Branch-and-bound per T SP
Anche qui, rispetto allo schema generale visto in precedenza dobbiamo specificare:
Branch-and-bound per T SP
Anche qui, rispetto allo schema generale visto in precedenza dobbiamo specificare:
come si calcola un lower bound su un sottinsieme;
Branch-and-bound per T SP
Anche qui, rispetto allo schema generale visto in precedenza dobbiamo specificare:
come si calcola un lower bound su un sottinsieme;
come si effettua il branching;
Branch-and-bound per T SP
Anche qui, rispetto allo schema generale visto in precedenza dobbiamo specificare:
come si calcola un lower bound su un sottinsieme;
come si effettua il branching;
come si individuano soluzioni ammissibili con cui,
eventualmente, aggiornare il valore dell’upper bound U B.
Richiamo: modello matematico TSP
min P
i∈V
P
j∈V : j6=i vijxij P
i∈V, i6=j xij = 1 ∀ j ∈ V P
j∈V, j6=i xij = 1 ∀ i ∈ V P
i∈U, j∈V \U xij ≥ 1 ∀ U ⊆ V : 2 ≤| U |≤| V | −2 xij ∈ {0, 1} ∀ i, j ∈ V, i 6= j
Lower bound L (S)
Supponiamo di voler ottenere un lower bound L(S) sull’intera regione ammissibile S del problema.
Lower bound L (S)
Supponiamo di voler ottenere un lower bound L(S) sull’intera regione ammissibile S del problema.
Per ottenere questo considereremo un rilassamento diverso da quello lineare. Il rilassamento che verrà preso in
considerazione è quello ottenuto omettendo i vincoli X
i∈U, j∈V \U
xij ≥ 1
Lower bound L (S)
Supponiamo di voler ottenere un lower bound L(S) sull’intera regione ammissibile S del problema.
Per ottenere questo considereremo un rilassamento diverso da quello lineare. Il rilassamento che verrà preso in
considerazione è quello ottenuto omettendo i vincoli X
i∈U, j∈V \U
xij ≥ 1
Si noti che l’omissione di alcuni vincoli è un caso
particolare di rilassamento lagrangiano in cui si pone λ = 0
Rilassamento
min P
i∈V
P
j∈V : j6=i vijxij P
i∈V, i6=j xij = 1 ∀ j ∈ V P
j∈V, j6=i xij = 1 ∀ i ∈ V
xij ∈ {0, 1} ∀ i, j ∈ V, i 6= j
Piccola modifica
In un circuito hamiltoniano non possiamo avere archi (i, i) (detti loop).
Piccola modifica
In un circuito hamiltoniano non possiamo avere archi (i, i) (detti loop).
Possiamo comunque inserirli usando un opportuno
accorgimento consistente nell’attribuire a essi una distanza infinita, cioè vii = ∞.
Piccola modifica
In un circuito hamiltoniano non possiamo avere archi (i, i) (detti loop).
Possiamo comunque inserirli usando un opportuno
accorgimento consistente nell’attribuire a essi una distanza infinita, cioè vii = ∞.
Con questa modifica avremo il seguente rilassamento:
min P
i∈V
P
j∈V vijxij P
i∈V xij = 1 ∀ j ∈ V P
j∈V xij = 1 ∀ i ∈ V
Come risolverlo?
Associamo al nostro grafo originario G = (V, A) un grafo bipartito G′ = (V1 ∪ V2, A′). I due insiemi V1 e V2 sono
ottenuti sdoppiando i nodi in V , cioè per ogni nodo i ∈ V se ne faranno due copie, il nodo ai ∈ V1 e il nodo bi ∈ V2
Come risolverlo?
