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Su trovi tante simulazioni interattive in più per fare pratica in vista della prova INVALSI.

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Academic year: 2022

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(1)

VERSO L’INVALSI

I

VERSO L’INVALSI

Su https://online.scuola.zanichelli.it/invalsi trovi tante simulazioni interattive in più per fare pratica in vista della prova INVALSI.

PROVA 1 120 minuti

Andrea si è dimenticato il codice che deve digita- re per aprire il portone del palazzo in cui vive. Sa che è formato da 5 cifre (da 0 a 9) tutte diverse, e si ricorda che le ultime due sono 7 e 5. Quanti tentativi dovrebbe fare Andrea, al massimo, per entrare nel palazzo?

Mostra il procedimento seguito.

Considera il polinomio p x^ h= +x3 2x2- -x 2.

a. p x^ h è divisibile per x 1+ . V F

b. p 2^ h- =0. V F

c. p x^ h20 per x2- . 1 V F

d. xp x 2 #0 +^ h

se x1-2 0 x$- . 1 V F

La soluzione dell’equazione cos2 ^ h2x + =1 0 nell’intervallo ; 28r 3rB è:

A -23r. B 23r. C 43r. D 76r. Una stanza a forma di parallelepipedo ha le dimensioni in figura. Si vuole passare una mano di vernice sulle pareti e sul soffitto.

3,5 m

2,4 m

3 m

Se 25 litri di vernice sono sufficienti per 225 m2, quanti litri di vernice sono necessari per dipinge- re la stanza? (Approssima il risultato al decimo.)

Se 01 1a r2 e sina = 54 , quanto vale tana?

Uno smartphone viene venduto con uno sconto del 20%. Se il prezzo scontato è € 96, qual era il prezzo originario?

Lo specchio in figura ha la forma di un cerchio.

y

O x

20 cm

P Q

16 cm

■ Qual è l’equazione del bordo dello specchio nel sistema di riferimento cartesiano Oxy?

A x2+ =y2 1600 C x2+ =y2 800

B x2+ =y2 400 D x2+ =y2 256

■ Lo specchio viene appeso tramite due gan- cetti situati nei punti P e Q (sul retro dello specchio). Quanto distano tra loro i due gancetti?

Un albero alto 4 m proietta un’ombra lunga 9 m.

Qual è, approssimativamente, l’angolo di incli- nazione dei raggi solari rispetto all’orizzonte?

A 66 ° C 25°

B 64 ° D 24°

Nel piano cartesiano le rette di equazioni x ky+ = e y2 =- + , dove k è un numero x 1 reale, sono parallele. Quanto vale k?

Su una mappa in scala 1:10 000 un terreno è rap- presentato da un rettangolo di area 2,5 cm2. L’e- stensione reale del terreno è circa:

A 2,5 m2 C 25 000 m2

B 250 m2 D 25 km2

1

2

3

4

5

6

7 8

9

10

11

(2)

TEORIA

T

CAPITOLO 22

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ

La risposta a pag. 1126

I chicchi e la scacchiera

Secondo un’antica leggenda orientale, Sissa Nassir inventò gli scacchi per il re della Persia e gli chiese una ricompensa per l’invenzione, a prima vista assai modesta: un chicco di riso per la prima casella della scacchiera, due per la seconda, quattro per la terza e così via, raddoppiando la quantità dei chicchi per ognuna delle caselle.

Il re accettò senza pensarci…

Perché il re di Persia fece mozzare la testa all’inventore del gioco degli scacchi?

Funzioni reali di variabile reale

Definizione di funzione

Richiamiamo il concetto di funzione reale di variabile reale.

DEFINIZIONE

Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B.

Scriviamo: :f A B" .

Se a x A! la funzione f associa y ! , diciamo che y è immagine di x mediante f .B La legge che definisce la funzione f molto spesso viene indicata con l’equazione

y f x= ^ h, detta espressione analitica della funzione.

In una funzione y f x= ^ h, x è detta controimmagine di y mediante f.

Gli insiemi A e B vengono detti rispettivamente dominio e codominio della fun- zione. Il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto insieme immagine di A ed è indicato con f(A), con Im ( f ) o con Im. Se non diamo indicazioni diverse, consideriamo l’insieme R come codominio di una funzione.

Ý

ESEMPIO

La funzione f : R " R, descritta dalla legge matematica y 2 x

3 3

= - + , associa a ogni valore di x uno e un solo valore di y. Per esempio, per x= si ha y4 =- .3

1

Esercizi a p. 1130

dominio f: A B

x y

A B

insieme immagine codominio

GUARDA!

2 Video 5 Listen to it 1 Pdf di

approfondimento

(3)

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

In una funzione y = f (x), x è detta variabile indipendente, mentre y è detta va‑

riabile dipendente.

Una funzione può essere anche indicata con un’espressione del tipo f (x; y) = 0, detta forma implicita, mentre y = f (x) è detta forma esplicita rispetto alla variabi‑

le y. Per esempio, la funzione 3x + 2y - 6 = 0 è la forma implicita di y 2 x .

3 3

=- +

Di una funzione f possiamo disegnare il grafico nel piano cartesiano, cioè l’insieme dei punti P(x; y) tali che y è immagine di x mediante f, ossia l’insieme dei punti P (x ; f(x )). Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi, che si determi‑

nano mettendo a sistema l’equazione della funzione con y = 0 (equazione dell’asse x ) o con x = 0 (equazione dell’asse y).

