Si ottiene la seguente retta di regressione:

(1)

MODÈLE LINÉAIRE - TD 3 (a casa)

ESERCIZIO 1

Considerare i dati riportiati qui a fianco:

Si ottiene la seguente retta di regressione:

1,43 0,91

y = + x Y

j x _j y _j y _j e j

1 3.90 4.84

2 1.52 2.90

3 4.51 5.27

4 1.18 2.20

5 3.17 4.93 1) Disegnare i punti e la retta di

regressione.

2) Calcolare i valori approssimati e i residui e scriverli nella tabella

3) Calcolare x e σ _x ²

(2)

4) Calcolare la stima della varianza σ ² delle variabili aleatorie Y ₁ , , … Y _n come somma dei quadrati dei residui diviso n-2.

5) Calcolare la stima s _B ² ₀ della varianza di B

^B

0 e la stima s _B ² ₁ della varianza di B 1 .

6) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti del modello β ₀ e β ₁ .

7) Effettuare un test a livello di significatività del 95% per verificare se il coefficiente β ₀ è nullo

(3)

8) Intervalli di confidenza per ciascuno dei valori attesi delle variabili risposta Y ₁ , , … Y ₅ . Completare la tabella ricopiando le stime y ₁ , , … y ₅ dei valori attesi delle variabili risposta Y ₁ , , … Y ₅ , calcolando le stime delle varianze degli stimatori Y ₁ , , … Y ₅ e infine gli intervalli di confidenza.

j y _j ( ^x ^j ⁻ ^x ) ² ^h ^j ^{t s h} ^α ^j intervallo di confidenza per ^{IE Y} ( ) ^j

1

2

3

4

5 9) Disegnare gli intervalli di confidenza nel grafico costruito nel punto 1).

10) Si ha una nuova osservazione per x, uguale a 43.0, e non si osserva la variabile risposta y.

Determinare un intervallo per la variabile risposta a livello del 95%.

(4)

ESERCIZIO 2 - LETTURA DI UN OUTPUT SAS

Si considerano i dati di 34 studenti e si vuole studiare il consumo di pulsazioni cardiache dopo una corsa di 100 m (varaibile risposta) in dipendenza del numero di pulsazioni a riposo (variabile esplicativa) .

Con il programma

proc reg data=pulse;

model pulse2= pulse1;

run;

l’output SAS è il seguente

The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: pulse2

Number of Observations Read 34 Number of Observations Used 34 Analysis of Variance

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 1 4080.75657 4080.75657 19.14 0.0001 Error 32 6823.71402 213.24106

Corrected Total 33 10904

Root MSE 14.60278 R-Square 0.3742 Dependent Mean 91.47059 Adj R-Sq 0.3547 Coeff Var 15.96445

Parameter Estimates Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 1 20.80618 16.34645 1.27 0.2123 pulse1 1 0.96258 0.22004 4.37 0.0001

Nella tabella Parameter Estimates sono riportate:

Parameter Estimate: stime puntuali dei coefficienti β ₀ e β ₁ . , cioè i valori di b b ₀ e ₁

Standard Error: stime puntuali delle standard deviation degi stimatori , cioè i valori di

0 e B B ₁

0 e 1

B B

s s

T for H0: Parameter=0 valore della statistica test per il test di nullità di ciascun coefficiente β ₀ e β ₁ : ₀ = ⁰

B 0

t b

s e ₁ = ¹

B 1

t b s

Prob > |T|: p-value delle realizzazioni campionarie t ₀ e t ₁

a) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti d el modello β ₀ e β ₁ .

b) Effettuare un test per verificare la nullità del coefficiente β ₀ contro l’alternadiva che sia diverso da zero

(5)

Aggiungendo all’istruzione model le opzioni

proc reg data=pulse;

model pulse2=pulse1 /p r clm cli ; run;

si ottiene anche il seguente output

The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: pulse2 Output Statistics Dependent Predicted Std Error

