Parte teoricadelle prove scritte

R a c c o l t a d i d o m a n d e p o s t e n e l l a

P a r t e t e o r i c a

d e l l e p r o v e s c r i t t e

All’occorrenza, evidenziare la risposta che si ritiene corretta.

Esercizio 11. Le due tabelle sotto riportate sono relative ad uno stesso rilevamento di ⁿ dati di due variabili qualitative X e Y . La prima tabella è quella dei profili riga percentuali; la seconda esprime in termini letterali i corrispondenti conteggi (in generale non noti numericamente).

Y Totale

C D

X A 20 80 100

B 40 60 100

Totale 32 68 100

Y Totale

C D

X A

n

n

n

B

n

n

n

Totale

n

n

n

1.1. Se fosse noto che il numero dei soggetti esaminati è n  500 , si potrebbe utilizzare questa informazione e i valori della prima tabella per determinare i totali n

e n

Sì, perché: No, perché:

1.2. Se fossero noti i due valori n

e n

, si potrebbero utilizzare queste informazioni e i valori della prima tabella per determinare i due valori n

e n

?

Sì, perché: No, perché:

Esercizio 2. La prima delle tre tabelle che seguono riporta i profili riga percentuali delle due righe contrassegnate dalle modalità E ed F. Costruire le due successive tabelle di frequenze assolute (conteggi) di dati in modo che le righe E ed F abbiano gli stessi profili percentuali di quelli della prima tabella, ma abbiano le righe dei totali con profili percentuali diversi fra di loro.

A B Tot.

E 40 60 100

F 30 70 100

Tot. --- ---- ----

A B Tot.

E F Tot.

A B Tot.

E F Tot.

Esercizio 3. Due tabelle di dati relativi a una coppia di variabili qualitative, hanno lo stesso numero di righe e di colonne. Supponiamo che esse abbiano i relativi profili riga uguali (compresi quelli della riga marginale). Si può dedurre da questo che le corrispondenti tabelle di conteggi assoluti

sono uguali? SI NO perché:

Esercizio 4. Una serie di dati  x

,..., x

 ha media x

e scarto  .

4.1. Agli ⁿ dati se ne aggiunge uno di valore eguale alla media: x

 x

; siano x

e 

rispettivamente la media e lo scarto degli n  1 dati così ottenuti.

4.1.1. Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI, evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione)?

A n

x  x x

 x

x

 x

4.1.2. Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI, evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione)?

A n

   

 



 

4.2. Agli ⁿ dati  x

,..., x

 se ne aggiunge uno, che indichiamo ancora con x

, di valore

1

n n n

x

 x   ; siano x

e  rispettivamente la media e lo scarto degli

n  1 dati così ottenuti. Delle sei relazioni sotto indicate evidenziare le due corrette:

4.2.1. Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI, evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione)?

B n

x  x x

 x

x

 x

4.2.2. Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI, evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione)?

B n

   

 



 

Esercizio 5. Le due figure seguenti rappresentano gli istogrammi di due serie di dati. Indichiamo con x

e  rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 1, e con

x

e 

rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 2.

Figura 1 Figura 2

Delle sei relazioni sotto riportate, indicare le due corrette:

1 2

x  x x

 x

x

 x

1 2

   

 



 

Esercizio 6. Due serie di dati  x

,..., x

 e  y

,..., y

 hanno rispettivamente i valori medi x e ^y . È noto che ^{x  y} ; da tale informazione si può dedurre:

6.1. che comunque presi un dato x

dalla prima serie ed uno y

dalla seconda, risulta

necessariamente x

 y

? SI NO;

6.2. che esistono necessariamente un dato ^x appartenente alla prima serie ed un dato ^y appartenente alla seconda in modo tale che sia verificata la relazione ^{x y } ?

SI NO;

Esercizio 7. Due ditte A e B producono ognuna diversi modelli di telefoni cellulari. Siano rispettivamente c

, c

e  ,

 i valori medi e gli scarti dei costi dei cellulari prodotti dalle due

ditte. Supponiamo che il modello più costoso fra quelli prodotti dalla ditta A abbia un prezzo che è inferiore a quello del modello meno costoso fra quelli prodotti dalla ditta B .

7.1. È necessariamente c

 c

? SI NO perché:

7.2. È necessariamente 

 

? SI NO perché:

Esercizio 8. In figura 1 è riportato l’istogramma di una serie di 10 dati. Indichiamo con x

e 

rispettivamente la loro media e il loro scarto.

8.1. Riportare, nella figura 2, una seconda serie di 10 dati, ciascuno dei quali può essere un numero intero compreso fra 1 e 5, in modo che, detti x

e  rispettivamente la loro media e il loro

scarto, valgano entrambe le condizioni: x

 x

e 

 

.

