Fra i seguenti sei quesiti, risolvete i quattro che ritenete più adeguati alla vostra preparazione
Esercizio 1
In una fabbrica di biscotti le 3 linee di produzione A, B, C sfornano rispettivamente il 55%, il 30% e il 15% della produzione totale.
Supposto che le percentuali di biscotti bruciati che provengono dalle 3 linee siano rispettivamente il 2%, il 3% e il 6%, a) calcolare la probabilità che un biscotto scelto a caso tra la produzione totale sia bruciato
b) la probabilità che un biscotto bruciato provenga dalla linea C
c) la probabilità che su 10 biscotti, estratti a caso, al massimo 1 risulti bruciato.
Esercizio 2
La tabella che segue mostra i tempi di durata (T) di 100 lampadine prodotte da una certa società.
a) Determinare le frequenze relative e costruire il relativo istogramma;
b) Determinare la percentuale di lampadine per cui risulta 500 < T 650;
c) Determinare la mediana della distribuzione.
d) Determinare la durata media e la deviazione standard.
Durata in ore Freq. assoluta
(0-200] 6
(200-300] 30
(300-500] 40
(500-700] 20
(700-800] 4
Esercizio 3
Un economista vuole stimare il reddito medio degli abitanti di una cittadina mediante un intervallo al livello di confidenza del 95%.
La distribuzione del reddito si suppone approssimativamente normale, con varianza σ2 nota da precedenti studi. L’economista esamina un campione casuale di 100 abitanti.
a) Se l’economista avesse scelto un livello di confidenza del 99%, quale numerosità del campione gli avrebbe dato lo stesso margine di errore? (cioè la stessa ampiezza dell’intervallo?)
b) Se σ2, la varianza della popolazione fosse stata la metà, quale numerosità del campione gli avrebbe dato lo stesso margine di errore (cioè la stessa ampiezza dell’intervallo) mantenendo 1 − α = 0, 95?
c) Immaginando ora di aver osservare una media campionaria pari a 1500 euro, e supponendo 2=900, si calcoli l'intervallo di confidenza per la media della popolazione ad un livello di confidenza del 90%.
Esercizio 4
Dopo aver adottato un nuovo processo produttivo, un'impresa analizza la relazione esistente tra numero di pezzi fabbricati e costi di produzione (dati giornalieri espressi in euro).
Numero pezzi Costi di produzione
120 1350
152 1650
305 2935
85 1131
155 1722
122 1446
212 2219
221 2348
a) Costruire il diagramma di dispersione specificando quale variabile è ragionevole trattare come dipendente.
b) Calcolare la correlazione tra numero di pezzi prodotti e costi di produzione.
c) Determinare la retta di regressione.
d) Qualora l'impresa decidesse di produrre 200 pezzi al giorno, quali sarebbero le spese previste?
Esercizio 5
Per stimare la percentuale di italiani che andranno in settimana bianca durante le vacanze di Natale, sono state intervistate 700 persone, di cui 200 dichiarano che partiranno in settimana bianca. Assumendo che gli intervistati
rappresentino un campione casuale della popolazione italiana,
(a) costruire un intervallo di confidenza di livello 90% per la percentuale di italiani che andranno in settimana bianca.
(b) Quanti dovevano essere gli intervistati per avere un intervallo di confidenza di ampiezza inferiore di 0,04, a parità di tutto il resto?
(c) Senza effettuare calcoli, in base al punto a) dovremmo accettare o rifiutare al livello 10% l’ipotesi che la percentuale in questione sia 24% contro l’alternativa che sia diversa? Perché?
Esercizio 6
Un macchina produce pezzi difettosi con una probabilità pari a 0.4. Calcolare:
a) la probabilità che su 6 pezzi prodotti il numero di pezzi difettosi sia un numero dispari;
b) il valore atteso e la varianza della variabile che conta il numero di pezzi difettosi su 100 prodotti e di quella che li conta su 1000 pezzi prodotti;
c) la probabilità che su 100 pezzi prodotti, i pezzi difettosi siano in numero compreso tra 15 e 30 (estremi inclusi).