Esistono funzioni, dette funzioni definite a tratti, date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.

ESEMPIO

Funzione valore assoluto:

y x x x

x x

0 0 se se 1$

= = -' .

Classificazione delle funzioni

La funzione è algebrica se l’espressione analitica y = f(x) che la descrive contie‑

ne solo, per la variabile x, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica è:

razionale intera o polinomiale se è espressa mediante un polinomio; in par‑

ticolare se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile x, la funzione è lineare, se il polinomio in x è di secondo grado, la funzione è quadratica;

razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi;

irrazionale se la variabile indipendente x compare sotto il segno di radice.

Se una funzione y=f x^ h non è algebrica, si dice trascendente.

Dominio di una funzione

Dominio naturale

DEFINIZIONE

Il dominio naturale (o campo di esistenza) della funzione y = f(x) è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y.

Molto spesso una funzione viene assegnata senza indicare il dominio.

In questi casi deve essere determinato il suo dominio naturale e chiamiamo il do‑

minio naturale anche soltanto dominio. Lo indichiamo con D.

Per esempio, la funzione y= x2- ha come dominio 4 D x: #-20x$2.

O y

x y = |x|

algebriche

trascendenti polinomiale

razionale fratta

irrazionale x3 − 1

− x 9 y = y =

y =

y = ———x + 1

ex y = sin x x2

8 − 1

Esercizi a p. 1131

Esercizi a p. 1133 y

O

f(x)

dominio x insieme

immagine

(4)

TEORIA

T

Funzioni reali di variabile reale PARAGRAFO 1

Domini delle funzioni principali

Funzione Dominio

Funzioni razionali intere:

y=a x0 n+a x1 n-1+f+an R Funzioni razionali fratte:

( )

( ) ( )

y Q x

P x P Qe polinomi

= R esclusi i valori che annullano Q(x)

Funzioni irrazionali:

y= n f x( )

( ) ,

x!R f x $0

# - se n è pari

dominio di f(x), se n è dispari Funzioni logaritmiche:

( ) ,

y=loga f x a20 a!1 #x!R f x( )20- Funzioni esponenziali:

y=af x( ) a20,a!1 y= ^6f xh@g^xh

f x^ ha a irrazionale

dominio di f(x) x!R f x^ h20 +

# - dominio di g(x)

x!R f x( )$0

$ ., se a20

x!R f x( )20

$ ., se a10

Funzioni goniometriche:

, cos

y=sinx y= x y=tanx

y=cotx

, arccos arcsin

y= x y= x

, arctan

y= x y=arccotx

R 2 k

R-&r + r0, con k!Z R- ! +, con k Zkr ! [-1 1; ]

R

Funzioni uguali

DEFINIZIONE

y= ^ h e y g xf x = ^ h sono funzioni uguali se hanno lo stesso dominio D e f x^ h=g x^ h per ogni x D! .

ESEMPIO

Le funzioni f x x x x

1 1

2

= 2++

^ ^

h h

e g x^ h=x sono uguali perché hanno lo stesso dominio R e f x x x

x 1 x

1

2 2

++ =

^ = ^

h h

per ogni x! .R f x xx x

1

= 2--

^ h e g x^ h=x non sono uguali: x

x x 1 x

1 --

^ h =

solo se x! .1

PROVA SUBITO

Trova il dominio di a. y=^x-1h ;x b. y=xr; c. y=^x-2h .-r PROVA SUBITO

Qual è il dominio di

y xx x

3

6 8

= - +2- - ?

Animazione nell’ebook

Video

Dominio di una funzione Il dominio della funzione

( ) tan cos

f x = x x è lo stesso dominio della funzione

( ) sin

f x = x? Facciamo alcuni esempi.

MATEMATICA E STORIA

Polinomi identici Augustin-Louis Cauchy, nel suo Cours d’analyse (1821), scrive:

«I due polinomi U( )x e ( )x

W , entrambi di grado n - 1, risultano uguali per ciascuno dei valori x0, x1, x2, …, xn - 1».

Prendendo spunto dal suo testo, risolviamo alcuni problemi.

Risposta – Esercizi in più

(5)

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

Zeri e segno di una funzione

Un numero reale a è uno zero della funzione y= ^ h se f af x ^ h=0.

Nel grafico di f x^ h gli zeri sono le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l’asse x.

Gli eventuali punti di intersezione con l’asse y si ottengono calcolando y= ^ h, f 0 se x= appartiene al dominio di f.0

È possibile anche studiare il segno di una funzione y= ^ h, cioè cercare per quali f x valori di x appartenenti al dominio il corrispondente valore di y è positivo, e per quali è negativo. Per esempio, la funzione y = 2x - 6 risulta positiva per x2 , 3 nulla per x = 3, negativa per x1 .3

Grafici delle funzioni e trasformazioni geometriche Traslazioni

Dato il grafico di una funzione y = f(x), mediante una traslazione di vettore v otteniamo il grafico di una nuova funzione, che chiamiamo funzione traslata.