Obs Variable Value Mean Predict 95% CL Mean 95% CL Predict Residual 1 88.0000 82.4110 3.2497 75.7916 89.0305 51.9385 112.8836 5.5890 2 70.0000 76.6356 4.2157 68.0485 85.2227 45.6760 107.5952 -6.6356 3 76.0000 80.4859 3.5464 73.2621 87.7097 49.8764 111.0954 -4.4859 4 78.0000 84.3362 2.9886 78.2487 90.4237 53.9748 114.6976 -6.3362 5 80.0000 82.4110 3.2497 75.7916 89.0305 51.9385 112.8836 -2.4110 6 84.0000 92.0368 2.5077 86.9288 97.1448 61.8565 122.2171 -8.0368 7 84.0000 101.6626 3.4205 94.6952 108.6299 71.1126 132.2126 -17.6626 8 72.0000 86.2614 2.7730 80.6128 91.9099 55.9849 116.5378 -14.2614 9 75.0000 80.4859 3.5464 73.2621 87.7097 49.8764 111.0954 -5.4859 10 118.0000 93.9620 2.5683 88.7305 99.1934 63.7605 124.1634 24.0380 11 94.0000 107.4380 4.4266 98.4213 116.4547 76.3565 138.5195 -13.4380 12 96.0000 97.8123 2.8937 91.9180 103.7065 67.4890 128.1355 -1.8123 13 84.0000 109.3632 4.7959 99.5942 119.1322 78.0552 140.6712 -25.3632 14 76.0000 86.2614 2.7730 80.6128 91.9099 55.9849 116.5378 -10.2614 15 76.0000 78.5607 3.8705 70.6768 86.4447 47.7888 109.3327 -2.5607 16 58.0000 80.4859 3.5464 73.2621 87.7097 49.8764 111.0954 -22.4859 17 82.0000 84.3362 2.9886 78.2487 90.4237 53.9748 114.6976 -2.3362 18 72.0000 88.1865 2.6145 82.8610 93.5120 57.9687 118.4044 -16.1865 19 76.0000 86.2614 2.7730 80.6128 91.9099 55.9849 116.5378 -10.2614 20 80.0000 90.1117 2.5235 84.9714 95.2520 59.9259 120.2974 -10.1117 21 106.0000 88.1865 2.6145 82.8610 93.5120 57.9687 118.4044 17.8135 22 76.0000 92.0368 2.5077 86.9288 97.1448 61.8565 122.2171 -16.0368 23 102.0000 84.3362 2.9886 78.2487 90.4237 53.9748 114.6976 17.6638 24 94.0000 88.1865 2.6145 82.8610 93.5120 57.9687 118.4044 5.8135 25 140.0000 113.2135 5.5656 101.8768 124.5502 81.3814 145.0455 26.7865 26 100.0000 80.4859 3.5464 73.2621 87.7097 49.8764 111.0954 19.5141 27 104.0000 95.8871 2.7002 90.3870 101.3872 65.6380 126.1362 8.1129 28 100.0000 99.7374 3.1373 93.3469 106.1280 69.3138 130.1610 0.2626 29 115.0000 117.0638 6.3639 104.1009 130.0267 84.6170 149.5106 -2.0638 30 112.0000 86.2614 2.7730 80.6128 91.9099 55.9849 116.5378 25.7386 31 116.0000 113.2135 5.5656 101.8768 124.5502 81.3814 145.0455 2.7865 32 118.0000 95.8871 2.7002 90.3870 101.3872 65.6380 126.1362 22.1129 33 110.0000 105.5129 4.0713 97.2198 113.8059 74.6336 136.3922 4.4871 34 98.0000 80.4859 3.5464 73.2621 87.7097 49.8764 111.0954 17.5141

Nella tabella sono riportate:

Dependent Variable: i valori campionari y ₁ , , … y _n delle variabili risposta

Perdicted Value: le approssimazioni lineari y ₁ , , … y _n delle variabili risposta; sono le stime dei valori attesi di Y ₁ , , … Y _n

Std Error Mean Predict le stime delle deviazioni standard delle y _j , cioè sh _j 95% CL Mean gli intevalli di confidenza per ^{IE Y} ( ) ^j

95% CL Predict gli intevalli in cui sta la risposta Y _j con probabilità del 95%

Residual i residui

Si ottiene la seguente retta di regressione:

MODÈLE LINÉAIRE - TD 3 (a casa)

ESERCIZIO 1

Considerare i dati riportiati qui a fianco:

Si ottiene la seguente retta di regressione:

1,43 0,91

y = + x Y

j x j y j y j e j

1 3.90 4.84

2 1.52 2.90

3 4.51 5.27

4 1.18 2.20

5 3.17 4.93 1) Disegnare i punti e la retta di

regressione.

2) Calcolare i valori approssimati e i residui e scriverli nella tabella

3) Calcolare x e σ x 2

4) Calcolare la stima della varianza σ 2 delle variabili aleatorie Y 1 , , … Y n come somma dei quadrati dei residui diviso n-2.

5) Calcolare la stima s B 2 0 della varianza di B

0 e la stima s B 2 1 della varianza di B 1 .

6) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti del modello β 0 e β 1 .

7) Effettuare un test a livello di significatività del 95% per verificare se il coefficiente β 0 è nullo

j y j ( x j − x ) 2 h j t s h α j intervallo di confidenza per IE Y ( ) j

1

2

3

4

5

9) Disegnare gli intervalli di confidenza nel grafico costruito nel punto 1).