Associamo al nostro grafo originario G = (V, A) un grafo bipartito G′ = (V1 ∪ V2, A′). I due insiemi V1 e V2 sono
ottenuti sdoppiando i nodi in V , cioè per ogni nodo i ∈ V se ne faranno due copie, il nodo ai ∈ V1 e il nodo bi ∈ V2
Inoltre, ad ogni arco (i, j) ∈ A si associa l’arco (ai, bj) ∈ A′, a cui si associa il valore vij.
Come risolverlo?
Associamo al nostro grafo originario G = (V, A) un grafo bipartito G′ = (V1 ∪ V2, A′). I due insiemi V1 e V2 sono
ottenuti sdoppiando i nodi in V , cioè per ogni nodo i ∈ V se ne faranno due copie, il nodo ai ∈ V1 e il nodo bi ∈ V2
Inoltre, ad ogni arco (i, j) ∈ A si associa l’arco (ai, bj) ∈ A′, a cui si associa il valore vij.
A questo punto il grafo G′ è bipartito completo (includendo gli n archi (ai, bi), i ∈ V , corrispondenti ai loop con vii = ∞).
Sul grafo bipartito
xij ∈ {0, 1} ∀ (i, j) ∈ A ↔ xij ∈ {0, 1} ∀ (ai, bj) ∈ A′
Sul grafo bipartito
xij ∈ {0, 1} ∀ (i, j) ∈ A ↔ xij ∈ {0, 1} ∀ (ai, bj) ∈ A′ X
i∈V
X
j∈V
vijxij ↔ X
ai∈V1
X
bj∈V2
vijxij
Sul grafo bipartito
xij ∈ {0, 1} ∀ (i, j) ∈ A ↔ xij ∈ {0, 1} ∀ (ai, bj) ∈ A′ X
i∈V
X
j∈V
vijxij ↔ X
ai∈V1
X
bj∈V2
vijxij X
i∈V
xij = 1 ∀ j ∈ V ↔ X
ai∈V1
xij = 1 ∀ bj ∈ V2
Sul grafo bipartito
xij ∈ {0, 1} ∀ (i, j) ∈ A ↔ xij ∈ {0, 1} ∀ (ai, bj) ∈ A′ X
i∈V
X
j∈V
vijxij ↔ X
ai∈V1
X
bj∈V2
vijxij X
i∈V
xij = 1 ∀ j ∈ V ↔ X
ai∈V1
xij = 1 ∀ bj ∈ V2 X
j∈V
xij = 1 ∀ i ∈ V ↔ X
bj∈V2
xij = 1 ∀ ai ∈ V1
Continua
Quindi, sul grafo G′ possiamo riscrivere il nostro rilassamento in questo modo:
min P
ai∈V1
P
bj∈V2 vijxij P
ai∈V1 xij = 1 ∀ bj ∈ V2 P
bj∈V2 xij = 1 ∀ ai ∈ V1
xij ∈ {0, 1} ∀ ai ∈ V1, bj ∈ V2
Continua
Quindi, sul grafo G′ possiamo riscrivere il nostro rilassamento in questo modo:
min P
ai∈V1
P
bj∈V2 vijxij P
ai∈V1 xij = 1 ∀ bj ∈ V2 P
bj∈V2 xij = 1 ∀ ai ∈ V1
xij ∈ {0, 1} ∀ ai ∈ V1, bj ∈ V2 Ribadiamo che nelle soluzioni ammissibili di questo
problema si consente anche la presenza di archi (ai, bi) che non corrispondono ad archi del problema T SP . Tuttavia, il fatto che a tali archi sia associato un valore +∞ ci
garantisce che nessuna soluzione ottima del problema conterrà tali archi.
Continua
Notiamo che il problema riformulato in questo modo è un problema di assegnamento dove i due insiemi da
accoppiare sono V1 e V2. Questo ci consente di utilizzare l’algoritmo ungherese per il calcolo del lower bound L(S).
Continua
Notiamo che il problema riformulato in questo modo è un problema di assegnamento dove i due insiemi da
accoppiare sono V1 e V2. Questo ci consente di utilizzare l’algoritmo ungherese per il calcolo del lower bound L(S). In particolare, notiamo che il calcolo del lower bound
richiede un tempo di calcolo polinomiale, come richiesto.