Nella figura distinguiamo tre casi, di cui i primi due sono casi particolari del terzo, rispettivamente con b = 0 e con a = 0.

y = f(x − a) + b y

x y = f(x)

a b

O

c. Traslazione di vettore (a; b).

a. Traslazione di vettore a(a; 0)

parallelo all’asse x. b. Traslazione di vettore b(0; b) parallelo all’asse y.

y

x O

a

y = f(x − a)

y = f(x)

P P'

y

x O

b

y = f(x) + b

y = f(x) P

P' v

v

Simmetrie

Data una funzione di equazione y = f(x), con considerazioni analoghe a quelle utilizzate per la traslazione, si può dimostrare che la funzione:

a. y = - f(x) ha il grafico simmetrico del grafico di f(x) rispetto all’asse x;

b. y = f(- x) ha il grafico simmetrico del grafico di f(x) rispetto all’asse y;

c. y = - f(- x) ha il grafico simmetrico del grafico di f(x) rispetto all’origine.

a. Simmetria rispetto all’asse x. b. Simmetria rispetto all’asse y. c. Simmetria centrale rispetto a O.

y = − f(x) y

x P

P'

y = f(x) O

y = f(−x) y

O x

P' P

y = f(x)

y = − f(−x) y

x P'

O

P y = f(x)

Esercizi a p. 1141 y

O x

zeri

Animazione nell’ebook Studiamo i tre casi della figura sotto, partendo dalla funzione y= - e 9 x2 usando una figura dinamica al variare di a e b nel vettore di traslazione v a b^ ; h.

(6)

TEORIA

T

Proprietà delle funzioni PARAGRAFO 2

Per ottenere il grafico di y= f x( ) , dove ( ) ( ) f x f x( )

= -( f x ( ) 0 ( ) 0 f x f x se

se 1$ , disegnia‑

mo il grafico di y = f(x) e confermiamo il grafico di f per i punti del grafico che appartengono al semipiano delle ordinate positive o nulle; consideriamo il sim‑

metrico rispetto all’asse x del grafico di f per i punti del grafico che appartengono al semipiano delle ordinate negative.

La funzione y=f x^ h, dove ( )

( )

f x f x

f x

= -

^ h ( x

x 0

0 se se 1$ ,

se x $ 0 (semipiano delle ascisse positive), ha lo stesso grafico di y = f(x);

se x 1 0 (semipiano delle ascisse negative), ha il grafico di y = f(- x), che si ottiene tracciando il simmetrico rispetto all’asse y del grafico di y = f(x) per

x2 .0

x y = f( x )

y = f(x) y

x O O

y y = f(x)

y = f(x)

a. Simmetria rispetto all’asse x delle parti del grafico di

y = f(x) con y < 0. b. Per x 0 il grafico è lo stesso di y = f(x), per x < 0 il grafico è il simmetrico rispetto all’asse y del grafico di y = f(x) per x > 0.

Dilatazioni e contrazioni

n < 1

a. Dilatazione orizzontale. b. Contrazione orizzontale.

y

O x

y

O x

y

O x

y = nf(x)

y = f(x)

y

O x

y = nf(x) y = f(x)

y = f(x) y = f —x m m > 1

y = f(x)

m < 1 n > 1

c. Dilatazione verticale. d. Contrazione verticale.

y = f —x m

<

0 0<

Proprietà delle funzioni

Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche

Esercizi a p. 1147

DEFINIZIONE

Una funzione da A (dominio) a B (codominio) è:

iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A;

suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A;

biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva sia suriettiva.

2

Listen to it A function from a set A to a set B is said to be:

an injection (or an injective function) if it maps distinct objects of set A to distinct objects of set B;

a surjection (or a surjective function) if each element of B is the image of at least one element of A;

a bijection (or a bijective function) if it is both injective and surjective.

(7)

TEORIA

T

Funzioni, successioni e loro proprietà CAPITOLO 22

Una definizione equivalente di funzione iniettiva è la seguente:

una funzione è iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ossia

x1!x2 " f x^ 1h!f x^ 2h.

Ogni funzione è suriettiva se si prende come codominio l’insieme immagine della funzione.

ESEMPIO

Entrambi i grafici rappresentano delle funzioni :f R R" .

+1 3

–1 4 y

x O

y = – x2 + 4

a. La funzione y = x è sia iniettiva sia suriettiva perché ogni valore scelto sull’asse y è immagine di un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull’asse x. La funzione è quindi biunivoca.

b. La funzione y = – x2 + 4 è suriettiva se si considera come codominio l’insieme immagine ] – ∞; 4 ], ma non è iniettiva perché, scelto nell’insieme immagine un y diverso da 4, esso è l’immagine di due valori distinti di x.

3

O 2 8

y = x3 y

x

Funzioni crescenti, decrescenti, monotòne

Esercizi a p. 1148

Funzioni crescenti

DEFINIZIONE

y = f(x) di dominio D 3 R è una funzione crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 1 x2, risulta f(x1) 1 f(x2).

ESEMPIO

La funzione y=cosx è crescente in senso stretto in ; 26r r@.

Se nella definizione sostituiamo la relazione f(x1) 1 f(x2) con f(x1) # f(x2), otte- niamo la definizione di funzione crescente in senso lato, o anche non decrescente.

Si può anche dire che la funzione è debolmente crescente.

Funzioni decrescenti

DEFINIZIONE

y = f(x) di dominio D 3 R è una funzione decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 1 x2, risulta f(x1) 2 f(x2).

PROVA SUBITO

Disegna il grafico di una funzione suriettiva su R che non sia iniettiva.

Animazione nell’ebook Studiamo l’iniettività e la non iniettività delle due fun- zioni dell’esempio, anche mediante figure dinamiche.

y

O a b x

f(x) crescente in [a; b]

a y

O a b x

f(x) non decrescente in [a; b]

b

PROVA SUBITO

In quale intervallo la fun- zione y x= 2-2x+ è 1 decrescente?