Figura 1 Figura 2

Figura 3

8.2. Riportare, nella figura 3, una terza serie di 10 dati, ciascuno dei quali può essere un

numero intero compreso fra 1 e 5, in modo che, detti x

e  rispettivamente la loro media e il

loro scarto, valgano entrambe le condizioni:

3 1

x  x e 

 

.

Esercizio 9. La figura rappresenta l’istogramma di un certo numero ⁿ (non precisato) di osservazioni di una variabile quantitativa. I dati hanno media x

e scarto quadratico medio  .

9.1. In quale dei seguenti tre intervalli ritieni che cada la media x

?

[  1 , 1.5) [1.5, 3.5) [3.5, 10)

9.2. Agli ⁿ dati originali se ne aggiunge uno di valore pari alla loro media. Si considerano la media

1

x

e lo scarto 

degli n  1 dati così ottenuti.

Delle sei relazioni sotto riportate, indicare le due corrette: x

 x

x

 x

x

 x

1

n n



  

 



 

9.3. Agli ⁿ dati originali se ne aggiunge uno di valore 4. Si considerano la media x

e lo scarto

1



degli n  1 dati che così si ottengono. Delle sei relazioni sotto riportate, indicare le due

corrette: x

 x

x

 x

x

 x

1

n n



  

 



 

Esercizio 10. I due istogrammi a fianco A e B, sono relativi il primo a 40 dati e il secondo a 20. Le ascisse dei dati relativi ai due istogrammi non sono note, ma è noto che le due relative all’istogramma B sono maggiori di entrambe quelle relative all’istogramma A (ovvero, è noto che t > s + 2).

10.1 Quale dei due istogrammi ha media minore A B

10.2. Detti 

e 

gli scarti, rispettivamente, degli istogrammi A e B, evidenziare la relazione

corretta: 

< 



= 



> 

Esercizio 11. I due dati rappresentati nell’istogramma a fianco hanno ascisse sconosciute s < t. Siano m e  rispettivamente la loro media ed il loro scarto.

Ai due dati se ne aggiungono altri 8 aventi tutti valore uguale a t; dire se:

11.1. il valore medio dei 10 dati complessivi rispetto a quello dei due iniziali;

aumenta diminuisce rimane invariato

11.2. lo scarto dei 10 dati complessivi rispetto a quello dei due iniziali;

aumenta diminuisce rimane invariato

Esercizio 12. Si rileva il prezzo in euro di un certo numero di oggetti; il valore medio dei prezzi è m

e lo scarto 

. Successivamente i prezzi degli stessi oggetti vengono trasformati in lire e si indica con m

e 

rispettivamente la media e lo scarto del loro valore.

12.1. Dire se m

 m

m

= m

m

 m

12.2. Dire se 

 



= 



 

Esercizio 13. Su uno stesso sistema di

assi sono riportati gli istogrammi di due gruppi di dati: il gruppo A e il gruppo B.

Dire quale dei due gruppi ha:

13.1. media maggiore: ……;

13.2. scarto maggiore: …….

Esercizio 14. La figura rappresenta l’istogramma di 9 osservazioni di una variabile quantitativa che assume valori sui numeri interi positivi, che hanno media x  3 e scarto quadratico medio

2 3 1.15

   .

14.1. È possibile aggiungere ai 9 dati un decimo dato x

in modo che la media diminuisca (cioè abbia valore  3 ) e lo scarto diminuisca (cioè abbia valore  1.15 ) ?

Si, per esempio: x

 ……; No, perché:

14.2. Ai 9 dati originali si aggiunge un dato di valore 3: Si considerano la media x

e lo scarto  dei 10 dati così

ottenuti. Indicare le relazioni corrette:

x

 x x

 x x

 x



  

  

 

Esercizio 15. Le due figure seguenti rappresentano gli istogrammi di due serie di dati. Indichiamo con x

e  rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 1, e con

x

e 

rispettivamente la media e lo scarto dei dati relativi alla figura 2.

Figura 1 Figura 2

Delle sei relazioni sotto riportate, indicare le due corrette:

1 2

x  x x

 x

x

 x

1 2

   

 



 

Esercizio 16. Nelle due figure sotto sono rappresentati valori di coppie di dati quantitativi (ogni punto rappresenta una coppia di dati).

Figura 1.

Figura 2.

16.1. In quale dei due grafici ^  ^{X Y ,}  ha valore maggiore? ………

16.2. In quale dei due grafici ^  ^{X Y ,}  ha valore positivo? ………

Esercizio 17. Nelle due figure sotto sono rappresentati valori di coppie di dati quantitativi.