Continua
Una volta ottenuta una soluzione del problema di assegnamento con insieme di archi:
(aik, bjk) k = 1, . . . , n
questa corrisponde alla seguente collezione di archi nel grafo originario:
(ik, jk) k = 1, . . . , n.
Continua
Sono possibili due casi:
la soluzione forma un circuito hamiltoniano, cioè
appartiene alla regione ammissibile S: in tal caso essa rappresenta anche la soluzione ottima del problema T SP ;
Continua
Sono possibili due casi:
la soluzione forma un circuito hamiltoniano, cioè
appartiene alla regione ammissibile S: in tal caso essa rappresenta anche la soluzione ottima del problema T SP ;
la soluzione ottenuta è una collezione di sottocircuiti.
Branching del nodo radice
Ci occuperemo ora di specificare come viene partizionata la regione ammissibile S in più sottinsiemi. Abbiamo visto che se non siamo nel caso fortunato in cui la soluzione del rilassamento è un circuito hamiltoniano, tale soluzione è una collezione di sottocircuiti.
Branching del nodo radice
Ci occuperemo ora di specificare come viene partizionata la regione ammissibile S in più sottinsiemi. Abbiamo visto che se non siamo nel caso fortunato in cui la soluzione del rilassamento è un circuito hamiltoniano, tale soluzione è una collezione di sottocircuiti.
Forniremo una semplice regola di suddivisione il cui scopo è quello di impedire il formarsi nei nodi figli di almeno uno dei sottocircuiti nella collezione.
Continua
Prendiamo il sottocircuito della collezione con meno archi (con scelta arbitraria se ve ne è più di uno). Indichiamo con {(i1, j1), (i2, j2), . . . , (ir, jr)} gli archi di tale sottocircuito.
Continua
Prendiamo il sottocircuito della collezione con meno archi (con scelta arbitraria se ve ne è più di uno). Indichiamo con {(i1, j1), (i2, j2), . . . , (ir, jr)} gli archi di tale sottocircuito.
Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo che in esso non sia presente l’arco (i1, j1) (cioè si impone xi1,j1 = 0),
Continua
Prendiamo il sottocircuito della collezione con meno archi (con scelta arbitraria se ve ne è più di uno). Indichiamo con {(i1, j1), (i2, j2), . . . , (ir, jr)} gli archi di tale sottocircuito.
Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo che in esso non sia presente l’arco (i1, j1) (cioè si impone xi1,j1 = 0), il secondo nodo figlio viene ottenuto imponendo che sia
presente l’arco (i1, j1) ma non sia presente l’arco (i2, j2) (cioè si impone xi1,j1 = 1, xi2,j2 = 0),
Continua
Prendiamo il sottocircuito della collezione con meno archi (con scelta arbitraria se ve ne è più di uno). Indichiamo con {(i1, j1), (i2, j2), . . . , (ir, jr)} gli archi di tale sottocircuito.
Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo che in esso non sia presente l’arco (i1, j1) (cioè si impone xi1,j1 = 0), il secondo nodo figlio viene ottenuto imponendo che sia
presente l’arco (i1, j1) ma non sia presente l’arco (i2, j2) (cioè si impone xi1,j1 = 1, xi2,j2 = 0), e così via fino al
r-esimo figlio in cui si impone che siano presenti gli archi (ik, jk), k = 1, . . . , r − 1, ma non sia presente l’arco (ir, jr) (cioè si impone xik,jk = 1, k = 1, . . . , r − 1, xir,jr = 0).
Esempio
Sottocircuito 1 → 2 → 1.
