4.1.1 Definizione del piano del cinematismo

Capitolo 4

Sistema a quadrilatero articolato

4.1 Dimensionamento del gruppo leverismi in 2D

4.1.1 Definizione del piano del cinematismo

Il sistema a bielle e leve calibrate descritto sommariamente nella Sezione 3.4 è un cinematismo piano, per cui è necessario definire l’orientazione del piano del movimento.

In prima approssimazione si può prendere come riferimento un piano perpendicolare alla direzione del bordo di attacco del Fowler. Con tale disposizione è possibile avere gli assi di cerniera delle bielle orientate in direzione parallela alla direzione del bordo di attacco, da un lato semplificando notevolmente la natura del meccanismo, ma dall’altro generando superfici ad incidenza rispetto al flusso asintotico e con conseguente disturbo del campo aerodinamico (vedi Figura 4.1)

Si definisce un piano (Piano di Design) mediante un punto e una direzione normale ad esso; il punto di definizione è il punto medio del bordo di attacco del Fowler e la direzione è quella del bordo di attacco stesso (Figura 4.1 Piano Rosso) Si creano poi altri due piani, entrambi paralleli a quello precedentemente definito, uno sito al root e uno al tip del fowler.

Tale posizionamento del piano di movimento ha la capacità di facilita notevolmente il cinematismo ma ha il problema di essere orientato a 4,3°rispetto alla direzione del flusso asintotico come riportato in Figura 4.1 in basso.

Il piano di Figura 4.1 indicato con il colore Rosso è il piano su cui si definiscono gli spostamenti del Fowler, mentre i due indicati in grigio saranno i piani in cui giaceranno i meccanismi del cinematismo.

La sezione di mezzeria del fowler è quella che verrà meglio approssimata, mentre tutte le altre sezioni avranno un errore crescente al crescere della distanza dal punto di design.

Prendendo come origine il punto di definizione del piano nella mezzeria del fowler si definisce un nuovo sistema di riferimento (0’X’Y’Z’) con le seguenti caratteristiche:

• O’: Origine sita nel punto mediano del bordo di attacco del fowler in posizione retratta.

• Asse X’: L’asse X’ è definito come l’intersezione tra il piano di design (Figura

4.2 in Rosso) e un piano contente l’asse X del sistema di riferimento principale e

contenente anche il punto di origine 0’ ((Figura 4.2 in Verde), e verso concorde

all’asse principale X.

Figura 4.1: Prima disposizione del piano del cinematismo

• Asse Z’: Giacente sulla direzione del bordo di attacco del fowler orientato con verso concorde alle Y del sistema principale.

• Asse Y’ maniera tale che al terna conservi la condizione di terna levogira.

Figura 4.2: Orientamento nello spazio del nuovo sistema di riferimento

Per trasformare un qualunque vettore R dal sistema di riferimento principale 0XY Z al sistema di riferimento del cinematismo 0 ⁰ X ⁰ Y ⁰ Z ⁰ si sfruttano gli angoli di Eulero usando le seguenti definizioni.

• R γ R _β R _α Matrici di Eulero della trasformazione definite in Equazione 4.2.

• α β γ Sono gli angoli di Eulero che permettono di trasformare il sistema 0XY Z in 0 ⁰ X ⁰ Y ⁰ Z ⁰ dove:

– α Angolo di precessione, è l’angolo tra l’asse x e la linea dei nodi, α = 4.299 ^◦ – β Angolo di nutazione, è l’angolo tra gli assi Z e Z’ β = 84.201 ^◦

– γ Angolo di rotazione propria, è l’angolo tra la linea dei nodi e l’asse X’

γ = −1.263 ^◦

• − →

D è il vettore distanza posizione dell’origine di 0 ⁰ X ⁰ Y ⁰ Z ⁰ rispetto a 0XY Z, definito come un vettore colonna le cui componenti sono riportate in 4.1.

−

→ D =











2704, 264

− 1286.269 387, 702

mm











(4.1)

R _γ =







cos γ sin γ 0

− sin γ cos γ 0

0 0 1





 R _β =







1 0 0

0 cos β sin β 0 − sin β cos β





 R _α =







cos α sin α 0

− sin α cos α 0

0 0 1







(4.2) Il cambiamento di base è quindi formalizzato nell’equazione 4.3.