A B 17.1. In quale dei due grafici ^  ^{X Y ,}  ha valore più vicino a zero? ………

17.2. Delle sei relazioni sotto riportate, indicare le due corrette:

A

0

  

 0 

 0

B

0

  

 0 

 0

17.3. In quale dei due grafici ^  ^{X Y ,}  ha valore maggiore? ………

17.4. Supponiamo ora che le due figure precedenti vengano fuse, sovrapponendole, in un solo grafico C che contenga, quindi, sia i punti della figura A che quelli della B (l’operazione appare paradossale, da un punto di vista statistico, ma non ci si faccia carico di questo problema). Indichiamo con  il coefficiente di relazione dei punti presenti nel grafico

C . Delle sei relazioni sotto riportate, indicare le due corrette:

C A

   

 



 

C B

   

 



 

Esercizio 18. Nelle tre figure che seguono sono rappresentati valori di coppie di dati quantitativi (ogni punto rappresenta un dato); in tutte sono riportati gli assi che passano per il baricentro.

Figura 1. Figura 2.

Figura 3.

Disporre i grafici per ordine decrescente di coefficiente di correlazione:

coefficiente massimo: figura

coefficiente intermedio: figura

coefficiente minimo: figura

rappresentati valori di coppie di dati quantitativi (ogni punto rappresenta una coppia di dati, è tracciato il sistema d’assi che passa per il punto medio dei dati).

Il coefficiente di correlazione dei dati viene indicato con ^  ^{X Y ,}  .

19.1. Si può aggiungere ai dati originali un “punto” A in modo che detto 

 X Y ^,  il coefficiente di correlazione dei dati così ottenuti sia 

 X Y ^,     X Y ^,  ? Se SI, riportare A in figura; se NO, dire il perché.

19.2. Si può aggiungere ai dati originali un “punto” B in modo che detto 

 X Y ^,  il coefficiente di correlazione dei dati così ottenuti sia 

 X Y ^,     X Y ^,  ? Se SI, riportare B in figura; se NO, dire il perché

Esercizio 20. Nella figura a destra sono rappresentati valori di coppie di dati quantitativi (ogni punto rappresenta una coppia di dati, è tracciato il sistema d’assi che passa per il punto medio dei dati).

Il coefficiente di correlazione dei dati viene indicato con ^  ^{X Y ,}  .

20.1. Si può aggiungere ai dati originali un “punto” A in modo che detto 

 X Y ^,  il coefficiente di correlazione dei dati così ottenuti sia 

 X Y ^,     X Y ^,  ? Se SI, riportare A in figura; se NO, dire il perché.

20.2. Si può aggiungere ai dati originali un “punto” B in modo che detto 

 X Y ^,  il coefficiente di correlazione dei dati così ottenuti sia 

 X Y ^,     X Y ^,  ? Se SI, riportare B in figura; se NO, dire il perché.

Esercizio 21. La figura a fianco riportata, schematicamente, due dati A e B , relativi dalla coppia di variabili quantitative  ^{X Y ,}  . I punti A e B stanno su una retta orizzontale, ma le loro coordinate non sono note.

21.1. Cosa si può dire circa il valore della covarianza ^  ^{X Y ,}  ? (Dare una risposta motivata).

21.2. Circa il valore del coefficiente di correlazione ^  ^{X Y ,}  , qual’è la relazione corretta? (Dare una risposta motivata).

 ^{X Y ,}  ⁰

  ^  ^{X Y ,}  ^{ 1 }  ^{X Y ,}  non è definito

perché:

Figura 1

Figura 2

rappresentati valori di coppie di dati quantitativi (ogni punto rappresenta un unico dato). In entrambe sono riportati gli assi che passano per il baricentro. Confrontando le due figure, dire quale ha:

22.1. coefficiente di correlazione positivo:

Figura 1 Figura 2

22.2. valore assoluto del coefficiente di correlazione più vicino all’unità:

Figura 1 Figura 2 22.3. covarianza maggiore:

Figura 1 Figura 2

Esercizio 23. Un insieme A di valori di coppie di dati quantitativi è tale che il coefficiente di correlazione ha valore nullo: 

 ⁰ ; un insieme B di valori di coppie di dati quantitativi ha anch’esso coefficiente di correlazione di valore nullo: 

 ⁰ . Si uniscono i due insiemi di dati A e

B in un terzo insieme C , che risulta quindi formato dai punti sia dell’uno che dell’altro.

23.1. Detto  il coefficiente di correlazione di

C , è necessariamente 

 ⁰ ?

SI, NO, perché:

23.2. Vale l’analoga proprietà se, invece che 0, tutti i coefficienti citati hanno valore 1? in altre parole, è vero che se 

 

 1 allora è necessariamente anche 

 1 ?

