶𝑀 = 0 oppure 𝑃′ = 0)
Secondo teorema di KÖNIG
Il secondo termine è:
𝑖
1
2𝑚𝑖 𝑣𝐶𝑀 2 = 1
2
𝑖
𝑚𝑖 𝑣𝐶𝑀 2 = 1
2𝑀 𝑣𝐶𝑀 2
ossia l’energia cinetica del punto materiale localizzato nel CM, che possiede tutta la massa del sistema e si muove con velocità 𝑣𝐶𝑀, che indichiamo 𝐸𝑘,𝐶𝑀
Pertanto il Secondo teorema di König 𝐸𝑘 = 𝐸𝑘′ + 1
2 𝑀𝑣𝐶𝑀2 = 𝐸𝑘′ + 𝐸𝑘,𝐶𝑀
L’energia cinetica del sistema di punti nel sistema di riferimento inerziale (𝐸𝑘) è pari alla somma dell’energia cinetica calcolata nel sistema del CM (𝐸𝑘′ ) sommata all’energia cinetica del moto del CM (𝐸𝑘,𝐶𝑀).
Commento sui teoremi di KÖNIG
Dal punto di vista delle velocità e delle forze agenti sul sistema di punti le relazioni fondamentali sono:
𝐹 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 𝑃 = 𝑀 𝑣𝐶𝑀
𝑃′ = 0
Quindi il moto del sistema di punti è riassunto dal solo moto del CM (𝑎𝐶𝑀 e 𝑣𝐶𝑀).
Per quanto riguarda il momento angolare e l’energia cinetica questo non è sufficiente. Infatti, i due teoremi di König stabiliscono che al moto del CM bisogna aggiungere la descrizione del sistema rispetto al CM stesso (un moto interno al sistema di punti).
𝐿 = 𝐿′ + 𝑟𝐶𝑀 × 𝑀 𝑣𝐶𝑀 = 𝐿′ + 𝐿𝐶𝑀 𝐸𝑘 = 𝐸𝑘′ + 1
2 𝑀𝑣𝐶𝑀2 = 𝐸𝑘′ + 𝐸𝑘,𝐶𝑀
(Se in media 𝑣𝐶𝑀 = 0, i singoli punti possono in generale essere in moto internamente al sistema di punti, quindi in generale 𝐿 ≠ 0, 𝐸𝑘 ≠ 0).
Teorema dell’energia cinetica (per un sistema di punti)
Calcoliamo il lavoro associato al moto di un sistema di punti materiali. Per uno spostamento infinitesimo 𝑑𝑠𝑖del punto materiale 𝑃𝑖, il lavoro infinitesimo 𝑑ℒ𝑖 sarà:
𝑑ℒ𝑖 = 𝐹𝑖 ∙ 𝑑𝑠𝑖 = 𝐹𝑖𝐸 + 𝐹𝑖𝐼 ∙ 𝑑𝑠𝑖 = 𝐹𝑖𝐸 ∙ 𝑑𝑠𝑖 + 𝐹𝑖𝐼 ∙ 𝑑𝑠𝑖 = 𝑑ℒ𝑖 𝐸 + 𝑑ℒ𝑖 𝐼 (da calcolare per ogni punto del sistema)
Per il lavoro totale devo integrare su tutto il percorso del punto i–esimo e sommare su tutti i punti materiali che costituiscono il sistema.
Questa volta il lavoro delle forze interne non si annulla infatti se consideriamo il contributo di una coppia di punti i-j:
𝐹𝑖,𝑗 ∙ 𝑑𝑠𝑗 + 𝐹𝑗,𝑖 ∙ 𝑑𝑠𝑖 = 𝐹𝑖,𝑗 ∙ 𝑑𝑠𝑗 − 𝐹𝑖,𝑗 ∙ 𝑑𝑠𝑖 = 𝐹𝑖,𝑗 ∙ 𝑑𝑠𝑗 − 𝑑𝑠𝑖 = 𝐹𝑖,𝑗 ∙ 𝑑𝑠𝑖𝑗 (𝑑𝑠𝑖𝑗 spostamento relativo dei punti i-j) in generale tali termini sono non nulli.
Il lavoro allora delle forze interne è legato all’eventuale cambiamento delle distanze relative tra i punti del sistema.
