Argomento: Probabilità condizionata e teorema di Bayes (par. 3.4 libro di testo)
Esercizio 1
Tra i partecipanti ad un concorso per giovani musicisti, il 50% suona il pianoforte, il 30%
suona il violino ed il restante 20% suona il violoncello. Inoltre, partecipano per la prima volta ad un concorso il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti ed il 10% dei violoncellisti.
1. Scelto a caso un partecipante, qual è la probabilità che sia al suo primo concorso?
2. Sapendo che il partecipante scelto è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un violoncellista?
3. Sapendo che il partecipante scelto non è al suo primo concorso, qual è la probabilità che sia un violoncellista?
4. Si stabilisca se sono incompatibili gli eventi “suonare il piano” e “partecipare per la prima volta ad un concorso”, motivando la risposta.
5. Si stabilisca se sono indipendenti gli eventi “suonare il violino” e “partecipare per la prima volta ad un concorso”, motivando la risposta.
Soluzione
Si definiscano i seguenti eventi
A = {il musicista è un pianista}, B = {il musicista è un violinista}, C = {il musicista è un violoncellista} e
D = {il musicista partecipa per la prima volta ad un concorso}.
In base ai dati forniti si ha:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2 e P(D | A) = 0.1, P(D | B) = 0.33 e P(D | C) = 0.1.
1. La probabilità che scelto a caso un partecipante questo sia al suo primo concorso è pari alla probabilità dell’evento D.
Si ha che P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B) + P(D | C)P(C).
La precedente discende dalla proprietà P(D)=
∑ ∑
=
=
=
∩ n
1 i
i i n
1 i
i) P(D|C )P(C)
C D (
P dove
C1,…,Cn costituisce una partizione dello spazio degli eventi con P(Ci,)>0 i=1,..,n (si veda libro di testo pag. 99). Nel caso in esame n=3 con C1=A, C2=B, C3=C.
Si ottiene dunque: P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B) + P(D | C)P(C) =
= 0.1 × 0.5 + 0.33 × 0.3 + 0.1 × 0.2 = 0.169.
2. Se il partecipante scelto è al suo primo concorso sappiamo essersi verificato l’evento D.
Occorre quindi calcolare la probabilità che tale partecipante sia un violoncellista, ovvero dell’evento C, sotto questa condizione. In altri termini occorre calcolare: P(C | D).
Applicando il teorema di Bayes si ottiene P(C | D) = P(D | C)P(C) / P(D) e quindi:
P(C | D) = P(D | C)P(C) / P(D) = 0.1 × 0.2 / 0.169 = 0.118.
3. Se il partecipante scelto non è al suo primo concorso, sappiamo che l’evento D non si è verificato e quindi si è verificato l’evento D Occorre quindi studiare la probabilità che tale . partecipante sia un violoncellista, ovvero l’evento C, sotto questa condizione. In altri termini occorre calcolare P(C |D ).
Applicando il teorema di Bayes si ottiene
P(C |D ) = P( D | C)P(C) / P( D ) = [1 − P(D | C)] P(C) / [1 − P(D)] = = 0.9 × 0.2 / 0.831 = 0.217.
4. Se A e D sono eventi incompatibili allora A ∩ D = ∅ e P(A ∩ D) = 0 (pag. 85-87 del libro di testo).
D’altra parte P(A ∩ D) = P(D | A) P(A), per il principio della probabilità composta (pag.
97-98 del libro di testo).
Dai dati forniti si ha P(A ∩ D) = P(D | A) P(A) = 0.1 × 0.5 = 0.05 ≠ 0.
Gli eventi A e D quindi non sono incompatibili.
5. Se B e D sono eventi stocasticamente indipendenti allora P(B ∩ D) = P(B) P(D) (pag. 102 del libro di testo).
Dai dati forniti e dal punto 1 dell’esercizio si ha:
P(B) P(D) = 0.3 × 0.169 e
P(B ∩ D) = P(D | B) P(B) = 0.33 × 0.3 = 0.099 ≠ 0.3 = P(B) P(D).
Gli eventi B e D non sono quindi indipendenti.
Tale conclusione poteva ottenersi in modo immediato osservando che, se l’evento D è indipendente dall’evento B, allora deve aversi per definizione (pag. 102 libro di testo):
P(D|B) = P(D).
Nel caso in esame invece di ha:
P(D|B) = 0.33 ≠ 0.169 = P(D).
Esercizio 2
La probabilità che un soggetto abbia l’infezione da HIV è pari a 0.015. La diagnosi dell’infezione è effettuata mediante il test ELISA che ha le seguenti caratteristiche: la probabilità che un soggetto infetto risulti positivo al test è 0.999, mentre la probabilità che un soggetto non infetto non risulti positivo al test è 0.9999.
1. Qual è la probabilità che un soggetto sia infetto dato che è risultato positivo al test?
2. Qual è la probabilità che un soggetto sia infetto dato che non è risultato positivo al test?
Soluzione
Definiamo i seguenti eventi I = {soggetto infetto} e T = {test positivo}.