−−−−−→

R ₀

_X

_Y

_Z

= R γ R _β R _α ( −−−−→

R _{0XY Z} − − →

D ) (4.3)

Definito il nuovo sistema di coordinate si può analizzare il cinematismo piano.

In un problema piano, l’orientamento di un corpo può essere definito mediante le coordinate di due punti appartenenti al corpo giacenti sul piano di riferimento e non sovrapposti.

Come punti di riferimento sono stati scelti le coordinate del bordo di attacco e del bordo di uscita alla mezzeria del fowler per ogni posizione assunta, tali posizioni sono riportate in Tabella 4.1 e indicate in Figura 4.3.

Posizione Punto X’ mm Y’ mm Z’ mm

1 Bordo di attacco 0° 0 0 0

Bordo di uscita 0° 304,746 3,0440 0 2 Bordo di attacco 20° 223,2600 6,6360 0 Bordo di uscita 20° 510,6600 -94,7920 0 3 Bordo di attacco 30° 223,2600 6,6360 0 Bordo di uscita 30° 488,6840 -143,1560 0

Tabella 4.1: Valori delle posizioni del fowler al bordo di attacco e di uscita per le diverse posizioni

nel sistema 0X’Y’Z’

Figura 4.3: Posizioni di riferimento del Flap

4.1.2 Modello matematico

Modello cinematico generale

Un sistema a quadrilatero articolato è formato come già detto da 3 bielle (Biella 1-2-3) di lunghezza (L1, L2 e L3), le quali in totale hanno 9 gradi di libertà; si hanno poi 2 gradi di vincolo per ogni cerniera e quindi in totale 8 gradi di vincolo per cui il sistema quindi rimane con un solo grado di libertà attivo (Figura 4.4).

Alla Biella 2 sono collegati solidalmente i punti BA e BU ( bordo di attacco e di uscita del fowler), il punto BA all’istante iniziale si trova nell’origine mentre BU si trova alle coordinate: BU = [304, 746mm 3, 0440mm]

Fissata la posizione della cerniera A, le lunghezze di ogni biella (L1 L2 L3), la posizione delle cerniera D e l’angolo di partenza α∗ il sistema è virtualmente bloccato ma le posizioni di biella 2 e 3 sono incerte, in quanto hanno comunque 2 possibili configurazioni (Figura 4.5 punti rossi); per ovviare a questa ambiguità si sceglierà sempre la soluzione in cui l’angolo che la biella 2 forma con l’orizzonte (β) è il minore dei due possibili.

Il sistema è quindi definito dai seguenti parametri (relazione 4.4)

X _A , Y _A , α ^∗ , L 1, L2, L3, X D , Y _D , β minimo (4.4) Definita la posizione delle cerniere A e D,la lunghezza di ogni biella (L1 L2 L3) e l’angolo di partenza α ^∗ , le coordinate della cerniera B (X B Y _B ) possono essere calcolate mediante la relazione 4.5. (Dove α ^∗ è il valore dell’angolo di partenza che rimane fissato mentre α è la variazione)

Figura 4.4: Quadrilatero generale







X _B = X A + L1 cos(α ^∗ + α)

Y _B = Y A + L1 sin(α ^∗ + α) (4.5)

Definita la posizione della cerniera B, per trovare la posizione della cerniera C

(X C Y _C ) è necessario trovare il punto di intersezione tra le due circonferenze che sono

in grado di descrivere la biella 2 (Equazione 4.6) e la biella 3 (Equazione 4.7) nella loro

rotazione, (Equazione 4.8).

Figura 4.5: Due possibili posizioni delle Bielle L2 e L3







X _C = X B + L2 cos(β)

Y _C = Y B + L2 sin(β) (4.6)







X _C = X D + L3 cos(γ)

Y _C = Y D + L3 sin(γ) (4.7)







X _A + L1 cos(α ^∗ + α) + L2 cos(β) − X D − L 3 cos(γ) = 0

Y _A + L1 sin(α ^∗ + α) + L2 sin(β) − Y D − L 3 sin(γ) = 0 (4.8) Come detto in precedenza il sistema ha due soluzioni di cui solo quella con β minore viene tenuta in considerazione.

