Moto circolare accelerato
Una auto compie un giro completo di una pista circolare di raggio R in un tempo τ partendo da ferma con una accelerazione costante.
Si determini:
1. accelerazione e velocit`a dell’auto lungo la traiettoria;
2. velocit`a scalare media sul giro;
3. velocit`a vettoriale media sul giro;
4. modulo dell’accelerazione in funzione del tempo.
Soluzione 1
Se chiamiamo s la coordinata curvilinea che segue la traiettoria circolare si ha:
s = 1
2at2 (1)
In un tempo τ l’auto percorre un tragitto l = 2πR, da cui:
2πR = 1
2aτ2 → a = 4πR
τ2 (2)
da cui ricaviamo anche la velocit`a scalare:
vs(t) = at = 4πR τ2 t
Soluzione 2
La velocit`a cresce in maniera lineare da t = 0 (v0 = 0) a t = τ (vτ = aτ ), per cui il valore medio `e
< vs>= 1
2aτ = 2πR
τ (3)
Notare che questo equivale a dire che la velocit`a media `e uguale allo spazio percorso in un giro diviso il tempo impiegato.
1
Formalmente si pu`o ottenere questo risultato dimostrando che il valore medio di una funzione del tempo f (t) in un intervallo di tempo τ si pu`o scrivere come:
< f (t) >= 1 τ
Z τ 0
f (t) dt (4)
Per f (t) = at si ricava il risultato in (3).
Soluzione 3
Il vettore velocit`a pu`o essere scritto nelle sue componenti cartesiane:
~v =
vx(t) = −vssin φ vy(t) = vscos φ
L’angolo φ pu`o essere scritto come rapporto fra lo spazio s percorso lungo la circonferenza diviso il raggio R:
φ = s R = at2
2R = 2π t τ
2
Per cui la componente y della velocit`a `e:
vy(t) = 4πRt
τ2 cos 2π t τ
2
Il valor medio di questa funzione si ottiene applicando la relazione in eq.4:
< vy(t) >= 1 τ
Z τ 0
4πRt
τ2 cos 2π t τ
2
dt Sostituendo 2π(t/τ )2 = θ si ricava:
< vy(t) >= R τ
Z 2π 0
cos θ dθ = 0 Analogamente si ricava
< vx(t) >= 0
da cui si pu`o concludere che il valor medio della velocit`a vettoriale `e uguale a zero.
Si noti che anche questo risultato si poteva ricavare a priori dicendo che la velocit`a vettoriale media `e uguale allo spostamento vettoriale medio diviso il tempo impiegato. In un giro completo, lo spostamento vettoriale medio `e, naturalmente, nullo.
Soluzione 4
2
La accelerazione ha due componenti: accelerazione lungo la traiettoria, o tangenziale, e accelerazione centripeta, o radiale.
Risulta:
at= 4πRτ2 = cost
ar= −vR2 = a2tRt2 (5) Il modulo della accelerazione cambia nel tempo secondo la legge:
a(t) = at
r
1 +a2tt4 R2
3