Esempio
Sottocircuito 1 → 2 → 1. Tabella valori di x12 e x21
x12 x21
0 0
0 1
1 0
1 1
Esempio
Sottocircuito 1 → 2 → 1. Tabella valori di x12 e x21
x12 x21
0 0
0 1
1 0
1 1
Combinazione valori da escludere: x12 = x21 = 1 (corrisponde al sottocircuito).
Esempio
Sottocircuito 1 → 2 → 1. Tabella valori di x12 e x21
x12 x21
0 0
0 1
1 0
1 1
Combinazione valori da escludere: x12 = x21 = 1 (corrisponde al sottocircuito).
Primo nodo figlio → x12 = 0.
Esempio
Sottocircuito 1 → 2 → 1. Tabella valori di x12 e x21
x12 x21
0 0
0 1
1 0
1 1
Combinazione valori da escludere: x12 = x21 = 1 (corrisponde al sottocircuito).
Primo nodo figlio → x12 = 0.
Secondo nodo figlio → x12 = 1 e x21 = 0.
Sottinsiemi di S di forma particolare
Siano dati due sottinsiemi di archi A0, A1 ⊆ A con A0 ∩ A1 = ∅.
Sottinsiemi di S di forma particolare
Siano dati due sottinsiemi di archi A0, A1 ⊆ A con A0 ∩ A1 = ∅.
I sottinsiemi di S che ci interessano sono:
S(A0, A1) = {C = (V, AC) ∈ S : ∀ (i, j) ∈ A1 : (i, j) ∈ AC, ∀ (i, j) ∈ A0 : (i, j) 6∈ AC},
ovvero in S(A0, A1) abbiamo tutti i circuiti hamiltoniani che contengono sicuramente gli archi in A1 e che sicuramente non contengono gli archi in A0.
Nota bene
L’intera regione ammissibile S coincide con un particolare sottinisieme di forma S(A0, A1) con A0 = A1 = ∅, cioè:
S = S(∅, ∅)
Calcolo del lower bound per S (A
0, A
1)
Il calcolo si effettua come quello del lower bound per S e cioè risolvendo un problema di assegnamento. Rispetto al calcolo del lower bound per S vanno presi i seguenti due accorgimenti:
per ogni (i, j) ∈ A0 si ponga vij = +∞: ciò impedisce la formazione della coppia (ai, bj) e quindi l’introduzione dell’arco (i, j);
Calcolo del lower bound per S (A
0, A
1)
Il calcolo si effettua come quello del lower bound per S e cioè risolvendo un problema di assegnamento. Rispetto al calcolo del lower bound per S vanno presi i seguenti due accorgimenti:
per ogni (i, j) ∈ A0 si ponga vij = +∞: ciò impedisce la formazione della coppia (ai, bj) e quindi l’introduzione dell’arco (i, j);
per ogni (i, j) ∈ A1 si escludano gli elementi ai e bj dal problema di assegnamento (essi sono già accoppiati tra loro). Si riduce di uno la dimensione del problema di
assegnamento.
Continua
Indichiamo con:
(aik, bjk) k = 1, . . . , ℓ
la soluzione del problema di assegnamento. A questi
corrisponde il seguente insieme di archi nel grafo originario:
As = {(ik, jk), k = 1, . . . , ℓ}.
Continua
Indichiamo con:
(aik, bjk) k = 1, . . . , ℓ
la soluzione del problema di assegnamento. A questi
corrisponde il seguente insieme di archi nel grafo originario:
As = {(ik, jk), k = 1, . . . , ℓ}.
Il lower bound per il sottinsieme S(A0, A1) è pari a L(S(A0, A1)) = X
(i,j)∈A1∪As
vij.
Soluzione ammissibile?
Se l’insieme di archi As ∪ A1 forma un circuito hamiltoniano, cioè appartiene alla regione ammissibile S, il suo valore
coincide con il valore del lower bound trovato e possiamo utilizzare tale valore per aggiornare, eventualmente, l’upper bound U B (NB: in tal caso il sottinsieme viene cancellato).
Soluzione ammissibile?