Quindi il sistema di equazioni 4.8 definisce il sistema generale che è in grado di restituire i valori di β e γ al variare dell’angolo α.

Il sistema 4.8 è un sistema generale, e vale per ogni valore assunto dai parametri elencati in 4.4

che rispettino le condizioni vincolari e geometriche del problema (Ad esempio la biella 2 non può essere più lunga della somma della biella 1, biella 2 e la distanza tra A e D).

Condizione di passaggio

Dato il sistema 4.8 è necessario trovare un set di parametri geometrici definiti in 4.4 che al variare di α, trascinino il punto BA sulle coordinate del punto di arrivo del bordo di attacco in posizione 3 (BA30°) e, contemporaneamente, allo stesso valore di α , sposti punto BU dalla posizione di partenza alla sua posizione finale a 30° (BU30°).

Tali parametri poi devono sottostare a particolari condizioni al contorno, ad esempio le cerniere A e D devono cadere all’interno della centina dell’aereo la cerniera B non può avere una coordinata X maggiore della cerniera C, la biella 2 non può essere più lunga della somma della biella 1, biella 2 e della distanza tra A e D.

Lo spazio delle variabili comprende quindi 9 valori sottoposti a diversi vincoli;

la natura del sistema di equazioni che governa la cinematica rende impossibile la risoluzione per via esatta del sistema in quanto è costituita da equazioni trascendenti e si rende quindi necessario un approccio di natura numerica per ottenere una soluzione di tipo approssimato.

Si procederà quindi ad una soluzione per via numerica, verrà creato un modello parametrizzato del cinematismo all’interno dell’ambiente Simmechanic di simulink, i parametri del modello saranno ottimizzati mediante un algoritmo genetico.

Per ogni set di bielle si definisce un parametro errore,esso è la minima distanza

tra il punto del bordo di attacco desiderato e il passaggio più prossimo del fowler,

sommato alla distanza minima tra il punto del bordo di uscita desiderato e il passaggio più prossimo effettuato dal fowler come specificato al paragrafo 4.3

L’obbiettivo della soluzione numerica è quindi quello di trovare un set di bielle tali che venga minimizzato l’errore tra la posizione a 20° e il passaggio più ravvicinato effettuato da fowler rispetto a tale posizione e la posizione a 30°e il passaggio più ravvicinato effettuato da fowler rispetto a tale posizione.

Come punti di riferimento vengono presi BA (BU) e ne viene calcolata la distanza minima rispetto BA20 (BU20) e anche BA30 (BU30) in un arco di escursione di α di 180°.

Per una trattazione più dettagliata di come si è creata la funzione obbiettivo della soluzione numerica si rimanda alla Sezione 4.3.

Per una alcune note di carattere introduttivo agli algoritmi genetici si rimanda alla Appendice A mentre per alcune note di carattere introduttivo sul Tool Simmechanic si rimanda alla Appendice B.

4.2 Definizione del modello SimMechanics

Il modello generale è riportato in Figura 4.4 è essere tradotto nel modello Sim- Mechanic riportato in Figura 4.6 nella quale è evidenziato in colore Blu la catena cinematica del meccanismo e in Rosso i sensori e gli attuatori.

Il fowler flap è solidale con la Biella 2 ed è rappresentato mediante le posizioni del bordo di attacco (BA) e bordo di uscita (BU), espressi rispettivamente dalle porte CS3 CS4 dello stesso corpo

Figura 4.6: Modello di SimMechanics del cinematismo generale

Il modello generale è definito dai parametri seguenti:

• Posizione della cerniera A (Vettore di 2 elementi)

• Angolo α∗ di partenza (Scalare)

• Lunghezza delle biella L1 (Scalare)

• Lunghezza delle biella L2 (Scalare)

• Lunghezza delle biella L3 (Scalare)

• Posizione della cerniera D (Vettore di 2 elementi)

• Condizione sul minimo di β per un totale di nove condizioni.

Per il modello SimMechanics invece si è stabilito di usare la posizione delle 4 cerniere come parametri di problema e quindi si passa alle seguenti condizioni:

• Posizione della cerniera A (Vettore di 2 elementi)

• Posizione della cerniera B (Vettore di 2 elementi)

• Posizione della cerniera C (Vettore di 2 elementi)

• Posizione della cerniera D (Vettore di 2 elementi) Per un totale di otto condizioni.