10) Si ha una nuova osservazione per x, uguale a 43.0, e non si osserva la variabile risposta y.

Determinare un intervallo per la variabile risposta a livello del 95%.

ESERCIZIO 2 - LETTURA DI UN OUTPUT SAS

Si considerano i dati di 34 studenti e si vuole studiare il consumo di pulsazioni cardiache dopo una corsa di 100 m (varaibile risposta) in dipendenza del numero di pulsazioni a riposo (variabile esplicativa) .

Con il programma

proc reg data=pulse;

model pulse2= pulse1;

run;

l’output SAS è il seguente

The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: pulse2

Number of Observations Read 34 Number of Observations Used 34 Analysis of Variance

Sum of Mean

Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 1 4080.75657 4080.75657 19.14 0.0001 Error 32 6823.71402 213.24106

Corrected Total 33 10904

Root MSE 14.60278 R-Square 0.3742 Dependent Mean 91.47059 Adj R-Sq 0.3547 Coeff Var 15.96445

Parameter Estimates Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 1 20.80618 16.34645 1.27 0.2123 pulse1 1 0.96258 0.22004 4.37 0.0001

Nella tabella Parameter Estimates sono riportate:

Parameter Estimate: stime puntuali dei coefficienti β 0 e β 1 . , cioè i valori di b b 0 e 1

Standard Error: stime puntuali delle standard deviation degi stimatori , cioè i valori di

0 e B B 1

0 e 1

B B

s s

T for H0: Parameter=0 valore della statistica test per il test di nullità di ciascun coefficiente β 0 e β 1 : 0 = 0

B 0

t b

s e 1 = 1

B 1

t b s

Prob > |T|: p-value delle realizzazioni campionarie t 0 e t 1

a) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti d el modello β 0 e β 1 .

b) Effettuare un test per verificare la nullità del coefficiente β 0 contro l’alternadiva che sia diverso da zero

Aggiungendo all’istruzione model le opzioni

proc reg data=pulse;

model pulse2=pulse1 /p r clm cli ; run;

si ottiene anche il seguente output

The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: pulse2 Output Statistics Dependent Predicted Std Error

Nella tabella sono riportate:

Dependent Variable: i valori campionari y 1 , , … y n delle variabili risposta

Perdicted Value: le approssimazioni lineari y 1 , , … y n delle variabili risposta; sono le stime dei valori attesi di Y 1 , , … Y n

Std Error Mean Predict le stime delle deviazioni standard delle y j , cioè sh j 95% CL Mean gli intevalli di confidenza per IE Y ( ) j

95% CL Predict gli intevalli in cui sta la risposta Y j con probabilità del 95%

Residual i residui

j x _j y _j y _j e j

3) Calcolare x e σ _x ²

4) Calcolare la stima della varianza σ ² delle variabili aleatorie Y ₁ , , … Y _n come somma dei quadrati dei residui diviso n-2.

5) Calcolare la stima s _B ² ₀ della varianza di B

0 e la stima s _B ² ₁ della varianza di B 1 .

6) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti del modello β ₀ e β ₁ .

7) Effettuare un test a livello di significatività del 95% per verificare se il coefficiente β ₀ è nullo

j y _j ( ^x ^j ⁻ ^x ) ² ^h ^j ^{t s h} ^α ^j intervallo di confidenza per ^{IE Y} ( ) ^j

Parameter Estimate: stime puntuali dei coefficienti β ₀ e β ₁ . , cioè i valori di b b ₀ e ₁

0 e B B ₁

T for H0: Parameter=0 valore della statistica test per il test di nullità di ciascun coefficiente β ₀ e β ₁ : ₀ = ⁰

s e ₁ = ¹

Prob > |T|: p-value delle realizzazioni campionarie t ₀ e t ₁

a) Calcolare un intervallo di confidenza per ciascuno del coefficienti d el modello β ₀ e β ₁ .

b) Effettuare un test per verificare la nullità del coefficiente β ₀ contro l’alternadiva che sia diverso da zero

Dependent Variable: i valori campionari y ₁ , , … y _n delle variabili risposta

Perdicted Value: le approssimazioni lineari y ₁ , , … y _n delle variabili risposta; sono le stime dei valori attesi di Y ₁ , , … Y _n

Std Error Mean Predict le stime delle deviazioni standard delle y _j , cioè sh _j 95% CL Mean gli intevalli di confidenza per ^{IE Y} ( ) ^j

95% CL Predict gli intevalli in cui sta la risposta Y _j con probabilità del 95%