(8)

TEORIA

T

Proprietà delle funzioni PARAGRAFO 2

Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f (x1) 2 f(x2) con f(x1) $ f(x2), otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato, o anche non crescente. In questo caso si può anche dire che la funzione è debolmente decrescente.

In seguito, se diremo che una funzione è crescente (o decrescente), senza aggiun‑

gere altro, sarà sottinteso che lo è in senso stretto.

Funzioni monotòne

DEFINIZIONE

Una funzione di dominio D 3 R è monotòna in senso stretto (o semplicemente monotòna) in un intervallo I, sottoinsieme di D, se in quell’intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Analoga definizione può essere data per una funzione monotòna in senso lato.

Una funzione f monotòna in senso stretto è sempre iniettiva. Infatti, se f è mo‑

notòna in senso stretto, allora per ogni x1! x2 si ha f (x1) 1 f (x2) oppure f (x1) 2 f (x2); quindi risulta f (x1) ! f (x2), cioè f è iniettiva.

ESEMPIO

y=sinx è monotòna in senso stretto nell’intervallo :-r r2 ; 2D e in tale in‑

tervallo è iniettiva. Invece, la stessa funzione non è monotòna in 0;6 r@, dove non è iniettiva.

ESEMPIO Il prezzo di equilibrio

Le leggi di mercato della domanda e dell’offerta di un prodotto determinano il suo prezzo di vendita, che si ottiene quando la domanda e

l’offerta coincidono (punto di equilibrio).

Esaminiamo un esempio in un modello semplificato. In un determinato periodo dell’anno, la quantità di mele richiesta sul mercato segue la legge della domanda ( )q p =170- , 2p mentre la legge dell’offerta è

( ) ,

q p = -p 10 dove p è il prezzo in euro al quintale e q(p) è la quan‑

tità di mele in quintali.

Verifichiamo che sono funzio‑

ni monotòne.

Calcoliamo il prezzo di vendita al quintale delle mele e quanti quintali di mele corrispondo‑

no al punto di equilibrio.

Le due funzioni assegnate hanno entrambe come grafico una retta nel piano cartesiano Opq. La funzione della domanda è decrescente in senso stretto, mentre la funzione dell’offerta è crescente, anch’essa in senso stretto.

Consideriamo soltanto quelle parti delle rette in cui p$ e q 00 $ , perché prezzo e quantità non possono assumere valori negativi.

PROVA SUBITO

Quale delle due funzioni y=x2-4x+ ,4

y 2x

1 1

= +

è monotòna?

q

O 60 p

50 A

q = p – 10 q = 170 – 2p

170 domanda

offerta

(9)

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

Per calcolare le coordinate del punto di equilibrio risolviamo il sistema:

q p

q p

p p

q p

p q 170 2

10

170 2 10

10

60

" " 50

= -

= - - = -

= - =

) ) ) = .

In corrispondenza del punto di equilibrio il prezzo di vendita è di € 60 al quintale e vengono venduti 50 quintali di mele.

Funzioni periodiche

DEFINIZIONE

y = f(x) è una funzione periodica di periodo T, con T 2 0, se, per qualsiasi numero k intero, abbiamo f(x ) = f(x + kT).

In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo.

Se f x^ h è periodica di periodo T, allora non è iniettiva, perché x e x + kT hanno la stessa immagine.

Se una funzione è periodica di periodo T, essa lo è anche di periodo 2T, 3T, 4T, …

Funzioni pari e funzioni dispari

DEFINIZIONE

Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x ! D, allora - x ! D.

y = f(x) è una funzione pari in D se f(- x) = f(x) per qualunque x apparte‑

nente a D.

ESEMPIO

y = f(x) = - x4+ 2x2 è pari perché:

il dominio è R;

f^-xh=- -^ xh4+2^-xh2=- +x4 2x2=f x^ h.

In generale, se una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente sol‑

tanto potenze della x con esponente pari, allora è pari.

Per verificare invece che la funzione y = f(x) = 2x4- x non è pari perché, sosti‑

tuendo a x il suo opposto - x, non si ottiene f(x).

Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.

Infatti, se il punto P (x ; y) appartiene al grafico, vi ap‑

partiene anche il punto Pl(- x; y).

Pertanto, le coordinate di Pl, pensate come (x l; y l), soddisfano le equazioni della simmetria rispetto all’asse y :

x x

y y

=-

= l

* l .

O x

x + T T

f(x) f(x + T) y

x

Esercizi a p. 1149

Esercizi a p. 1150 Animazione

nell’ebook Nell’animazione risolviamo i tre esercizi relativi a fun- zioni pari e funzioni dispari, quello qui sotto e i due della pagina successiva.

PROVA SUBITO

La funzione

y x 4

1

= - +2

è pari?

–aO a f(–a) f(a)

y

x

(10)

TEORIA

T

Proprietà delle funzioni PARAGRAFO 2

DEFINIZIONE

Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x ! D, anche - x ! D.

y = f(x) è una funzione dispari in D se f(- x) = - f(x) per qualunque x ap‑

partenente a D.

ESEMPIO

y = f(x) = 4x5- x è dispari perché:

il dominio è R;

f(- x) = -4^ xh5- - =-^ xh 4x5+ =-x ^4x5-xh = - f(x).

