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Esercizi tratti da prove d'esame

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Academic year: 2021

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Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Corso di Istituzioni di Matematiche II

Esercizi tratti da prove d’esame

1) Calcolare Z 4

1

e √x

√ x dx mediante la sostituzione y = √ x.

2) a) Calcolare ZZ

D

(x + y 2 ) dxdy essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x }.

b) Enunciare il Teorema della media integrale.

3) Calcolare, per parti, Z

x 3 log 2 x dx.

4) a) Calcolare ZZ

D

dxdy essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x }.

b) Enunciare qualche propriet` a degli integrali definiti in una variabile.

5) Calcolare

Z (log √ x) 3

x dx mediante la sostituzione y = log √ x.

6) Calcolare ZZ

D

√ 1 y dxdy

essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, (1 + x) 2 ≤ y ≤ (2 + x) 2 }.

7) Calcolare

Z 1

√ x(1 + √

x) dx mediante la sostituzione y = √ x.

8) a) Calcolare ZZ

D

√ y dxdy

essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ 1 }.

b) Enunciare qualche propriet` a degli integrali.

9) Calcolare, per parti, Z 1

x 2 log x dx.

10) Calcolare, mediante integrali doppi, l’area della regione di piano individuata dalle curve y = x(x + 1) e y = −x(x + 1).

11) Determinare l’area della figura geometrica individuata nel quarto quadrante di un sistema cartesiano dalle curve di equazione y = −x 2 , y = −1 e x = 3

1

(2)

12) a) Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione in due variabili f (x, y) = 2x 2 + 5xy + 3y 2 .

b) Definizione e caratterizzazione dei punti di flesso di una funzione.

13) Calcolare Z 1

x 2 sin(1 + 1

x ) dx mediante la sostituzione 1 + x 1 = y.

14) Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione f (x, y) = (x + y − 1)(x − y + 2).

15) Calcolare l’area della regione di piano individuata dalla curva y = √

x e dalla retta y = 3x.

16) Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione f (x, y) = x 2 + y 2 − 6x + 8y + 5

17) Calcolare Z (log √ x) 3

x dx

mediante la sostituzione y = log √ x.

18) Calcolare ZZ

D

√ y dxdy

essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ 1 }.

19) Calcolare

Z e √x+1

√ x dx mediante la sostituzione y = √

x + 1.

20) Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione in due variabili f (x, y) = x 2 − 3xy + 4y 2

21) Calcolare

Z

π2

0

sin x 3 cos x + 1 dx mediante la sostituzione y = 3 cos x + 1.

22) Trovare e classificare i punti critici della funzione

f(x, y) = x 2 − y 3 + 3y + 5

2

(3)

23) Calcolare Z 1

x sin(log x 2 ) dx mediante la sostituzione y = log x 2 .

24) Determinare, caratterizzandoli, gli eventuali punti critici della funzione in due variabili

f (x, y) = 2x 2 − xy + 3y 2

25) Calcolare Z 1

√ x − 3 dx mediante la sostituzione y = √

x − 3.

26) Calcolare ZZ

D

(x 2 + y) dxdy essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

27) Calcolare Z

1

3

x + 1 dx mediante la sostituzione y = √

3

x + 1.

28) Calcolare ZZ

D

y dxdy essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.

29) Calcolare Z 1

0

2x 2 x 2 + 1 dx

30) Trovare e classificare i punti critici della funzione

f (x, y) = x 4 − 2xy + y 2

31) Calcolare, per parti, Z

x 2 log 2 x dx.

32) Calcolare ZZ

D

dxdy essendo D = {(x, y) ∈ R 2 : π ≤ x ≤ 2π, sin x ≤ y ≤ 0 }.

3

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