Se l’insieme di archi As ∪ A1 forma un circuito hamiltoniano, cioè appartiene alla regione ammissibile S, il suo valore
coincide con il valore del lower bound trovato e possiamo utilizzare tale valore per aggiornare, eventualmente, l’upper bound U B (NB: in tal caso il sottinsieme viene cancellato).
Altrimenti l’insieme di archi As ∪ A1 conterrà dei sottocircuiti.
Branching di S (A
0, A
1)
Si ripete quanto già visto per il nodo radice con una piccola differenza:
tra i sottocircuiti formati dagli archi As ∪ A1 si prende quello che contiene meno archi in As (gli archi in A1 sono già
fissati e non possono essere rimossi).
Esempio
Sia S(A0, A1) con:
A0 = {(1, 7)} A1 = {(1, 2); (2, 3)}, e sia
As ∪ A1 = {(1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 1); (5, 6); (6, 7); (7, 5)}.
Esempio
Sia S(A0, A1) con:
A0 = {(1, 7)} A1 = {(1, 2); (2, 3)}, e sia
As ∪ A1 = {(1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 1); (5, 6); (6, 7); (7, 5)}.
Dei due sottocircuiti in A1 ∪ As, cioè:
1 → 2 → 3 → 4 → 1 5 → 6 → 7 → 5
Esempio
Sia S(A0, A1) con:
A0 = {(1, 7)} A1 = {(1, 2); (2, 3)}, e sia
As ∪ A1 = {(1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 1); (5, 6); (6, 7); (7, 5)}.
Dei due sottocircuiti in A1 ∪ As, cioè:
1 → 2 → 3 → 4 → 1 5 → 6 → 7 → 5 quello con meno archi in As è:
1 → 2 → 3 → 4 → 1
Continua
Indichiamo con {(i1, j1), (i2, j2), . . . , (it, jt)} gli archi del sottocircuito che appartengono ad As. Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo che in esso non sia presente l’arco (i1, j1) (cioè si impone xi1,j1 = 0),
Continua
Indichiamo con {(i1, j1), (i2, j2), . . . , (it, jt)} gli archi del sottocircuito che appartengono ad As. Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo che in esso non sia presente l’arco (i1, j1) (cioè si impone xi1,j1 = 0), il secondo nodo figlio viene ottenuto imponendo che sia presente l’arco (i1, j1) ma non sia presente l’arco (i2, j2) (cioè si impone xi1,j1 = 1, xi2,j2 = 0),
Continua
Indichiamo con {(i1, j1), (i2, j2), . . . , (it, jt)} gli archi del sottocircuito che appartengono ad As. Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo che in esso non sia presente l’arco (i1, j1) (cioè si impone xi1,j1 = 0), il secondo nodo figlio viene ottenuto imponendo che sia presente l’arco (i1, j1) ma non sia presente l’arco (i2, j2) (cioè si impone
xi1,j1 = 1, xi2,j2 = 0), e così via fino al t-esimo figlio in cui si impone che siano presenti gli archi (ik, jk), k = 1, . . . , t − 1, ma non sia presente l’arco (it, jt) (cioè si impone
xik,jk = 1, k = 1, . . . , t − 1, xit,jt = 0).
Nell’esempio
Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo x34 = 0.
Nell’esempio
Il primo nodo figlio viene ottenuto imponendo x34 = 0.
Il secondo nodo figlio viene ottenuto imponendo x34 = 1 e x41 = 0.
Nota bene
Con questa regola di branching i nodi figli di un dato nodo continueranno ad essere sottinsiemi della regione
ammissibile di forma S(A0, A1).
Nota bene
Con questa regola di branching i nodi figli di un dato nodo continueranno ad essere sottinsiemi della regione
ammissibile di forma S(A0, A1).
