CIRIZA GEOMETRIA-(A-G)

CIRIZA-8037623-GEOMETRIA-(A-G)

Roma, marted`ı 17 marzo 2020

Propriet`a della somma e del prodotto dei numeri reali

◮ (R, +, .)

◮ 1) a + b = b + a ∀a, b ∈ R (commutativa)

2) a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ R (associativa) 3) ∃ 0 ∈ R : 0 + a = a ∀a ∈ R (esistenza elemento neutro) 4) ∀ a ∈ R ∃a^′ ∈ R : a + a^′= 0 e si denota a^′ = −a (esistenza elemento opposto)

◮ 5) a.b = b.a ∀a, b ∈ R (commutativa)

6) a.(b.c) = (a.b).c ∀a, b, c ∈ R (associativa) 7) ∃ 1(6= 0) ∈ K : 1.a = a∀ a ∈ R

(esistenza elemento unit`a)

8) ∀ a ∈ K : a 6= 0 ∃a^∗: a.a^∗ = 1 e si denota a^∗ = a⁻¹ (esistenza elemento inverso)

◮ 9) a.(b + c) = a.b + a.c ∀a, b, c ∈ R 10) (a + b).c = a.c + b.c ∀a, b, c ∈ R

Definizione di spazio vettoriale reale

◮ Un spazio vettoriale reale (V , R, +, ·) `e un insieme V , dove sono definite due operazioni:

◮ una legge di composizione interna + : V × V → V , (v , w ) 7→ v + w .

◮ e una legge di composizione esterna · : R × V → V , (a, w ) 7→ a·w .

◮ che soddisfano le seguente propriet`a:

Definizione di spazio vettoriale

◮ 1) (commutativa) v +w = w +v ∀v , w ∈ V

◮ 2) (associativa) u+(v +w ) = (u+v )+w ∀u, v , w ∈ V

◮ 3) (esistenza elemento neutro) ∃ ~0 ∈ V : ~0+v = v ∀v ∈ V

◮ 4) (esistenza elemento opposto) ∀ v ∈ V ∃u ∈ V : v +u = ~0 l’opposto si denota con −v

◮ 5) (distributiva) a·(u+v ) = a·u+a·v ∀a ∈ R∀v ∈ V

◮ 6) (distributiva) (a + b)·v = a·v +b·v ∀a, b ∈ R∀v ∈ V

◮ 7) (a.b)·v = a·(b·v )∀a, b ∈ R∀v ∈ V

◮ 8) 1·v = v dove 1 ∈ R∀v ∈ V

Propriet`a di (V , R

, +, ·)

◮ a) l’elemento neutro ~0 ´e unico,

◮ b) l’opposto di un dato vettore ´e unico,

◮ c) 0·v = ~0,

◮ d) a·~0 = ~0,

◮ e) se a·v = ~0 allora a = 0 oppure v = ~0 (legge dell’annullamento)

◮ f) l’opposto di a·v `e (−a)·v = a·(−v ) = −a·v .

Dimostrazione della propriet`a a)

◮

a) l’elemento neutro ~0 ´e unico.

◮ Dimostrazione:

◮ Supporre che esistono due elementi neutri ~0 e ~0^′ allora ~0^′= ~0 + ~0^′ = ~0

dove la prima uguaglianza si verifica per che ~0 `e un elemento neutro e la seconda per che anche ~0<sup>′</sup> lo `e.

Dimostrazione della propriet`a b)

◮

b) l’opposto di un dato vettore ´e unico.

◮ Dimostrazione: Supporre che esistono due elementi opposti w e w^′ per v

allora ~0 = w + v

sommando w^′ si ottiene

w^′ = ~0 + w^′ = (w + v ) + w^′ = w + (v + w^′) = w + ~0 = w .

Dimostrazione della propriet`a c)

◮

c) 0·v = ~0.

◮ Dimostrazione:

◮ 0·v = (0 + 0)·v = 0·v +0·v quindi 0·v = 0·v +0·v

◮ sommando l’opposto −(0·v )+[0·v +0·v ] = −(0·v )+0·v = ~0.

◮ ma −(0·v )+[0·v +0·v ] = [−(0·v )+0·v ]+0·v = ~0+0·v = 0·v .

◮ si ha quindi che ~0 = 0·v .

Dimostrazione della propriet`a d)

◮

d) a·~0 = ~0.

◮ Dimostrazione:

◮ a· ~0 = a · (~0 + ~0) = a · ~0 + a · ~0

◮ sommando l’opposto −(a~0) si ha che

~0 = −(a · ~0) + a · ~0 = −(a · ~0) + [a · ~0 + a · ~0] = [−(a · ~0) + a · ~0] + a · ~0 = a · ~0.

Dimostrazione della propriet`a e)

◮

e) se a·v = ~0 allora a = 0 oppure v = ~0.

◮ Dimostrazione:

◮ Se a 6= 0 allora esiste l’inverso a⁻¹ ∈ R, si ha dunque che v = 1 · v = (a⁻¹a) · v = a⁻¹· (a · v ) = a⁻¹· ~0 = ~0.

