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Moto circolare accelerato

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Moto circolare accelerato

Una auto compie un giro completo di una pista circolare di raggio R in un tempo τ partendo da ferma con una accelerazione costante.

Si determini:

1. accelerazione e velocit`a dell’auto lungo la traiettoria;

2. velocit`a scalare media sul giro;

3. velocit`a vettoriale media sul giro;

4. modulo dell’accelerazione in funzione del tempo.

Soluzione 1

Se chiamiamo s la coordinata curvilinea che segue la traiettoria circolare si ha:

s = 1

2at2 (1)

In un tempo τ l’auto percorre un tragitto l = 2πR, da cui:

2πR = 1

2aτ2 → a = 4πR

τ2 (2)

da cui ricaviamo anche la velocit`a scalare:

vs(t) = at = 4πR τ2 t

Soluzione 2

La velocit`a cresce in maniera lineare da t = 0 (v0 = 0) a t = τ (vτ = aτ ), per cui il valore medio `e

< vs>= 1

2aτ = 2πR

τ (3)

Notare che questo equivale a dire che la velocit`a media `e uguale allo spazio percorso in un giro diviso il tempo impiegato.

1

(2)

Formalmente si pu`o ottenere questo risultato dimostrando che il valore medio di una funzione del tempo f (t) in un intervallo di tempo τ si pu`o scrivere come:

< f (t) >= 1 τ

Z τ 0

f (t) dt (4)

Per f (t) = at si ricava il risultato in (3).

Soluzione 3

Il vettore velocit`a pu`o essere scritto nelle sue componenti cartesiane:

~v =

 vx(t) = −vssin φ vy(t) = vscos φ

L’angolo φ pu`o essere scritto come rapporto fra lo spazio s percorso lungo la circonferenza diviso il raggio R:

φ = s R = at2

2R = 2π t τ

2

Per cui la componente y della velocit`a `e:

vy(t) = 4πRt

τ2 cos 2π t τ

2

Il valor medio di questa funzione si ottiene applicando la relazione in eq.4:

< vy(t) >= 1 τ

Z τ 0

4πRt

τ2 cos 2π t τ

2

dt Sostituendo 2π(t/τ )2 = θ si ricava:

< vy(t) >= R τ

Z 0

cos θ dθ = 0 Analogamente si ricava

< vx(t) >= 0

da cui si pu`o concludere che il valor medio della velocit`a vettoriale `e uguale a zero.

Si noti che anche questo risultato si poteva ricavare a priori dicendo che la velocit`a vettoriale media `e uguale allo spostamento vettoriale medio diviso il tempo impiegato. In un giro completo, lo spostamento vettoriale medio `e, naturalmente, nullo.

Soluzione 4

2

(3)

La accelerazione ha due componenti: accelerazione lungo la traiettoria, o tangenziale, e accelerazione centripeta, o radiale.

Risulta:

at= 4πRτ2 = cost

ar= −vR2 = a2tRt2 (5) Il modulo della accelerazione cambia nel tempo secondo la legge:

a(t) = at

r

1 +a2tt4 R2

3

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