Una funzione polinomiale con espressione analitica contenente solo potenze della x con esponente dispari è una funzione dispari.

Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetri‑

co rispetto all’origine degli assi.

Infatti, se il punto P (x ; y) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto Pl(- x; - y). Pertanto le coordinate di Pl, pensate come (x l; y l), soddisfano le equazioni della simmetria centrale avente come cen‑

tro l’origine:

x x

y y

=-

=- l

* l .

Una funzione che non sia pari non è necessariamente dispari (e viceversa).

Proprietà delle principali funzioni trascendenti

Funzione esponenziale

O x

1 y

0 < a < 1 a > 1

a = 1

y = ax

Ha come dominio R e come insie‑

me immagine, se a ! 1, R+, ossia il suo grafico sta tutto «sopra» l’asse x.

Il grafico non interseca l’asse x, in‑

terseca l’asse y in (0; 1).

Se a 2 1, è una funzione sempre crescente; se 0 1 a 1 1, è sempre decrescente; se a = 1, è costante e vale 1.

Funzione logaritmica

x y

O 1

a > 1

0 < a < 1 y = logax

Ha come dominio R+, come insie‑

me immagine R.

Il grafico interseca l’asse x in (1; 0), non interseca l’asse y.

Se a 2 1, è una funzione sempre crescente; se 0 1 a 1 1, è sempre decrescente.

PROVA SUBITO

Verifica che la funzione y=f x( )=x3+ non è 1 dispari.

O

–a a

f(a) f(–a)

y

x

PROVA SUBITO

Verifica che y=f x( )=x3- x2 non è né pari né dispari.

(11)

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

Funzione tangente

–—2 2

y = tan x

O x

y

2 3

2

– π π π π π π

Ha come dominio R -%r2 +kr/, con k ! Z, e come insieme imma‑

gine R.

È una funzione dispari:

tan (- x) = - tan x.

È una funzione periodica di perio‑

do r:

tan x = tan (x + kr), con k ! Z.

È crescente in

k ; k

2 2

r r r r

- + + :

D .

Funzione cotangente

–—2

O x

y

2 3

2 2 y = cot x

π π π π π π

Ha come dominio R - {kr} con k ! Z, e come insieme immagi‑

ne R.

È una funzione dispari:

cot (- x) = - cot x.

È una funzione periodica di perio‑

do r:

cot x = cot (x + kr), con k ! Z.

È decrescente in ]0 + kr; r + kr[.

Animazione nell’ebook

Animazione nell’ebook

In queste animazioni osserviamo in modo dinamico tutte le caratteristiche delle funzioni tan- gente e cotangente.

Funzione seno

y = sin x x O

y

–1 1

π 2 π

Funzione coseno

–1 1

O 2 y

x y = cos x π π Animazione

nell’ebook

Animazione nell’ebook Nelle animazioni esami- niamo, mediante figure dinamiche, le caratteristi- che delle funzioni seno e coseno.

Ha come dominio R e come insie‑

me immagine [- 1; 1].

È una funzione dispari:

sin (- x) = - sin x.

È una funzione periodica di perio‑

do 2r.

È crescente in

k ; k

2 2 2 2

r r r r

- + +

: D, con k Z! .

Ha come dominio R e come insie‑

me immagine [- 1; 1].

È una funzione pari:

cos (- x) = cos x.

È una funzione periodica di perio‑

do 2r.

È crescente in

[- r + 2kr; 0 + 2kr], con k Z! .

(12)

TEORIA

T

Funzione inversa PARAGRAFO 3

Funzione inversa

DEFINIZIONE

Data la funzione biunivoca y = f (x) da A a B,

la funzione inversa di f è la funzio‑

ne biunivoca

x = f-1(y) da B ad A

che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x).

Se una funzione ammette inversa, si dice che è invertibile.

Le funzioni monotòne in senso stretto sono biunivoche se si considera come co‑

dominio il loro insieme immagine. Quindi esse ammettono sempre la funzione inversa.

Se una funzione f x^ h non è biunivoca, è possibile effettuare una restrizione del suo dominio a un sottoinsieme Dl in cui sia biunivoca. Infatti, per l’invertibilità è sufficiente scegliere in A un sottoinsieme Dl dove f x^ h risulta iniettiva, perché f x^ h è sicuramente suriettiva se come codominio B consideriamo l’insieme im‑

magine f Dl^ h.

ESEMPIO

La funzione y=f^ hx =x2

nel suo dominio R non è biunivoca, e quindi non è invertibile. Per renderla biunivoca consideriamo come dominio l’insieme dei numeri reali positivi o nulli, cioè x$ . Con la restrizione del dominio operata possiamo conside‑0 rare la funzione inversa di f x^ h,

x = f-1(y) = y ,

definita associando a un numero quel valore che, elevato al quadra‑

to, dà il numero stesso.

Per esempio, f-1(9) = 9 = ,3 perché

9 = f(3) = 32.

Per rappresentare f e f-1 nello stesso piano cartesiano, scambiamo le variabili x e y nell’espressione della funzione inversa, tornando alla convenzione di chiamare x la variabile indipendente e y quella dipendente:

y=f-1( )x = x.

Il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

3

Esercizi a p. 1151

Listen to it Given a bijective function f from A to B, its inverse function f-1 is the bijective function from B to A which associates to each y in B the value x in A such that

y=f x( ).