Se queste non cambiano (come nei corpi rigidi) allora risulterà ℒ 𝐼 = 0
Teorema dell’energia cinetica (per un sistema di punti)
Abbiamo dimostrato nel caso della dinamica del singolo punto materiale che partendo dall’espressione 𝑑ℒ = 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 si ottiene il teorema dell’energia cinetica:
ℒ = ∆𝐸𝑘
Analogamente, nel caso della dinamica di un sistema di punti materiali si dimostra che partendo dall’espressione 𝑑ℒ𝑖 = 𝐹𝑖 ∙ 𝑑𝑠𝑖, integrando e sommando su tutti i punti del sistema si ottiene
ℒ = ∆𝐸𝑘
ossia il Teorema dell’energia cinetica, dove il lavoro sarà in generale la somma ℒ 𝐸 + ℒ 𝐼 = ∆𝐸𝑘
mentre
∆𝐸𝑘 = 𝐸𝑘,𝐵 − 𝐸𝑘,𝐴 =
𝑖
1
2𝑚𝑖𝑣𝑖,𝐵2 −
𝑖
1
2𝑚𝑖𝑣𝑖,𝐴2 (A e B sono le configurazioni iniziale e finale del sistema di punti)
Quindi il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne ed interne per un sistema di punti materiali è uguale alla variazione dell’energia cinetica tra configurazione finale ed iniziale.
Teorema di conservazione dell’energia meccanica
Se le forze interne sono conservative, il lavoro delle forze interne lo possiamo scrivere come l’opposto della variazione dell’energia potenziale legata alla forza
ℒ 𝐼 = −∆𝐸𝑝(𝐼) Se sono conservative le forze esterne:
ℒ 𝐸 = −∆𝐸𝑝(𝐸)
Se tutte le forze (esterne ed interne) sono conservative allora:
ℒ 𝐸 + ℒ 𝐼 = −∆𝐸𝑝 ℒ 𝐸 + ℒ 𝐼 = ∆𝐸𝑘
−∆𝐸𝑝 = ∆𝐸𝑘 ⟹ ∆𝐸𝑝 + ∆𝐸𝑘 = 0 ⟹ ∆ 𝐸𝑝 + 𝐸𝑘 ⟹ Δ𝐸 = 0 avremo la il teorema di conservazione dell’energia meccanica
𝐸 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸𝐴 = 𝐸𝐵
𝐸𝑝 + 𝐸𝑘 𝐴 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑘 𝐵
(A e B sono le configurazioni iniziale e finale del sistema di punti) Infine, se non tutte le forze sono conservative si potrà dire che
ℒ𝑛𝑐 = Δ𝐸
Sistemi di forze applicate in punti differenti
In generale il momento complessivo delle forze dipende dalla scelta del polo infatti, fissato come polo O si ha:
𝑀𝑜 =
𝑖
𝑟𝑖 × 𝐹𝑖
per cui se scegliamo un altro polo, 𝑂’ , il momento complessivo delle forze rispetto ad 𝑂’ sarà
𝑀𝑜′ =
𝑖
𝑟′𝑖 × 𝐹𝑖
Quindi, nota la relazione tra le posizioni 𝑟𝑖 = 𝑂𝑂′ + 𝑟′𝑖
la relazione che lega i momenti delle forze rispetto ai due poli è
𝑀𝑜 =
𝑖
𝑟𝑖 × 𝐹𝑖 =
𝑖
𝑂𝑂′ + 𝑟′𝑖 × 𝐹𝑖 =
= 𝑂𝑂′ ×
𝑖
𝐹𝑖 +
𝑖
𝑟′𝑖 × 𝐹𝑖 = 𝑂𝑂′ × 𝑅 + 𝑀𝑂′
essendo 𝑅 la risultante delle forze rispetto ad O.
Il momento dipende dalla scelta del polo a meno che non risulti 𝑅 = 0 Una importante applicazione riguarda la coppia di forze.
Coppia di forze
Si definisce coppia di forze un insieme di due forze uguali e opposte ma con diversa retta di azione.
La distanza tra le due rette d’azione delle forze è detta braccio della coppia, 𝑏.
In questa situazione la risultante delle forze è nulla 𝑅 = 𝐹 − 𝐹 = 0 ed il momento della coppia quindi, non dipende dalla scelta del polo. Il momento della coppia della coppia vale in modulo 𝑏 𝐹 con direzione perpendicolare al piano individuato dalle due rette d’azione e verso quello dato dalla regola della mano dx.
Le forze interne costituiscono coppie di forze a braccio nullo: momento risultante nullo rispetto a qualunque polo.
Sommario Dinamica dei sistemi punti materiali
Per i sistemi di punti materiali quindi le equazioni che descrivono la loro dinamica sono le due equazioni cardinali della dinamica dei sistemi di punti materiali:
𝑅 𝐸 = 𝑀 𝑎𝐶𝑀 = 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑀 𝐸 = 𝑑𝐿
𝑑𝑡 equazioni che in generale sono indipendenti.
Sistemi di forze equivalenti
I sistemi di forze si dicono essere equivalenti rispetto ad un sistema di punti materiali o per un corpo rigido se applicati al sistema causano la stessa dinamica.
Questo implica che i due sistemi di forze devono avere la stessa 𝑅 𝐸 e lo stesso momento di forze 𝑀 𝐸
L’applicazione della proprietà è nel prossimo esempio nel quale sostituiamo un insieme di forze con una sola forza in modo da risultare equivalente ai fini della dinamica.