Il problema, così definito, è di più facile impostazione e riduce sensibilmente le risorse di calcolo necessarie all’ottimizzazione.

Come già detto in precedenza, la cerniera di comando del cinematismo sarà la cerniera A; come si vede anche in Figura 4.6, essa è collegata ad un “Joint Actuator”

che permette di mettere in movimento, a velocità costante, tutto il cinematismo.

Le posizioni delle 4 cerniere non sono memorizzate all’interno del modello Simme- chanic, ma vengono lette dal workspace della ottimizzazione, i valori delle coordinate vengono creati dall’ottimizzatore genetico, passati alla funzione intermedia la quale poi le passa al modello simulink; tale algoritmo di ottimizzazione verrà spiegato più dettagliatamente nella Sezione 4.4.

4.3 Funzione obbiettivo e ottimizzazione genetica;

optimtool

Matlab offre un tool di ottimizzazione che permette di utilizzare gli algoritmi genetici come metodo di ricerca dell’ottimo. esso infatti ha come scopo la ricerca del minimo di una funzione.

All’istante 0 della simulazione il Fowler è in posizione 1 (0°) successivamente viene messo in moto grazie al cinematismo piano, le traiettorie percorse dal bordo di attacco e dal bordo di uscita del fowler sono rilevate attraverso i Body sensor piazzati sulle porte CS3 e CS4 del body BIELLA L2 (Figura 4.7) i dati vengono poi registrati ad intervalli regolari in una matrice chiamata realout indicizzata con il tempo di simulazione nella quale viene registrato anche il valore dell’angolo che ha la cerniera di comando in ogni istante, in modo da avere la posizione del fowler in funzione sia del tempo sia dell’angolo della barra di torsione.

Per calcolare le distanze istante per istante delle posizioni del fowler si è preso come

riferimento i valori delle posizioni del fowler in posizione 2 e posizione 3 rappresentati

dalle rispettive posizioni del bordo di attacco e del bordo di uscita.

Figura 4.7: Parametri in uscita dal modello SimMechanic

Conoscendo la traiettoria che del fowler durante il moto (attraverso la matrice realout) è possibile stabilire la bontà di essa rispetto a quella ottima.

Si definiscono quindi le seguenti variabili:

• BA matrice estratta dalle due colonne della matrice realout in cui vi sono registrate le posizioni del bordo di attacco.

• −−−−−→

BA (i, :) vettore riga estratto dalla i-esima riga della matrice BA

• BU matrice estratta dalle due colonne della matrice realout in cui vi sono registrate le posizioni del bordo di uscita.

• −−−−−→

BU (i, :) vettore riga estratto dalla i-esima riga della matrice BU

• −−−→

BA ₂₀ posizione del bordo di attacco desiderato per la posizione 2 (20°)

• −−−→

BU ₂₀ posizione del bordo di uscita desiderato per la posizione 2 (20°)

• −−−→

BA ₃₀ posizione del bordo di attacco desiderato per la posizione 3 (30°)

• −−−→

BU ₃₀ posizione del bordo di uscita desiderato per la posizione 3 (30°) Vengono definiti 4 vettori i cui elementi rappresentano rispettivamente:

• D 20BA Distanza del Bordo di attacco del fowler in ogni istante rispetto alla posizione −−−→

BA ₂₀ , Relazione 4.9

• D −−−→ 20BU Distanza del Bordo di uscita del fowler in ogni istante rispetto alla posizione BU ₂₀ , Relazione 4.10

• D 30BA Distanza del Bordo di attacco del fowler in ogni istante rispetto alla posizione −−−→

BA ₃₀ , Relazione 4.11

• D 30BU Distanza del Bordo di attacco del fowler in ogni istante rispetto alla posizione −−−→

BU ₃₀ , Relazione 4.12

D _20BA (i) = | −−−−−→

BA (i, :) − −−−→

BA ₂₀ | ∀i (4.9)

D _20BU (i) = | −−−−−→

BU (i, :) − −−−→

BU ₂₀ | ∀i (4.10)

Stesso ragionamento può essere fatto per la posizione 3 (30°).