Infatti, rispetto al nodo padre il primo nodo figlio aggiungerà l’arco (i1, j1) in A0, il secondo nodo figlio aggiungerà l’arco (i1, j1) in A1 e l’arco (i2, j2) in A0, il terzo nodo figlio
aggiungerà gli archi (i1, j1) e (i2, j2) in A1 e l’arco (i3, j3) in A0, e così via.
Nell’esempio
Primo nodo figlio:
A0 = {(1, 7); (3, 4)} A1 = {(1, 2); (2, 3)}
Nell’esempio
Primo nodo figlio:
A0 = {(1, 7); (3, 4)} A1 = {(1, 2); (2, 3)}
Secondo nodo figlio:
A0 = {(1, 7); (4, 1)} A1 = {(1, 2); (2, 3); (3, 4)}
Osservazione
Nel calcolo del lower bound per un dato nodo dell’albero è possibile risparmiare computazioni sfruttando quelle già fatte per il nodo padre, in particolare, utilizzando la tabella finale individuata dall’algoritmo ungherese per il nodo padre e con le opportune modifiche per il nodo figlio. Questo
verrà illustrato tramite gli esempi.
Lower bound per TSP simmetrico
Vogliamo ora definire una nuova tecnica di calcolo di lower bound per il problema TSP nel caso simmetrico, ovvero il caso in cui:
vij = vji ∀ i, j ∈ V.
Definizione: 1-tree
Dato un grafo G = (V, A) non orientato e un suo nodo
a ∈ V , chiamiamo 1-tree un sottografo Q = (V, AQ) di G con le seguenti proprietà:
Definizione: 1-tree
Dato un grafo G = (V, A) non orientato e un suo nodo
a ∈ V , chiamiamo 1-tree un sottografo Q = (V, AQ) di G con le seguenti proprietà:
in AQ ci sono esattamente due archi incidenti sul nodo a;
Definizione: 1-tree
Dato un grafo G = (V, A) non orientato e un suo nodo
a ∈ V , chiamiamo 1-tree un sottografo Q = (V, AQ) di G con le seguenti proprietà:
in AQ ci sono esattamente due archi incidenti sul nodo a;
se escludo da Q il nodo a e i due archi incidenti su di esso, mi rimane un albero sull’insieme di nodi V \ {a}.
Definizione: 1-tree
Dato un grafo G = (V, A) non orientato e un suo nodo
a ∈ V , chiamiamo 1-tree un sottografo Q = (V, AQ) di G con le seguenti proprietà:
in AQ ci sono esattamente due archi incidenti sul nodo a;
se escludo da Q il nodo a e i due archi incidenti su di esso, mi rimane un albero sull’insieme di nodi V \ {a}. In particolare, da questa definizione segue che | AQ |=| V |.
Esempio
Dato il grafo con V = {a, b, c, d, e} e
A = {(a, b); (a, c); (b, c); (b, e); (c, d); (d, a); (d, e)}, il sottografo con
AQ = {(a, b); (d, a); (b, c); (b, e); (d, e)}
è un 1-tree.
Osservazione
Si può notare che ogni circuito hamiltoniano è un 1-tree.
Osservazione
Si può notare che ogni circuito hamiltoniano è un 1-tree.
Infatti, in un circuito hamiltoniano su ogni nodo incidono esattamente due archi ed inoltre togliendo un nodo a qualsiasi e i due archi del circuito incidenti su di esso si ottiene un albero sull’insieme di nodi V \ {a}.
Osservazione
Si può notare che ogni circuito hamiltoniano è un 1-tree.
Infatti, in un circuito hamiltoniano su ogni nodo incidono esattamente due archi ed inoltre togliendo un nodo a qualsiasi e i due archi del circuito incidenti su di esso si ottiene un albero sull’insieme di nodi V \ {a}.
Il viceversa non è vero (lo 1-tree dell’esempio non è un circuito hamiltoniano).
Quindi ...
... se indichiamo con S′ l’insieme degli 1-tree su un grafo G, tale insieme contiene la regione ammissibile S del
problema TSP.
