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30=3⋅10=6⋅5=2⋅3⋅5

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Academic year: 2021

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(1)

NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI

I numeri possono essere suddivisi in due tipi:

NUMERO PRIMO

divisibile per se stesso e per 1

NUMERO COMPOSTO

divisibile per se stesso, per 1 e almeno un altro divisore

Eccezione a tale classificazione: IL NUMERO 1 (non è ne composto ne primo perché non è definibile con nessuno dei due casi, visto che 1 ha un solo divisore, se stesso)

Per trovare i numeri primi si utilizza un criterio molto semplice detto CRIVELLO DI ERATOSTENE (200 a.C.), che prevede l’eliminazione di tutti i multipli dei numeri che si trovano in ordine nei numeri N partendo da 2. In sequenza si eliminano:

• i numeri pari (multipli di 2)

• i multipli di 3 ( alcuni già eliminati con i multipli di 2)

• i multipli di 5 (il 4 si salta perché multiplo di 2...

• ecc.

Il risultato di tale conteggio è stato raccolto in una tabella detta: TABELLA DEI NUMERI PRIMI FINO A 1000. Se un numero è assente in tale tabella si tratta allora di un numero composto:

F

ATTORIZZAZIONE

(

O SCOMPOSIZIONE

)

IN

F

ATTORI

P

RIMI

Scomporre un numero in fattori significa trovare sottomultipli che moltiplicati fra loro diano come risultato il numero di partenza.

Es:

Teorema della fattorizzazione

-

qualsiasi numero naturale (diverso da 1) può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica.

Cioè: ogni numero composto può essere scritto come un prodotto o potenze di numeri primi.

I numeri primi che compaiono, anche se scritti in diverso ordine per la proprietà commutativa della moltiplicazione, creano un’unica sequenza di fattori. Il numero 1 viene eliminato perché non permetterebbe l’unicità della scomposizione

Per fattorizzare un numero si deve procedere in questo modo:

• scrivere il numero con (a destra) una riga verticale;

• scrivere a sinistra la successione crescente dei numeri primi divisibili per il numero scelto, utlizzando i criteri di divisibilità;

• riportare i risultati delle divisioni a resto zero sulla colonna di destra;

• procedere fino ad ottenere 1 nella colonna di destra.

30= 3⋅10 = 6 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3⋅ 5

(2)

Es: la sua fattorizzazione è pertanto:

La seconda ragione principale per cui 1 è escluso dall'insieme dei

primi è che se si moltiplica una fattorizzazione di un numero per 1, un numero di volte a piacere, si ottiene sempre il numero di partenza, creando così fattorizzazioni distinte.

La scomposizione in fattori primi si applica nel caso particolare del:

CRITERIO GENERALE DI DIVISIBILITA’

Due numeri sono divisibili tra loro se, scomponendoli in fattori primi, tutti i fattori del secondo (divisore) sono presenti anche nel primo (dividendo).

Il quoziente della divisione si ottiene sottraendo tutti gli esponenti dei fattori corrispondenti del secondo numero a quelli del primo, applicando la proprietà di potenze di uguale base divise.

Il primo numero è quindi divisibile per il secondo solo se i fattori del secondo compaiono anche nel primo numero con esponente minore o uguale.

ES:

17640 : 588 = 30

Applicando le proprietà di potenze divise di uguale base

oppure

Se si mette la fattorizzazione in frazione bisogna semplificare i fattori corrispondenti dividendoli e ottenendo 1 per ciascun fattore semplificato. Se al denominatore sono tutti semplificati ottengo praticamente tutti 1 ed essendo elemento neutro della divisione, il risultato del numeratore non cambia.

NUMERI NON DIVISIBILI:

(perché rimane un numero diverso da 1 al denominatore dopo la semplificazione e quindi la divisione ha il resto)

• Il divisore ha i fattori corrispondenti con esponente più alto Es

144 : 32 = 2 (

4

⋅ 3

2

) : 2 ( )

5

= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 3 2

• Nel secondo numero (divisore) compaiono fattori non presenti nel primo numero(dividendo) Es:

154 : 33 = 2 ⋅ 7 ⋅11 ( ) : 3 ( ⋅11 ) = 2 ⋅ 7 ⋅11

3 ⋅11 = 2 ⋅ 7 3

252 126 63 21 7 1

2 2 3 3 7

252 = 2

2

⋅ 3

2

⋅ 7

17640 8820 4410 2205 735 245 49 7 1

2 2 2 3 3 5 7 7

588 294 147 49 7 1

2 2 3 7 7

17640 = 2

3

⋅ 3

2

⋅ 5 ⋅ 7

2

588 = 2

2

⋅ 3⋅ 7

2

17640 : 588 = 2

3−2

⋅ 3

2−1

⋅ 5 ⋅ 7

2−2

= 2 ⋅ 3⋅ 5 ⋅1 = 30

17640 : 588 = 2 (

3

⋅ 3

2

⋅ 5 ⋅ 7

2

) : 2 (

2

⋅ 3⋅ 7

2

) =

= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 3⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7

2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 7 ⋅ 7 = 2 ⋅ 3⋅ 5

1 = 30 :1 = 30

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