Sarà quindi I=
{
soggettonon infetto}
e T={
test negativo}
.Dai dati dell’esercizio si ricava:
P( I ) = 0.015, P( T | I ) = 0.999, P(T | I ) = 0.9999 e P( T |I ) =1 − 0.9999.
1. Nel punto 1 è richiesto di studiare la probabilità P(I|T).
Applicando il teorema di Bayes si ha P( I | T ) = P( T | I )P( I ) / P( T )
Occorre quindi determinare la probabilità dell’evento T data da P( T ) = P( T | I )P( I ) + P( T | I )P( I ) =
= (0.999)(0.015) + (1 − 0.9999)(1 − 0.015) = 0.0151.
La precedente discende dalla proprietà P(T)=
∑ ∑
=
=
=
∩ n
1 i
i i n
1 i
i) P(T|C)P(C)
C T (
P dove
C1,…,Cn costituisce una partizione dello spazio degli eventi con P(Ci,)>0 i=1,..,n (si veda libro di testo pag. 99). Nel caso in esame n=2 con C1=I e C2= I .
Si ottiene quindi: P( I | T ) = P( T | I )P( I ) / P( T ) = 0.999×0.015 / 0.0151 = 0.992.
Con un’elevata probabilità il test riesce quindi ad identificare correttamente un individuo infetto. Si ha, per converso, che P( I | T)=0.008, quindi la probabilità dei cosiddetti falsi- positivi, cioè quegli individui sani erroneamente identificati come malati da un test diagnostico, è decisamente bassa.
2. Nel punto 2 è richiesto di studiare la probabilità P(I| T ).
Di nuovo applicando il teorema di Bayes si ottiene
Anche la probabilità che il test dia un risultato negativo (l’individuo è identificato come sano dal test diagnostico) quando invece il soggetto è effettivamente infetto (i cosiddetti falsi-negativi) risulta essere molto bassa.
Esercizi o 3
La probabilità che un soggetto abbia un’infezione virale è pari a 0.0005. La diagnosi dell’infezione è effettuata mediante un test clinico che ha le seguenti caratteristiche: la probabilità che un soggetto infetto risulti positivo al test è 0.95, mentre la probabilità che un soggetto non infetto non risulti positivo al test è 0.85.
1. Qual è la probabilità che un soggetto sia infetto dato che è risultato positivo al test?
2. Qual è la probabilità che un soggetto sia infetto dato che non è risultato positivo al test?
Soluzione
Definiti gli eventi I = {soggetto infetto} e T = {test positivo}, si ha P( I ) = 0.0005, P( T | I ) = 0.95 e P(T |I ) = 0.85, donde segue
P( T ) = P( T | I )P( I ) + P( T |I )P(I ) = (0.95)(0.0005) + (1−0.85)(1-0.0005) = 0.1504.
1. P( I | T ) = P( T | I )P( I ) / P( T ) = 0.95×0.0005/0.1504 = 0.000475/0.1504 = 0.003158.
2. P( I |T ) = P(T | I )P( I ) / P(T ) = (1−0.95)(0.0005) / (1−0.1504) = 0.000025 / 0.8496
= 0.000029.
Esercizio 4
Un servizio di autobus effettua il collegamento tra due stazioni seguendo la linea A nel 30%
dei casi e la linea B in tutti gli altri casi. Un pendolare riesce a prendere l’autobus con probabilità 0.25 nel caso in cui venga percorsa la linea A e con probabilità 0.65 nel caso della linea B.
Definiti gli eventi:
A = {l’autobus percorre la linea A}, B = {l’autobus percorre la linea B} e
C = {il pendolare riesce a prendere l’autobus},
1. si calcoli la probabilità che il pendolare riesca a prendere l’autobus;
2. si calcoli la probabilità che l’autobus abbia seguito la linea A dato che il pendolare non è riuscito a prenderlo;
3. si calcoli la probabilità che l’autobus abbia seguito la linea B dato che il pendolare è riuscito a prenderlo;
4. si stabilisca se gli eventi A e B sono indipendenti, motivando la risposta;
5. si stabilisca se gli eventi A e C sono indipendenti, motivando la risposta.
Soluzione
P(A) = 0.3, P(B) = 0.7, P(C | A) = 0.25 e P(C | B) = 0.65.
1. P(C) = P(C|A) P(A) + P(C|B) P(B) = 0.075 + 0.455 = 0.53.
2. P(A |C) = P(C | A ) P(A) / P(C ) = (1−0.25) 0.3 / (1−0.53) = 0.225 / 0.47 = 0.479.
3. P(B | C) = P(C |B) P(B) / P(C) = 0.65 × 0.7 / 0.53 = 0.455 / 0.53 = 0.858.
4. A e B non sono indipendenti.
A e B sono infatti incompatibili: P(A ∩ B) = P(∅) ≠ P(A)P(B) = 0.21 5. A e C non sono indipendenti:
P(A) P(C) = 0.3 × 0.53 = 0.159
P(A∩C) = P(C | A) P(A) = 0.3 × 0.25 = 0.075