Quindi ...
... se indichiamo con S′ l’insieme degli 1-tree su un grafo G, tale insieme contiene la regione ammissibile S del
problema TSP.
In altre parole, il problema
Q=(V,AminQ)∈S′
X
(i,j)∈AQ
vij
risulta essere un rilassamento per il problema TSP
simmetrico e la sua risoluzione restituisce un lower bound per il valore ottimo del problema TSP.
Calcolo del lower bound
Passo 1. Si risolva il problema MST sul grafo ottenuto scartando da G = (V, A) il nodo a prescelto e tutti gli
archi incidenti su di esso. Sia AT l’insieme di archi della soluzione trovata;
Calcolo del lower bound
Passo 1. Si risolva il problema MST sul grafo ottenuto scartando da G = (V, A) il nodo a prescelto e tutti gli
archi incidenti su di esso. Sia AT l’insieme di archi della soluzione trovata;
Passo 2. Si aggiungano ad AT i due archi (a, k) e (a, h) a distanza minima tra tutti quelli incidenti sul nodo a
prescelto.
Calcolo del lower bound
Passo 1. Si risolva il problema MST sul grafo ottenuto scartando da G = (V, A) il nodo a prescelto e tutti gli
archi incidenti su di esso. Sia AT l’insieme di archi della soluzione trovata;
Passo 2. Si aggiungano ad AT i due archi (a, k) e (a, h) a distanza minima tra tutti quelli incidenti sul nodo a
prescelto.
Passo 3. Si restituisca Q = (V, AQ) con AQ = AT ∪ {(a, k); (a, h)}.
Tempi di calcolo
Risoluzione del problema MST → in tempo polinomiale (ad esempio con l’algoritmo greedy).
Tempi di calcolo
Risoluzione del problema MST → in tempo polinomiale (ad esempio con l’algoritmo greedy).
Calcolo dei due valori minimi → in tempo polinomiale.
Quindi
Tempi di calcolo
Risoluzione del problema MST → in tempo polinomiale (ad esempio con l’algoritmo greedy).
Calcolo dei due valori minimi → in tempo polinomiale.
Quindi i tempi di calcolo complessivi sono polinomiali.
Nota bene
La scelta del nodo a è arbitraria.
Nota bene
La scelta del nodo a è arbitraria.
Al costo di un maggiore sforzo computazionale, si possono anche calcolare | V | diversi lower bound scegliendo come nodo a tutti i nodi del grafo G e calcolando per ciascuno di essi il lower bound.
Nota bene
La scelta del nodo a è arbitraria.
Al costo di un maggiore sforzo computazionale, si possono anche calcolare | V | diversi lower bound scegliendo come nodo a tutti i nodi del grafo G e calcolando per ciascuno di essi il lower bound.
Come lower bound complessivo del problema originario si utilizza il migliore (ovvero il più grande) tra tutti i | V | lower bound calcolati.
Lower bound per sottoproblemi
Per il calcolo del lower bound di un sottoproblema
S(A0, A1), si utilizza la stessa procedura imponendo però la presenza degli archi in A1 ed escludendo quella degli archi in A0 sia nella risoluzione del problema MST sia
nell’individuazione dei due archi incidenti sul nodo a.
Lower bound per sottoproblemi
Per il calcolo del lower bound di un sottoproblema
S(A0, A1), si utilizza la stessa procedura imponendo però la presenza degli archi in A1 ed escludendo quella degli archi in A0 sia nella risoluzione del problema MST sia
nell’individuazione dei due archi incidenti sul nodo a.
In particolare, si può risolvere il problema MST sempre con l’algoritmo greedy ma:
Lower bound per sottoproblemi
Per il calcolo del lower bound di un sottoproblema
S(A0, A1), si utilizza la stessa procedura imponendo però la presenza degli archi in A1 ed escludendo quella degli archi in A0 sia nella risoluzione del problema MST sia
nell’individuazione dei due archi incidenti sul nodo a.