Per il bordo di attacco

D _30BA (i) = | −−−−−→

BA (i, :) − −−−→

BA ₃₀ | ∀i (4.11)

D _30BU (i) = | −−−−−→

BU (i, :) − −−−→

BU ₃₀ | ∀i (4.12)

Attraverso la relazione 4.13 si ottiene la somma delle rispettive distanze tra il bordo di attacco desiderato e il bordo di attacco ottenuto e lo stesso vale per il bordo di uscita, sia per la posizione 2 che per la posizione 3.

E ₂₀ (i) = |D 20BA (i) + D 20BU (i)| ∀i (4.13) In modo analogo per la posizione a 30°risulta (Equazione 4.14)

E ₃₀ (i) = |D 30BA (i) + D 30BU (i)| ∀i (4.14) Le componenti dei due vettori E 20 e E 30 sono indici dell’errore sulla distanza tra la condizione desiderata e quella ottenuta; in particolare, il minimo valore del vettore rappresenta il punto in cui il fowler è passato vicino alla posizione desiderata.

Sommando i minimi dei due vettori si ottiene un errore somma che rappresenta quanto la data configurazione delle bielle è lontana dalla condizione di ottimo.

E _conf = min(E 20 ) + min(E 30 ) (4.15) Il parametro scalare E conf costituisce la “funzione obbiettivo” almeno a livello preli- minare, esso è un parametro scalare rappresentativo dell’intera configurazione di bielle, la sua minimizzazione può essere presa come funzione obbiettivo per l’ottimizzazione.

La funzione obbiettivo sarà quindi così definita:

min E conf = min(E 20 ) + min(E 30 ) (4.16) Con la definizione 4.16 si attribuirebbe la medesima importanza alla posizione 2 e alla posizione 3; invece, dal punto di vista aerodinamico, è opportuno che la posizione 3, relativa alla condizione di atterraggio, sia riprodotta con la massima accuratezza, mentre un errore è tollerabile posizione 2 (decollo). Questi vincoli si traducono nella introduzione di due pesi W 20 e W 30 con i quali la 4.16 diventa 4.17

min E conf −corr = W 20 min(E 20 ) + W 30 min(E 30 ) (4.17) In una prima fase si pone W 20 = 1 e W 30 = 3

Gli script per il calcolo del valore della funzione obbiettivo sono riportati nelle Appendici C e D.

4.4 Interazione dell’optimtool genetico con simu- link

Facendo riferimento allo schema di Figura 4.8 si osserva che il ciclo di ottimizzazione

parte dall’ottimizzatore genetico Optimtool e segue il seguente schema:

1. L’ottimizzatore estrae dalla prima popolazione un cromosoma, il quale rappresenta le coordinate delle posizioni delle 4 cerniere elencate in un unico vettore ordinato (XA YA XB YB XC YC XD ZD), e lo passa alla funzione obbiettivo

2. La funzione obbiettivo trasforma il cromosoma nei 4 vettori di coordinate delle rispettive cerniere A B C D e li passa al modello SimMechanic creando così l’individuo.

3. Il modello SimMechanics simula l’individuo e restituisce in uscita le traiettorie indicizzate con il tempo del Bordo di attacco e del bordo di uscita del Fowler attraverso la matrice realout e lo passa alla funzione obbiettivo.

4. La funzione obbiettivo calcola il voto in base alle traiettorie seguite e lo passa all’ottimizzatore genetico, il quale lo assegna al cromosoma analizzato per poi selezionarlo in un secondo momento per la creazione della successiva popolazione.

5. Si ritorna al punto 1

Figura 4.8: Ciclo di ottimizzazione del cinematismo

4.5 Inizializzazione della simulazione e limiti alle posizioni delle cerniere

Scalando opportunamente la Figura 3.8 e portando le corde dei due fowler a coincidere si ottiene un sistema che approssima il cinematismo desiderato (Figura 4.9).

Le coordinate delle cerniere A B C D sono riportate in Tabella 4.2

Come obbiettivo per la ottimizzazione è stata considerata la sezione di mezzeria, in quanto maggiormente importante dal punto di vista aerodinamico.

Per limitare la capacità di posizionamento di ogni singola cerniera vengono creati dei vincoli oltre i quali ogni singola cerniera non può essere posizionata da parte dell’ottimizzatore genetico.