◮

f) l’opposto di a·v `e (−a)·v = a·(−v ) = −a·v .

◮ Verifica:

◮ a·v + (−a)·v = (a − a)·v = 0 · v = ~0.

◮ a·v + a·(−v ) = a·(v − v ) = a~0 = ~0.

◮ Per unicit`a dell’opposto −(a·v ) si ha che (−a)·v = −(a·v ) e che a·(−v ) = −(a·v ).

Osservazione

◮ Primo esempio:

L’insieme dei numeri reali R `e uno spazio vettoriale sul campo reale con le operazioni usuali di somma e prodotto.

Esempio 1 (a):

◮ R² = {(x, y ) : x, y ∈ R}

◮ v₁ = (x₁,y₁) e v₂= (x₂,y₂) ∈ R² si definisce la somma:

v₁+ v₂ = (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+ x₂,y₁+ y₂)

◮ se λ ∈ R il prodotto di v = (x, y ) per λ `e λv = λ(x, y ) = (λx, λy )

◮ il vettore nullo si denota con ~0 = (0, 0).

◮ (V = R², K= R, +, .) `e uno spazio vettoriale.

Esempio 1 (a):

◮ Verifica: per ogni v1, v₂, v₃, ,v ∈ R² e α, β ∈ R.

1) v1+ v2= (x1+ x2,y₁+ y2) = (x2+ x1,y₂+ y1) = v2+ v1

2) [v₁+ v₂] + v₃= ([x₁+ x₂] + x₃,[y₁+ y₂] + y₃) = x₁+ [x₂+ x₃], y₁+ [y₂+ y₃] = v₁+ [v₂+ v₃].

3) ~0 + v = (0, 0) + (x, y ) = (0 + x, 0 + y ) = (x, y ).

4) −v = (−x, −y ) soddisfa (−v ) + v = ~0.

5) (αβ) · v = ((αβ)x, (αβ)y ) = (α(βx), α(βy ) = α· (βx, βy ) = α · (β · v ).

6) (α + β) · v = ((α + β)x, (α + β)y ) =

(αx + βx, αy + βy ) = (αx, αy ) + (βx, βy ) = α · v + β · v . 7) α · (v₁+ v₂) = (α(x₁+ x₂), α(y₁+ y₂)) = αv₁+ αv₂.

Esempio 1 (b):

◮ R³ = {(x, y , z) : x, y , z ∈ R}

◮ v₁ = (x₁,y₁,z₁) e v₂ = (x₂,y₂,z₂) ∈ R² si definisce la somma:

v₁+ v2 = (x1,y₁,z₁) + (x2,y₂,z₂) = (x1+ x2,y₁+ y2,z₁+ z2)

◮ se λ ∈ R il prodotto di v = (x, y ) per λ `e λv = λ(x, y , z) = (λx, λy , λz)

◮ il vettore nullo si denota con ~0 = (0, 0, 0).

◮ Analogamente al esempio precedente si verifica che (V = R³, K= R, +, .) `e uno spazio vettoriale.

Esempio 1 (c):

◮ Pi`u in generale Rⁿ= {(x₁, . . . ,x_n) : x_i ∈ R}

con le operazioni:

v₁+ v₂= (x₁, . . .x_n) + (y₁, . . . ,y_n) = (x₁+ y₁, . . . ,y₁+ yn) e λv = λ(x₁, . . . ,x_n) = (λx₁, . . . , λx_n) `e uno spazio vettoriale su R.

Polinomi

◮ p(x) = a₀+ a₁x+ · · · + a_nxⁿ

◮ x `e la variabile indeterminata, a<sub>j</sub> ∈ K sono i coefficienti di p, a<sub>0</sub> `e detto il termine noto.

◮ Se a₁ = · · · = a_n= 0 si dice che il polinomio `e costante.

Se anche a₀= 0 si dice che il polinomio ´e nullo.

◮ Se gli aj ∈ R, j = 0, . . . , n il polinomio si dice reale, se gli aj ∈ C, j = 0, . . . , n il polinomio si dice complesso.

◮ R[x]= l’insieme dei polinomi reali.

C[x]= l’insieme dei polinomi complessi,

◮ Il grado di un polinomio non nullo `e il numero intero k tale che a_k 6= 0 e a_k+j = 0, ∀j ∈ N.

Il grado del polinomio nullo `e −∞.

esempio 2 (a):

◮ Lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a n R_n[x] = {p(x) : grado p ≤ n}

◮ Somma di due polinomi

(p+q)(x) := p(x)+q(x) = a₀+b₀+(a₁+b₁)x+· · ·+(an+bn)xⁿ.

◮ Prodotto di un polinomio per uno scalare α ∈ R

(αp)(x) := αp(x) = αa₀+ (αa₁)x + · · · + (αa_n)xⁿ.

esempio 2 (b):

◮ L’insieme dei polinomi di grado uguale a n {p(x) : grado p = n}

NON `e uno spazio vettoriale.

MATRICI

◮ Una matrice `e un insieme di numeri ordinati per righe e colonne

A=







a₁₁ . . . a_1n ... ... ... a_m1 . . . a_mn





= (a_ij)

◮ Si dice che A ha ordine m per n si ha m righe ed n colonne.