In particolare, si può risolvere il problema MST sempre con l’algoritmo greedy ma:
inizializzando l’insieme di archi AT non con l’insieme vuoto ma con tutti gli archi in A1 non incidenti sul nodo a;
Lower bound per sottoproblemi
Per il calcolo del lower bound di un sottoproblema
S(A0, A1), si utilizza la stessa procedura imponendo però la presenza degli archi in A1 ed escludendo quella degli archi in A0 sia nella risoluzione del problema MST sia
nell’individuazione dei due archi incidenti sul nodo a.
In particolare, si può risolvere il problema MST sempre con l’algoritmo greedy ma:
inizializzando l’insieme di archi AT non con l’insieme vuoto ma con tutti gli archi in A1 non incidenti sul nodo a;
non considerando gli archi in A0 durante l’esecuzione
Inoltre ...
se in A1 non sono presenti archi incidenti sul nodo a, metteremo in AQ i due archi a distanza minima tra tutti quelli incidenti sul nodo a e al di fuori di A0;
Inoltre ...
se in A1 non sono presenti archi incidenti sul nodo a, metteremo in AQ i due archi a distanza minima tra tutti quelli incidenti sul nodo a e al di fuori di A0;
se in A1 è già presente un arco incidente sul nodo a questo entrerà in AQ insieme a quello a distanza
minima tra tutti quelli incidenti sul nodo a e al di fuori di A0 e A1;
Inoltre ...
se in A1 non sono presenti archi incidenti sul nodo a, metteremo in AQ i due archi a distanza minima tra tutti quelli incidenti sul nodo a e al di fuori di A0;
se in A1 è già presente un arco incidente sul nodo a questo entrerà in AQ insieme a quello a distanza
minima tra tutti quelli incidenti sul nodo a e al di fuori di A0 e A1;
se in A1 sono già presenti due archi incidenti sul nodo a, solo questi entreranno in AQ.
Esempio
Supponiamo di avere il seguente problema del TSP simmetrico
1 2 3 4 5
1 − 5 8 3 5
2 5 − 4 6 2
3 8 4 − 10 3
4 3 6 10 − 1
5 5 2 3 1 −
Esempio
Supponiamo di avere il seguente problema del TSP simmetrico
1 2 3 4 5
1 − 5 8 3 5
2 5 − 4 6 2
3 8 4 − 10 3
4 3 6 10 − 1
5 5 2 3 1 −
Proviamo a calcolare il lower bound per il sottoproblema S(A0, A1) con A0 = {(1, 3); (4, 5)} e A1 = {(1, 5); (2, 4)}.
Utilizziamo come nodo a il nodo 1.
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Per prima cosa dobbiamo risolvere il problema MST
sull’insieme di nodi V \ {1} imponendo la presenza dell’arco (2, 4) che è in A1 ed escludendo quella degli archi in A0.
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Per prima cosa dobbiamo risolvere il problema MST
sull’insieme di nodi V \ {1} imponendo la presenza dell’arco (2, 4) che è in A1 ed escludendo quella degli archi in A0.
Utilizzando l’algoritmo greedy con AT inizializzato con gli archi in A1 non incidenti sul nodo 1 (in questo caso il solo arco (2, 4)) ed escludendo la possibilità di inserire gli archi in A0, arriviamo al seguente albero su V \ {1}
AT = {(2, 4); (2, 5); (3, 5)}.
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Notiamo che in A1 è presente l’arco (1, 5) incidente sul nodo 1.
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Notiamo che in A1 è presente l’arco (1, 5) incidente sul nodo 1.
Ad AT dobbiamo quindi aggiungere, oltre a questo arco (1, 5), l’arco a distanza minima tra tutti quelli incidenti sul nodo 1 e al di fuori di A0 e A1, ovvero (1, 4).