Ciò serve ad evitare che si possano generare individui che non rispettino la dispo-

sizione standard delle cerniere (ad esempio, potrebbero disporsi ad N, oppure che il

cinematismo vada ad interferire con il longherone).

Posizioni iniziali delle Cerniere [mm]

Cerniera X Y

A -36,676 12,684

B -100,276 -59,856

C 97,308 -41,217

D 181,537 27,417

Tabella 4.2: Posizione di prima approssimazione delle cerniere

Figura 4.9: Sistema di partenza

Sono stati creati 2 domini a forma di trapezio (indicati con i numeri 1234 e 5678 in Figura 4.11) che costituiscono i limiti di movimento massimo delle cerniere A (nel caso del trapezio 1234) e D (nel caso del trapezio 5678).

Tali domini ricalcano, le dimensioni massime che si hanno alla centina al TIP, la più piccola e quindi la più vincolante sulle posizioni della barra di torsione.

Le dimensioni sono riportate in Figura 4.10, la unica quota non riportata è la distanza della linea 13 che risulta essere parallela all’asse Y locale e distante -51.977mm.

Le rette che giacciono sui lati 12 e 34 del trapezio 1234 si incontrano nel punto di coordinate I1 = (324, 352 7, 974) mentre le rette che giacciono sui lati 56 e 78 del trapezio 5678 si incontrano nel punto di coordinate I2 = (311, 967 3, 462).

Tali punti sono necessari per mappare correttamente l’interno del trapezio, è infatti possibile per ogni trapezio definire 2 rette la cui intersezione identifica univocamente un punto interno alla superficie del trapezio stesso.

I parametri che identificano tali linee sono definiti nella seguente maniera:

• dis 1 : distanza del punto desiderato dal lato 13 del trapezio 1234.

• m 1 : coefficiente angolare della retta passante per il punto I2 e per il punto desiderato del trapezio 1234.

• dis 2 : distanza del punto desiderato dal lato 13 del trapezio 5678.

• m 2 : coefficiente angolare della retta passante per il punto I2 e per il punto

desiderato del trapezio 5678.

I limiti di escursione dei quattro parametri sono riportati nelle relazioni sottostanti:

− 51, 977 < dis 1 < 48, 023 (4.18)

− 0, 1212 < m 1 < 0, 0538 (4.19) 78, 023 < dis 2 < 228, 023 (4.20)

− 0, 2056 < m 2 < 0, 0386 (4.21) Sono stati creati poi dei confini molto più ampi intorno alle cerniere B e C; in questo caso si tratta di un quadrato di lato 170mm posizionato simmetricamente orizzontale rispetto alla cerniera e ha il lato alto distante 40mm dalla cerniera mentre il lato basso è distante 130mm. La disposizione dei domini di vincolo della posizione delle cerniere è riportata in Figura 4.11.

Figura 4.10: Dimensioni domini del sistema di partenza

Figura 4.11: Dominio del sistema di partenza

4.6 Primo risultato del cinematismo piano

L’ottimizzazione ha raggiunto la convergenza dopo 53 generazioni.

L’individuo finale, che meglio minimizza la funzione obbiettivo ha un voto pari a:

E _{conf −corr} = 18, 7640mm (4.22)

ricordando però quanto scritto nella sezione 4.3, E conf −corr è la somma degli errori di ogni singola posizione moltiplicati per il loro peso di importanza di ogni singola posizione.

E _{conf −corr} = W 20 min(E 20 ) + W 30 min(E 30 ) (4.17) L’errore reale, togliendo l’influenza dei pesi di correzione è pari a:

E _conf = 18, 6863mm (4.23)

I singoli errori di ogni posizione sono:

E ₂₀ = 18.6475mm E ₃₀ = 0, 0388mm (4.24)

Come si può vedere E 30 è molto piccolo (3 centesimi di millimetro) mentre E 20 si attesta sui 18mm, questo dimostra che l’ottimizzatore ha dato precedenza alla posizione 3 rispetto alla posizione 2.

Il risultato finale è riportato in Figura 4.12 e le coordinate delle quattro cerniere sono riportate in Tabella 4.3.