A f B

biunivoca

x y=f(x)

A B

x=f−1(y) y

f−1

y = x 1

y = x2

1

y = x y

x O

PROVA SUBITO

Restringi il dominio della funzione

y= - 9 x2

in modo che sia invertibile e determina la funzione inversa.

Animazione nell’ebook

(13)

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

Grafici delle funzioni inverse

Funzione esponenziale e funzione logaritmica

La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale (e viceversa). Sono entrambe funzioni strettamente monotòne e quindi biunivoche.

y

x O 1

1

y

x O 1

1 y = ax

y = ax y = logax

a > 1

y = x

0 < a < 1

y = logax y = x

Funzioni goniometriche e loro inverse

Poiché nel loro dominio naturale le funzioni goniometriche sono periodiche, e quindi non biunivoche, per ottenere le loro funzioni inverse è necessario effettuare restrizioni dei domini, in modo che risultino biunivoche.

y = arccot x

O y

y = x

x

y = cot x

2

2 y = arccos x

O 1

y

x

− 1

y = x

2

2 1

− 1 y = cos x

y = x

2

2

y = arctan x y

x

2

2

y = tan x O

a. Considerata la funzione seno nel dominio

[

– —; —

]

,

la funzione arcoseno ha dominio D = [–1; 1] e insieme immagine =

[

– —; —

]

.

2 2 2 2

c. Considerata la funzione tangente nel dominio

]

– —; —

[

, la funzione arcotangente ha dominio D = e insieme immagine2 2

]

– —; —2 2

[

.

y = arcsin x

O 1

y

− 1 x 1

2

2

2

y = sin x

− 1

2

y = x

b. Considerata la funzione coseno nel dominio [0; ], la funzione arcocoseno ha dominio D = [–1; 1] e insieme immagine = [0; ].

d. Considerata la funzione cotangente nel dominio ]0; [, la funzione arcocotangente ha dominio D = e

insieme immagine = ]0; [.

Im Im

π π

π

π π π π

π π

π π

π π

π π π

π π

π π

π π

π

π π

π π π

Im = Im

(14)

TEORIA

T

Successioni numeriche PARAGRAFO 5

Funzione composta

Date le funzioni f e g, indichiamo con g % f (si legge «g composto f ») oppure con y = g( f(x)) la funzione composta che si

ottiene associando a ogni elemento x del dominio di f, che abbia immagine f(x ) appartenente al dominio di g, il valore y immagine di f(x ) mediante g.

Per comporre le due funzioni, occorre che l’immagine di x mediante la prima fun‑

zione, cioè f(x ), sia un valore per il quale si può determinare l’immagine tramite la seconda funzione.

Quindi il dominio di y = g( f(x)) è costituito da tutti gli x del dominio di f tali che f(x ) appartiene al dominio di g.

In generale, la composizione delle funzioni non è commutativa: g % f ! f % g.

ESEMPIO

Consideriamo le funzioni f e g, da R a R, f(x ) = x2, g (x ) = x + 1.

La funzione composta g % f è:

y = g( f(x)) = g(x2) = x2+ 1.

Invece f % g è:

y = f( g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2.

Per esempio, g( f (5)) = g(25) = 26, mentre f( g(5)) = f(6) = 36.

Se si compone la funzione f con la sua inversa f-1, si ot‑

tiene la funzione identità, che associa a ogni elemento di un insieme se stesso:

f( f-1(x )) = f-1( f(x )) = x.

Successioni numeriche

DEFINIZIONE

Una successione numerica è una funzione che associa a ogni numero naturale n un numero reale an:

an= f(n).

Una successione è quindi un insieme ordinato e infinito di numeri, che chiamiamo termini:

a0, a1, a2, …, an, …

L’indice 0,1, … crea la corrispondenza fra i termini a0, a1, … e i numeri naturali 0, 1, …

4

Esercizi a p. 1154

x

A g ° f B

f(x) y

g(f(x))

f g

C

PROVA SUBITO

Date le seguenti funzioni f e g, determina f % e g fg % : a. f x( )=x2- , ( )1 g x x

= 1;

b. ( )f x = - , x 1 g x( )=x3. Animazione

nell’ebook

x z

f

f–1 f–1 ° f

A B

5

Listen to it A numerical sequence is a function :f N" that R associates with each natural number n a real value an:

an=f n( ).

(15)

a 

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

L’n‑esimo termine, an, è detto termine generale.

ESEMPIO

La successione costituita da tutte le frazioni con numeratore 1 e denomina‑

tore un numero naturale dispari è la funzione:

a 2n1 1

n= + .

Sostituendo a n i valori 0, 1, 2, 3, …, si ha:

a0= 1, a1= 13 , a2= 15 , a3= 17 , …

Possiamo estendere la definizione di successione anche a casi in cui sia opportuno avere come primo termine ak, con k2 .0

Per esempio, la successione a 2nn 1

n= + ha come primo termine a1 perché a0 non esiste.

Rappresentazioni delle successioni

Rappresentazione per elencazione

Indichiamo i primi termini della successione seguiti dai puntini di sospensione.

ESEMPIO

0, 3, 6, 9, … è la successione dei multipli di 3.

Rappresentazione mediante espressione analitica Indichiamo la relazione che lega l’indice n e il termine an.

