NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI
I numeri possono essere suddivisi in due tipi:
NUMERO PRIMO
divisibile per se stesso e per 1
NUMERO COMPOSTO
divisibile per se stesso, per 1 e almeno un altro divisore
Eccezione a tale classificazione: IL NUMERO 1 (non è ne composto ne primo perché non è definibile con nessuno dei due casi, visto che 1 ha un solo divisore, se stesso)
Per trovare i numeri primi si utilizza un criterio molto semplice detto CRIVELLO DI ERATOSTENE (200 a.C.), che prevede l’eliminazione di tutti i multipli dei numeri che si trovano in ordine nei numeri N partendo da 2. In sequenza si eliminano:
• i numeri pari (multipli di 2)
• i multipli di 3 ( alcuni già eliminati con i multipli di 2)
• i multipli di 5 (il 4 si salta perché multiplo di 2...
• ecc.
Il risultato di tale conteggio è stato raccolto in una tabella detta: TABELLA DEI NUMERI PRIMI FINO A 1000. Se un numero è assente in tale tabella si tratta allora di un numero composto:
F
ATTORIZZAZIONE(
O SCOMPOSIZIONE)
INF
ATTORIP
RIMIScomporre un numero in fattori significa trovare sottomultipli che moltiplicati fra loro diano come risultato il numero di partenza.
Es:
Teorema della fattorizzazione
-
qualsiasi numero naturale (diverso da 1) può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica.Cioè: ogni numero composto può essere scritto come un prodotto o potenze di numeri primi.
I numeri primi che compaiono, anche se scritti in diverso ordine per la proprietà commutativa della moltiplicazione, creano un’unica sequenza di fattori. Il numero 1 viene eliminato perché non permetterebbe l’unicità della scomposizione
Per fattorizzare un numero si deve procedere in questo modo:
• scrivere il numero con (a destra) una riga verticale;
• scrivere a sinistra la successione crescente dei numeri primi divisibili per il numero scelto, utlizzando i criteri di divisibilità;
• riportare i risultati delle divisioni a resto zero sulla colonna di destra;
• procedere fino ad ottenere 1 nella colonna di destra.
30= 3⋅10 = 6 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3⋅ 5
Es: la sua fattorizzazione è pertanto:
La seconda ragione principale per cui 1 è escluso dall'insieme dei
primi è che se si moltiplica una fattorizzazione di un numero per 1, un numero di volte a piacere, si ottiene sempre il numero di partenza, creando così fattorizzazioni distinte.
La scomposizione in fattori primi si applica nel caso particolare del:
CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA’
Due numeri sono divisibili tra loro se, scomponendoli in fattori primi, tutti i fattori del secondo (divisore) sono presenti anche nel primo (dividendo).
Il quoziente della divisione si ottiene sottraendo tutti gli esponenti dei fattori corrispondenti del secondo numero a quelli del primo, applicando la proprietà di potenze di uguale base divise.
Il primo numero è quindi divisibile per il secondo solo se i fattori del secondo compaiono anche nel primo numero con esponente minore o uguale.
ES:
17640 : 588 = 30
Applicando le proprietà di potenze divise di uguale base
oppure
Se si mette la fattorizzazione in frazione bisogna semplificare i fattori corrispondenti dividendoli e ottenendo 1 per ciascun fattore semplificato. Se al denominatore sono tutti semplificati ottengo praticamente tutti 1 ed essendo elemento neutro della divisione, il risultato del numeratore non cambia.
NUMERI NON DIVISIBILI:
(perché rimane un numero diverso da 1 al denominatore dopo la semplificazione e quindi la divisione ha il resto)
• Il divisore ha i fattori corrispondenti con esponente più alto Es
144 : 32 = 2 ( 4⋅ 3
2) : 2 ( )
5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 3 2
• Nel secondo numero (divisore) compaiono fattori non presenti nel primo numero(dividendo) Es:
154 : 33 = 2 ⋅ 7 ⋅11 ( ) : 3 ( ⋅11 ) = 2 ⋅ 7 ⋅11
3 ⋅11 = 2 ⋅ 7 3
252 126 63 21 7 1
2 2 3 3 7
252 = 2
2⋅ 3
2⋅ 7
17640 8820 4410 2205 735 245 49 7 1
2 2 2 3 3 5 7 7
588 294 147 49 7 1
2 2 3 7 7