Figura 4.12: Risultati prima ottimizzazione

L’atto di moto del fowler è riportato in Figura 4.13. Dove il significato dei colori è riportato nel seguente elenco puntato:

• ROSSO: Percorso compiuto dal bordo di attacco del Fowler,

• BLU: Percorso compiuto dal bordo di uscita

• CIANO: Posizione che approssima nella maniera migliore la posizione 3

• MAGENTA: Posizione che approssima nella maniera migliore la posizione 2

• VERDE: Posizione iniziale dei leveraggi

Figura 4.13: Risultati della prima ottimizzazione Risultati simulazione

Posizioni delle cerniere (Sistema 0’X’Y’Z’)[mm]

Cerniera X Y

A -30,052 15,014

B -109,066 -77,7214

C 83,994 -120,8799

D 176,3880 1,1480

Posizione 20°

Errore generale 18,6574mm Distanza bordo di attacco desiderato-ottenuto 8,7299mm

Errore angolare 0,9867°

Posizione 30°

Errore generale 0,0388mm Distanza bordo di attacco desiderato-ottenuto 0,0217mm Errore angolare 0,0043°

Angoli della barra di torsione rispetto alla posizione di partenza Posizione 20° 112,06°

Posizione 30° 120,46°

Tabella 4.3: Prima ottimizzazione della posizione delle cerniere

4.6.1 Analisi del moto del corpo

Parametro fondamentale del moto è la posizione del centro delle velocità del Fowler.

Il cinematismo piano qui determinato ha il centro delle velocità sulla intersezione tra la linea solidale alla leva AB passante per i punti A e B e la linea solidale alla leva CD passante per i punti C e D. All’istante 0 il centro delle velocità si trova al di sopra del cinematismo, in posizione CV (0) 0

X

Y

Z

= [1918 2301, 3 0] La differenza angolare tra la la biella 2 e la biella 1 è di -3,2823°.

L’angolo tra le due bielle durante l’atto di moto aumenta (Figura 4.14), e, di conseguenza, il centro delle velocità continua ad allontanarsi salendo in direzione della linea rossa del grafico di Figura 4.15 Fase 1.

Nel momento in cui l’angolo si annulla le due bielle sono parallele e quindi non è definibile una intersezione tra le rette; il centro delle velocità si trova all’infinito nella direzione parallela alle bielle nel I quadrante del sistema di riferimento. Il parallelismo tra le due bielle si ha quando la biella 1 ha ruotato di 15,46°.

All’istante immediatamente successivo all’allineamento delle bielle, l’angolo tra le due diventa positivo ma comunque tendente a zero; in questo caso il centro delle velocità si sposterà istantaneamente dall’infinito positivo in alto all’infinito negativo in basso in direzione della linea blu del grafico di Figura 4.15 Fase 2.

Dall’infinito in basso il centro delle velocità risale molto rapidamente; quando la barra di torsione ha compiuto un arco di cerchio di circa 30°il centro delle velocità si trova a circa 4 metri in basso rispetto all’origine del sistema di riferimento.

Superata la posizione a 30°il centro delle velocità accelera ulteriormente e la sua vicinanza al flap fa cambiare il moto, da uno quasi traslatorio puro ad uno la cui componente rotazionale è preponderante.

La corsa del centro di velocità si conclude in prossimità del bordo di attacco del Fowler in posizione estesa. Come si può vedere dal riquadro in basso di Figura 4.17

Andando ad analizzare la Figura 4.16 si può vedere come varia l’angolo di attacco del

Fowler rispetto a quello dell’aereo, da questo grafico di evince un difetto del cinematismo

in quanto per la prima parte dell’estrazione il fowler diminuisce il proprio angolo di

attacco puntando il profilo verso il basso di 0,5°. Questa è una delle conseguenze dirette

della non controllabilità del percorso fatto dal fowler.

Figura 4.14: Differenza angolare tra Leva 2 e Leva 1

Figura 4.15: Visione dello spostamento del centro delle velocità a distanza infinita

Figura 4.16: Angolo di attacco del Fowler in funzione della rotazione della cerniera di comando

Figura 4.17: Dettagli dello spostamento del centro delle velocità con indicati i gradi di rotazione

della barra di torsione

4.7 Disegno concettuale della prima soluzione

Come già si è visto nella Sezione 4.1.1in Figura 4.2, per passare dalla soluzione di matlab alla soluzione reale è bisogna realizzare 2 gruppi di cinematismi identici su due piani paralleli, in modo da poter sostenere sia alla radice, sia al tip i carichi a cui è sottoposto il Fowler Flap. La prima soluzione ha come risultato un disegno concettuale riportato nelle Figure 4.18, 4.19 e 4.20.