◮ Si denota con M(m, n; K) l’insieme delle matrici con coefficienti in K di ordine m per n.

◮ Se K = R la matrice A si dice reale, se K = C la matrice A si dice complessa.

esempio 4:

◮ Lo spazio vettoriale delle matrici M(m, n; R)

◮ Somma di due matrici A = (aij) e B = (bij) di ordine m per n,

◮

A+ B = (a_ij) + (b_ij) := (a_ij + b_ij).

◮ Moltiplicazione di una matrice per uno scalare:

◮ Se α ∈ R

αA= α(a_ij) := (αa_ij)

esempio 4:

◮ Lo spazio vettoriale delle matrici M(2; R)

◮ A=

 a b c d



e A^′=

 a^′ b^′ c^′ d^′

 .

◮

A+ A^′ =

 a+ a^′ b+ b^′ c + c^′ d + d^′

 .

◮ Moltiplicazione di una matrice per uno scalare:

◮ Se α ∈ R,

αA=

 αa αb αc αd

 .

Esercizio 1

◮ Verificare che V = R² con le seguenti leggi di composizione non `e uno spazio vettoriale su R.

(a) (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+ x₂, y₂); α(x, y ) = (αx, αy ).

(b) (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+ x₂,y₁+ y₂); α(x, y ) = (0, αy ).

◮ soluzione: `e sufficiente esibire una propriet`a che non sia soddisfata

◮ (a) non `e commutativa

(x₂,y₂) + (x₁,y₁) = (x₂+ x₁, y₁) 6= (x₁,y₁) + (x₂,y₂).

◮ (b) la propriet`a 8) non `e sodisfata: se α = 1 allora 1(x, y ) = (0, 1y ) 6= (x, y ), ∀(x, y ).

Esercizio 2

◮ (a) Verificare che C `e un C- spazio vettoriale con le leggi usuali. La somma: per z₁= x₁+ iy₁ e z₂ = x₂+ iy₂,

z₁+ z₂ = (x₁+ x₂) + i (y₁+ y₂) e il prodotto per uno scalare α: per z = x + iy e

α= a + ib ∈ C, αz = (ax − by ) + i (ay + bx).

◮ (b) Verificare che C `e un R-spazio vettoriale con le leggi : la somma z₁+ z₂ definita come in (a) e il prodotto per uno scalare α (reale):

∀α ∈ R, αz = αx + i αy

Esercizio 3

◮ Sia V l’insieme dei numeri reali strettamente positivi.

Dimostrare che V `e un R-spazio vettoriale rispetto alle operazioni ⊕, ⊗ definite come segue: x ⊕ y = xy ∀x, y ∈ V ; a⊗ x = x^a ∀a ∈ R, x ∈ V .

◮ soluzione: verifica delle proprie`a per ⊕

◮ 1) x ⊕ y = xy = yx = y ⊕ x,

◮ 2) (x ⊕ y ) ⊕ z = (xy )z = x(yz) = x ⊕ (y ⊕ z),

◮ 3) il numero 1 `e l’elemento neutro per la legge di composizione interna: 1 ⊕ y = 1y = y ,

◮ 4) per ogni x > 0, x⁻¹>0 `e l’elemento opposto per la legge di composizione interna: x ⊕ x⁻¹= xx⁻¹= 1.

Esercizio 3

◮ Sia V = {x ∈ R ; x > 0}, K = R. Siano

⊕ : V × V → V definita da x ⊕ y = xy ∀x, y ∈ V

⊗ : R × V → V definita da a ⊗ x = x^a ∀a ∈ R, x ∈ V . Dimostrare che (V , R, ⊕, ⊗) `e uno spazio vettoriale:

◮ soluzione: verifica delle propriet`a per ⊗.

◮ 5) (ab) ⊗ x = x^ab= (x^b)^a= a ⊗ (x^b) = a ⊗ (b ⊗ x),

◮ 6) (a + b) ⊗ x = x^(a+b)= x^a .x^b= (a ⊗ x) ⊕ (b ⊗ x),

◮ 7) a ⊗ (x ⊕ y ) = (x.y )^a= x^a.y^a= (a ⊗ x) ⊕ (a ⊗ y ),

◮ 8) 1 ⊗ x = x¹ = x.

Esercizio 4

◮ Sia S¹ l’insieme dei numeri complessi di modulo 1. Verificare che S¹ `e un R-spazio vettoriale con le leggi di composizione interna: (e^{i θ},e^{i φ}) 7→ e^i(θ+φ)∀e^{i θ},e^{i φ} ∈ S¹

esterna: (a, e^{i θ}) 7→ e^iaθ ∀a ∈ R, ∀e^{i θ} ∈ S¹.

◮

S¹ = {e^{i θ} = cos θ + i sin θ, θ ∈ R}.

◮ interna:

e^{i θ}⊕ e^{i φ} := e^{i θ} .e^{i φ}= e^i(θ+φ).

◮ esterna:

a⊗ e^{i θ} := (e^{i θ})^a = e^iaθ.