ESEMPIO

I multipli di 3 sono descritti dall’espressione an=3n. Rappresentazione ricorsiva o per ricorsione

Consiste nel fornire il primo termine della successione e una relazione che lega il termine generale an a quello precedente.

a

an f an sen 0

0

1 2

= ^ - h )

ESEMPIO

a 0

an an 3 sen 0

0

1 2

=

= - +

)

Ogni termine si ottiene dal precedente sommando 3:

a0= , a0 1= + = , aa0 3 3 2= + = , …a1 3 6 Abbiamo riottenuto la successione dei multipli di 3.

A volte la rappresentazione ricorsiva è data fornendo i primi k termini della suc‑

cessione e una relazione che lega il termine generale ai k termini precedenti.

Esercizi a p. 1156

PROVA SUBITO

Rappresenta per elenca- zione la successione dei quadrati dei numeri pari.

PROVA SUBITO

Scrivi la successione dei quadrati dei numeri pari in forma analitica.

PROVA SUBITO

Scrivi i primi quattro termini della seguente suc- cessione.

a

a a n

3

2 1 se 0

n n

0

1 2

== - + )

(16)

TEORIA

T

Successioni numeriche PARAGRAFO 5

Per esempio:

a ,a

a a a n

0 1

1

n n n se

0 1

1 2 2

= =

= - + -

)

a2= + = + = , aa1 a0 1 0 1 3= + =a2 a1 1+1=2, a4= + = + = , aa3 a2 2 1 3 5=a4+ = + = , fa3 3 2 5

Ogni termine della successione si ottiene sommando i due termini che lo precedono.

Questa particolare successione è detta successione di Fibonacci, dal nome del matematico Leonardo Fibonacci, che la descrisse risolvendo un problema diven‑

tato famoso.

ESEMPIO I conigli di Fibonacci

Nel Liber Abaci, pubblicato nel 1202, Leonardo Fibonacci riporta questo problema: «Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da pareti per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura ogni mese le coppie di conigli generano un’altra coppia e cominciano a procreare nel secondo mese dalla nascita».

Al crescere del numero dei mesi, quante coppie di conigli ci saranno, mese dopo mese, nel recinto? Se le coppie di conigli restano tutte in vita, quante saranno quelle presenti nel recinto dopo un anno?

All’inizio, al tempo t= , nel recinto c’è una coppia di conigli appena nata. 0 Alla fine del primo mese, cioè per t= , la coppia è adulta, in grado di ripro‑1 dursi. Alla fine del secondo mese è presente una coppia adulta e una coppia appena nata, alla fine del terzo due coppie adulte e una appena nata, …. Rap‑

presentiamo nello schema le coppie di conigli presenti nel recinto ogni mese fino al quinto mese. Ogni cerchio blu indica una coppia adulta, mentre ogni cerchio rosso una coppia appena nata, che non può ancora procreare.

Tempo

in mesi Coppie presenti Numero di

coppie

0 a0= 1

1 a1= 1

2 a2= 2

3 a3= 3

4 a4= 5

5 a5= 8

Si può notare che il numero delle coppie presenti ogni mese, a partire da t= , 2 è la somma delle coppie presenti nei due mesi precedenti.

La successione di valori che si ottiene è la successione di Fibonacci, i cui primi termini sono:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Dopo un anno, al termine del dodicesimo mese, nel recinto il numero di cop‑

pie presenti è il dodicesimo termine della successione di Fibonacci:

a12= a10+ a11= 89 + 144 = 233.

Non è sempre facile passare da un tipo di rappresentazione a un altro.

(17)

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

In generale:

la rappresentazione per elencazione è efficace se, leggendo i primi termini, si possono dedurre gli altri senza ambiguità;

quando è possibile, conviene utilizzare la rappresentazione analitica perché permette di calcolare il termine n‑esimo direttamente da n.

Successioni monotòne

Una successione è:

crescente se ogni termine è maggiore del suo precedente, ossia:

, ;

an1an+1 6n!N

decrescente se ogni termine è minore del suo precedente, ossia:

, ;

an2an+1 6n!N

non decrescente (o crescente in senso lato) se: an#an 1+ ,6n!N;

non crescente (o decrescente in senso lato) se: an$an 1+ ,6n!N;

costante se ogni termine è uguale al suo precedente, ossia:

, .

an= an+1 6 !n N

In generale, una successione per cui vale una di queste proprietà si dice monotòna.

ESEMPIO

1. 0, 1, 4, 9, 16, … è una successione monotòna crescente.

2. - , -2, -3, -4, … è monotòna decrescente.1 3. 0, 21

, 21 , 1, 23

, … è monotòna non decrescente.

4. - , -1, 1 - , -2, 23 - , … è monotòna non crescente.25 5. 2 , 2 , 2 , … è costante.

Progressioni aritmetiche

Esercizi a p. 1158

Consideriamo la successione: 2, 5, 8, 11, 14, …

2 5 8 11 14

3

Ogni termine si ottiene dal precedente aggiungendo 3. Possiamo anche dire che la differenza fra ogni termine e il suo precedente è uguale a 3.

Disponendo i termini su una retta come in figura, si può vedere che la distanza fra due punti consecutivi è sempre uguale a 3.

Diciamo in questo caso che la successione è una progressione aritmetica.

DEFINIZIONE

Una successione numerica è una progressione aritmetica quando la differenza fra ogni termine e il suo precedente è costante; questa differenza è la ragione della progressione.

Esercizi a p. 1157

6

Listen to it

A numerical sequence is an arithmetic progression if the difference between any two consecutive terms is constant.

PROVA SUBITO

Verifica se la successione 2, 3

8, 3 10, 4,

3 14, … è una progressione aritme- tica.