Sistema di forze parallele
Nel caso in cui agisca un sistema di forze parallele tra loro e ad un versore ො𝑢 (tipo la forza di gravità) potremo scrivere ogni 𝐹𝑖 come 𝐹𝑖 = 𝐹𝑖 𝑢, pertanto la risultante delle forze saràො
𝐹 = σ𝑖𝐹𝑖 = σ𝑖𝐹𝑖 𝑢 = (σො 𝑖𝐹𝑖) ො𝑢, parallela ad ො𝑢.
Per il calcolo dei momenti delle forze si avrà:
𝑀𝑜 =
𝑖
𝑟𝑖 × 𝐹𝑖 =
𝑖
𝑟𝑖 × 𝐹𝑖 𝑢 = ො
𝑖
𝑟𝑖 𝐹𝑖 × ො𝑢 e risulta ortogonale ad ො𝑢 e quindi alla risultante 𝑅
Possiamo trovare il punto C nel quale applicare tutta la risultante 𝑅 affinché il momento complessivo non cambi cioè
𝑀𝑜 = 𝑂𝐶 × 𝑅 = 𝑟𝐶 × 𝑅 = 𝑟𝐶 ×
𝑖
𝐹𝑖 𝑢ො Per cui confrontando le due espressioni per 𝑀𝑜 si ha:
𝑖
𝑟𝑖 𝐹𝑖 × ො𝑢 = 𝑟𝐶 ×
𝑖
𝐹𝑖 𝑢ො
𝑖
𝑟𝑖 𝐹𝑖 × ො𝑢 =
𝑖
𝐹𝑖 𝑟𝐶 × ො𝑢 da cui
σ
Sistema di forze parallele
𝑖
𝑟𝑖 𝐹𝑖 =
𝑖
𝐹𝑖 𝑟𝐶 da cui
𝑟𝐶 = σ𝑖𝑟𝑖 𝐹𝑖 σ𝑖𝐹𝑖
Il punto C così trovato viene detto centro delle forze parallele Un sistema di forze parallele può essere sempre ridotto ad una sola forza, la risultante, applicata nel punto C.
Il risultato non dipende dalla scelta di O.
Come caso particolare, la forza peso costituisce un sistema di forze parallele. In questo caso le singole forze sono 𝑚𝑖𝑔 , la risultante è 𝑅 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑔
𝑟𝐶 = σ𝑖 𝑟𝑖 𝐹𝑖
σ𝑖 𝐹𝑖 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑔 𝑟𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 𝑔 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖
σ𝑖 𝑚𝑖 = σ𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖
𝑀 = 𝑟𝐶𝑀 il punto trovato viene chiamato baricentro o centro di gravità e coincide con il centro di massa.
Il momento risultante della forza peso: 𝑀𝑜 = 𝑟𝐶 × 𝑀𝑔 =
= 𝑟𝐶𝑀 × 𝑀𝑔
Problema 1
In figura sono mostrate le forze esterne agenti su un sistema di 3 punti, con 𝐹1=6 N, 𝐹2= 12 N (45°), 𝐹3= 14 N, 𝑚1= 4 Kg, 𝑚2= 8 Kg, 𝑚3= 4 Kg.
Qual è l’accelerazione del centro di massa?
Problema 2
Una barca di massa M lunga L con due persone a bordo, m1 ed m2 a distanza d dalla riva. Le due persone di alzano e cominciano a camminare e si scambiano i posti agli estremi della barca. La barca si è allontanata dalla riva. Trascurando tutti gli attriti, di quanto si è allontanata?
Problema 2
Problema 3
Un uomo di massa 75 kg sta su un carrello di massa 39 kg che viaggia a 2.3 m/s.
Ad un tratto salta giù con velocità orizzontale zero rispetto al terreno. Di quanto fa così variare la velocità del carrello?
Considerare la conservazione della quantità di moto tra istante iniziale e finale:
𝑚𝑢 + 𝑚𝑐 𝑣𝑐 = 𝑚𝑢 𝑣𝑢 + 𝑚𝑐 𝑣′𝑐 𝑣′𝑐 = 𝑚𝑢 + 𝑚𝑐
𝑚𝑐 𝑣𝑐 = 1 + 75
39 2.3 𝑚
𝑠 = 6.72𝑚 𝑠
∆𝑣𝑐= 4.42𝑚 𝑠
Problema 4 (per casa)
Un pacco di massa 4.0 Kg, che sta scivolando su un piano privo d’attrito, esplode dividendosi i due parti di 2.0 kg ciascuna, una diretta verso nord alla velocità di 3.0 m/s e l’altra con velocità 5.0 m/s in direzione formante 30° da nord verso est.
Quanto valeva la velocità del pacco (modulo ed angolo)?
Ricevimento ogni mercoledì h15.00 →17.00 (modalità remota). É necessario prenotare il ricevimento inviando una mail.