SI, NO, perché:

Esercizio 24. Una variabile quantitativa definita su una popolazione ha media  sconosciuta e scarto noto. Dalla popolazione vengono estratti due campioni che hanno media rispettivamente x

e x

. Entrambi i campioni vengono utilizzati per testare (allo stesso livello   5% nei due casi) l’ipotesi che la media della popolazione abbia un determinato valore  .

Il test effettuato col primo campione porta a rifiutare l’ipotesi; mentre quello relativo al secondo campione porta ad accettarla.

24.1. Si può dire quale dei due campioni ha media minore, ovvero, quale delle tre relazioni sotto indicate, è quella corretta?

1 2

x  x x

 x

x

 x

Se SI, evidenziare quella corretta; se NO, spiegare il perché.

24.2. Si può dire quale dei due campioni ha media più vicina a quella ipotizzata  , ovvero, quale

delle tre relazioni sotto indicate, è quella corretta?

1 0 2 0

x    x   x

 

 x

 

x

 

 x

 

Se SI, evidenziare quella corretta; se NO, spiegare il perché.

Esercizio 25. La media di una popolazione è sconosciuta, lo scarto è noto. Si fa l’ipotesi che la

media abbia un determinato valore. Ad un campione si applica il test sulla media: il p-valore risulta

2.34%; inoltre è noto quale sia l’intervallo di fiducia I al livello del 5%. Disponendo di queste

SI, la media campionaria appartiene ad I NO, la media campionaria non appartiene ad I, perché:

Esercizio 26. La media di una popolazione è sconosciuta, lo scarto è noto. Si fa l’ipotesi che la media della popolazione abbia un determinato valore. Ad uno stesso campione di dati si applicano, in relazione alla stessa ipotesi, due test sulla media: il primo, al livello del 5%; il secondo, al livello dell’1%. Il secondo test porta a rifiutare l’ipotesi fatta. Ne segue che si può prevedere l’esito del primo test anche senza effettuarlo: il primo test porta necessariamente a

accettare rifiutare

l’ipotesi (evidenziare la risposta corretta e darne una spiegazione grafica).

Esercizio 27. La media di una popolazione è sconosciuta, lo scarto è noto. Si fa l’ipotesi che la popolazione abbia media 50: Due campioni hanno la stessa media campionaria. Il test sulla media, al livello del 5%, fatto col primo campione porta a rifiutare l’ipotesi fatta. Si può sapere quale sarebbe l’esito del test se lo si effettuasse utilizzando il secondo campione (sempre al livello del 5%) senza farlo realmente?

Si; l’esito sarebbe accettare l’ipotesi rifiutare l’ipotesi No, perché

Esercizio 28. Una variabile quantitativa definita su una popolazione ha media  sconosciuta e scarto noto. Dalla popolazione vengono estratti due campioni che vengono utilizzati per testare (allo stesso livello  nei due casi) l’ipotesi che la media della popolazione abbia un determinato valore  .

Il test effettuato col primo campione porta a rifiutare l’ipotesi; mentre quello relativo al secondo campione porta ad accettarla.

28.1. Siano x

e x

le medie dei due campioni; si può dire quale di essi ha media minore, ovvero, quale delle tre relazioni sotto indicate, è quella corretta? (se SI, evidenziare quella corretta; se NO, spiegare il perché).

1 2

x  x x

 x

x

 x

28.2. Siano p

e p

i p-valori relativi ai due campioni; si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è quella corretta? (se SI, evidenziare quella corretta; se NO, spiegare il perché).

1 2

p  p p

 p

p

 p

Esercizio 29. La media di una popolazione è sconosciuta, lo scarto è noto. Se si applica il test, al livello del 4%, viene confermata l’ipotesi che la media sia 12. Dei due valori di seguito indicati uno è il p-valore del test; quale? 0.034 0.492 Perché:

Esercizio 30. Il test  , applicato al livello dell’1% ad un insieme di osservazioni relativo a due

variabili (per il quale la minima frequenza teorica è molto elevata), porta a respingere l’ipotesi che le variabili siano indipendenti. Si può dire, senza ripetere i calcoli relativi al test, che necessariamente l’ipotesi fatta sarebbe respinta se, agli stessi dati, si applicasse il test al livello del 5%? Dare una risposta con una giustificazione esauriente e breve!

Esercizio 31. Viene eseguito il test sulla media, per una viariabile quantitativa definita su una popolazione, rispetto ad un certo valore ipotizzato, nel caso in cui lo scarto sia noto, utilizzando un campione di osservazioni. Risulta p valore   3.26%

31.1. Qual’è la conclusione del test se si sceglie di effettuarlo al livello del 5% ?

3.2. Qual’è la conclusione del test se si sceglie di effettuarlo al livello dell’ 1% ?