(18)

TEORIA

T

Progressioni aritmetiche PARAGRAFO 6 In una progressione aritmetica di ragione d ogni termine si calcola da quello pre-

cedente addizionando d oppure dal successivo sottraendo d:

an= an 1- + d oppure an= an 1+ - d.

Per le progressioni indichiamo in genere il primo termine con a1 e non con a0. A volte si considera un numero finito di termini consecutivi di una progressione.

In tal caso il primo e l’ultimo termine di questo insieme ordinato sono detti estre- mi della progressione.

Una progressione aritmetica di ragione d è:

crescente se d 2 0; decrescente se d 1 0; costante se d = 0.

Calcolo del termine an di una progressione aritmetica

Consideriamo la progressione aritmetica di ragione 7 e di primo termine 3. Qual è il decimo termine?

Per rispondere alla domanda scriviamo i termini della progressione, utilizzando il primo termine e la ragione.

a1= 3 In simboli:

a2= 3 + 7 a2= a1+ d

a3= 3 + 7 + 7 = 3 + 2 $ 7 a3= a1+ 2d a4= 3 + 7 + 7 + 7 = 3 + 3 $ 7 a4= a1+ 3d a5= 3 + 7 + 7 + 7 + 7 = 3 + 4 $ 7 a5= a1+ 4d

… …

a10= 3 + 9 $ 7 = 66 a10= a1+ (10 - 1)d

a5 a2

a1 a3 a4 a6 a7 a8 a9 a10

+9 $7 +3 $7

+2 $7 +7

=3

Vale il seguente teorema.

TEOREMA

In una progressione aritmetica, il termine an è uguale alla somma del primo termine a1 con il prodotto della ragione d per (n - 1):

an= a1+ (n - 1) $ d, con n 1$ .

DIMOSTRAZIONE

In una progressione aritmetica la differenza tra ogni termine e quello prece- dente è uguale alla ragione d:

a2 - a1 = d, a3 - a2 = d, …, an - an-1 = d.

Sommiamo membro a membro le n - 1 uguaglianze e semplifichiamo:

an - a1 = (n - 1)d " an = a1 + (n - 1)d.

+d Ðd

an–1 an an+1

PROVA SUBITO

Fai un esempio di pro- gressione aritmetica:

crescente;

decrescente;

costante.

Animazione nell’ebook Nell’animazione ti ripropo- niamo la dimostrazione del teorema, insieme alla sua interpretazione geometrica e a un esempio di applica- zione con il calcolo della ragione d della progressione aritmetica di primo termine 1 e settimo termine 25.

(19)

TEORIA

T

FUNZIONI, SUCCESSIONI E LORO PROPRIETÀ CAPITOLO 22

Il teorema precedente mette in relazione i numeri a1, n, an, d.

Conoscendo tre di essi, è possibile ricavare il quarto numero.

ESEMPIO

Calcoliamo il numero n dei termini estratti dalla progressione aritmetica di ragione 6, avente per estremi 9 e 45.

I dati sono: d  = 6, a1 = 9, an = 45.

Sostituiamo nella formula an = a1 + (n - 1) $ d e ricaviamo n. Si ha:

45 = 9 + (n - 1) $ 6 " 6n - 6 = 36 " n = 7.

L’insieme è formato da 7 termini: 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45.

Somma di due termini equidistanti dagli estremi

La distanza fra due termini ar e as di una successione è data dal valore assoluto della differenza degli indici: r- . Per esempio, as 4 dista 4- = da a6 2 6. Due termini sono equidistanti da un termine se hanno la stessa distanza da esso.

Scriviamo i primi sei termini di una progressione aritmetica di estremi 10 e 25 e ragione 3: 10, 13, 16, 19, 22, 25.

Diciamo che 13 e 22 sono equidistanti dagli estremi, perché il numero dei termini che precedono 13 è uguale al numero dei termini che seguono 22. Così pure sono equidistanti dagli estremi 16 e 19. Osserviamo che la somma di due termini equi‑

distanti dagli estremi è costante e uguale alla somma dei termini estremi:

10+25= ,35 13+22= ,35 16+19= .35 Vale il seguente teorema, che non dimostriamo.

TEOREMA

Considerati k termini consecutivi di una progressione aritmetica, la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante e uguale alla somma dei termini estremi.

Se consideriamo un numero k dispari di termini, il termine centrale, che è equidi‑

stante dagli estremi, va considerato raddoppiato. Per esempio, se prendiamo 1, 4, 7, 10, 13, abbiamo: 7+ = + .7 1 13

Somma di termini consecutivi di una progressione aritmetica

TEOREMA

La somma Sn dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale al prodotto di n per la semisomma dei due termini estremi a1 e an:

S n a a

n= $ 1+2 n.

DIMOSTRAZIONE

Scriviamo per esteso la somma dei primi n termini della progressione e poi la stessa somma con i termini scritti in ordine inverso:

Sn= a1+ a2+ a3+ … + an-2+ an-1+ an

Sn= an+ an-1+ an-2+ … + a3+ a2+ a1.

PROVA SUBITO

Calcola la ragione d della progressione aritmetica che ha come primo termine 1 e come settimo termine 25.

Animazione nell’ebook Esaminiamo la dimostra- zione del teorema e calco- liamo la somma dei primi 6 termini della progressione aritmetica di primo termine 2 e ragione 3.

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