Figura 4.18: Disegno concettuale delle prima soluzione retratto

Figura 4.19: Disegno concettuale delle prima soluzione estratto a 20°

Figura 4.20: Disegno concettuale delle prima soluzione estratto a 30°

La barra di torsione, riportata in colore verde in Figura 4.18 (disegnata in particolare Figura 4.21), ha saldate le 2 bielle gemelle AB ed è sostenuta sulla centina 2 e 3.

Il fowler flap ha alle sue estremità due superfici, denominate fazzoletti, le quali rappresentano il piano mobile solidale alla biella BC, (Figura 4.23)

Facendo riferimento alla Figura 4.23 si può vedere che la Biella AB si accoppierà

con la biella BC mediante la sede per la cerniera B sita sul fazzoletto e sulla barra di

Figura 4.21: Disegno concettuale della barra di torsione

Figura 4.22: Struttura interna dell’ala con evidenziate le sedi delle cerniere

Figura 4.23: Flap con i fazzoletti

torsione. La biella CD invece si accoppierà alla biella BC mediante la sede per cerniera C sita sul fazzoletto e sulla biella CD

Infine la Biella CD si accoppierà alla centina 2 o 3 mediante il foro D, foro, in questo caso non vi è una barra di torsione che unisce le due bielle CD in quanto sono bielle condotte e vengono messe in moto dalla spinta della barra di torsione.

4.7.1 Analisi del Gap

Il sistema qui riportato garantisce che sia la mezzeria del fowler ad intercettare

con elevata precisione la posizione desiderata; per tutte le altre sezioni accumulerà un

errore che è tanto maggiore quanto è la distanza dalla posizione di mezzeria.

Come illustrato nel grafico 4.24 il gap alla radice del fowler ha un errore di 4, 53mm in negativo (ovvero il Gap è più stretto di quanto dovrebbe essere), mentre all’altra estremità il gap ha un errore di circa 4, 19mm in positivo, ovvero che il gap è più aperto di quanto dovrebbe essere. L’errore va però adimensionalizzato con la corda dell’ala con il flap retratto.

Infatti le ottimizzazioni svolte per dimensionare il Flap hanno determinato che il Gap perfetto si ha quando esso è pari al 1, 5% della lunghezza della corda dell’ala non flappata; i risultati riportati in Figura 4.24 mostrano l’andamento del gap desiderato e quello ottenuto adimensionalizzato con la corda dell’ala sezione per sezione.

Come si può vedere l’errore ottenuto è di 0, 5% alla radice e del 0, 3% al Tip, questo porta ad una perdita di capacità di massimo Cl da parte del profilo e di conseguenza una perdita di CL generalizzato da parte di tutta l’ala.

Analizzando il grafico di Figura 4.25, si ottiene un Cl massimo di 2,83 quando il bordo di attacco del fowler è distante dal Bordo di uscita dell’ala ad una distanza verticale pari all’1,5% della corda dell’ala col flap retratto;

Al Root come si è visto il Gap è più stretto di quanto dovrebbe essere, infatti esso è 1,0% della corda dell’ala non flappata mentre al tip e pari al 1,8% dell’ala non flappata, questi due errori portano ad una perdita di circa 1,1% del Cl al tip e al root del Fowler, questo grazie al fatto che gli spostamenti sono limitati ad una zona con basso gradiente di variazione del Cl massimo. Spostamenti maggiori verso l’alto avrebbero portato il bordo di attacco in zone con maggiore gradiente e di conseguenza di maggiori perdite di Cl

La perdita di Cl sembrerebbe quindi accettabile se paragonata con la facilità di utilizzo e realizzazione del sistema e prescindendo dalla storia delle posizioni intermedie fra posizione 1, 2 e 3.

Figura 4.24: Confronto dell’andamento tra il gap desiderato e il gap ottenuto dal cinematismo

analizzato

Figura 4.25: Grafico dell’andamento del CL a seconda della posizione del bordo di attacco del

Fowler