VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – 16 dicembre 2017 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro le 10:50
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1 Risolvere la seguente disequazione:
2 x
2−2 x+ 1 8−8 x2<1
8
2 Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣x−3∣−3∣x+1∣=3 x−3
3 Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
3−x−∣x∣
x+4+∣x−1∣<0 4 Considerare la disequazione
(k−x)(3 k +x )≥0
e determinare i valori del parametro k per i quali la disequazione ha anche soluzioni il cui valore assoluto sia minore di 1.
5 I pesi dei neonati nel reparto di ostetricia nella settimana dal 3 al 9 giugno sono stati i seguenti (le misure sono in grammi):
2760 – 3450 – 3500 – 4230 – 2860 – 2560 – 4120 – 3540 – 5020 – 3570 – 3760 – 3750 4100 – 2300 – 1780 – 2570 – 2580 – 3600 – 2100 – 2200 – 4860 – 2470 – 1850 – 3000 2750 – 2400 – 1670 – 4735 – 3560 – 4320 – 3460 – 3210 – 3555 – 2940 – 3050 - 2010 Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative dei pesi, considerando classi di frequenza di ampiezza 400 g. Successivamente determina moda, mediana e media aritmetica.
VALUTAZIONE
Argomenti: compendio di tutti gli argomenti affrontati da settembre ad oggi.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.
È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.
Non sono consentite collaborazioni tra compagni.
Non sono consentiti scambi di materiali tra compagno, ognuno può utilizzare esclusivamente il proprio materiale, dall'inizio alla fine della prova.
Non è consentito uscire dall'aula durante la prima ora.
Il docente risponderà soltanto a domande sulla comprensione delle richieste e non confermerà o correggerà in alcun modo le risposte.
(12)
1 Risolvere la seguente disequazione: 2 x
2−2 x+ 1 8−8 x2<1
8
Condizione di esistenza: x≠1∧x≠−1
La prima frazione può essere semplificata: x
1−x+ 1
8(1−x2)<1 8 Raccogliamo il primo membro in un'unica frazione: 8 x (1+x)+1
8(1−x2) <1 8 Facciamo un po' di ordine al numeratore:
8 x2+8 x+1 8(1−x2) <1
8
Trasportiamo il termine noto al primo membro e di nuovo raccogliamo in un'unica frazione:
8 x2+8 x+1−(1−x2) 8 (1−x2) <0 Di nuovo facciamo ordine: 9 x2+8 x
8(1−x2)<0
Al numeratore possiamo raccogliere la x, al denominatore possiamo fattorizzare :
x (9 x +8) 8(1−x )(1+x )<0 A questo punto siamo in grado di studiare il segno della frazione.
x<−1 x=−1 −1<x<−8
9 x=−8
9 −8
9<x<0 x=0 0<x<1 x=1 x>1
x - - - 0 + + +
9 x+ 8 - - - 0 + + + + +
1 - x + + + + + + + 0 -
1 + x - 0 + + + + + + +
frazione - n.d. + 0 - 0 + n.d. -
Grazie alla tabella, possiamo studiare agevolmente il segno e concludere che la disequazione è soddisfatta nei casi x<−1∨−8
9<x<0∨x>1
Nota bene: nelle varie versioni assegnate nel compito in classe, non sempre era agevole studiare il segno del denominatore della frazione, ed ho notato una certa difficoltà da parte di tutti gli alunni.
Per questo motivo sono state valutate con punteggio pieno anche risposte non del tutto complete, ma comunque prive di errori.
2 Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣x−3∣−3∣x+1∣=3 x−3
L'argomento del primo valore assoluto si annulla per x=3 . L'argomento del secondo valore assoluto si annulla per x=−1 . Dunque abbiamo tre casi da esaminare: x<−1∨−1≤x<3∨x≥3 . Caso 1: x<−1
L'equazione diventa:
−x+3+3(x+1)=3 x−3 ovvero
−x+3+3 x+3=3 x−3 ovvero x=9
che è non è accettabile.
Caso 2: −1≤x<3 L'equazione diventa:
−x+3−3(x+1)=3 x−3 ovvero −x+3−3 x−3=3 x−3
ovvero −7 x=−3 ovvero x=3
7 che è accettabile.
Caso 3: x≥3 L'equazione diventa
x−3−3( x+1)=3 x−3 ovvero x−3−3 x−3=3 x−3
ovvero −5 x=3 ovvero x=−3
5 che non è accettabile
Ricapitolando, abbiamo trovato una soluzione: x=3 7
3 Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
3−x−∣x∣
x+4+∣x−1∣<0
Condizioni di esistenza: x+4+∣x−1∣≠0
Nel caso x<1 diventa x+4+1−x≠0 ovvero 5≠0 sempre verificata.
Nel caso x≥1 diventa x+4+ x−1≠0 ovvero 2 x≠−3 ovvero x≠−3
2 che è sempre verificato visto che siamo nel caso x≥1 .
Dunque la frazione è definita per qualunque valore di x.
Distinzione in casi.
L'argomento del primo valore assoluto è ovviamente nullo con x=0 . L'argomento del secondo valore assoluto è nullo con x=1 .
Dunque dobbiamo esaminare tre casi: x<0∨0≤x<1∨x≥1 . Caso 1: x<0 .
La disequazione diventa 3−x+ x
x+4−x+1<0 ovvero 3
5<0 che è falsa qualunque sia x.
Caso 2: 0≤x<1 .
La disequazione diventa 3−x−x
x+4−x+1<0 ovvero 3−2 x
5 <0 ovvero 3<2 x ovvero 3 2<x . Tali valori di x sono però fuori dall'intervallo di valori che stiamo prendendo in considerazione per questo caso. Non sono valori accettabili.
Caso 3: x≥1
La disequazione diventa: 3−x+ x
x+4+x−1<0 ovvero 3−2 x
2 x+3<0 . Ricordiamoci che siamo nel caso x≥1 quindi il denominatore è sicuramente positivo. Dunque la disequazione da risolvere è semplicemente 3−2 x<0 ovvero 3<2 x ovvero 3
2<x che possiamo accettare in blocco.
Conclusioni:
Le soluzioni richieste sono le x>3 2
4 Considerare la disequazione
(k−x)(3 k +x )≥0
e determinare i valori del parametro k per i quali la disequazione ha anche soluzioni il cui valore assoluto sia minore di 1.
Questo tipo di disequazioni riusciamo a risolverlo andando a studiare il segno dei singoli fattori. In questo caso, si nota facilmente che il prodotto si annulla per x=k oppure per x=−3 k . Il segno del prodotto varia a seconda che il valore della x stia all'interno o all'esterno dell'intervallo determinato da k e -3 k.
Con k =0 la disequazione diventa semplicemente −x2≥0 che si verifica soltanto con x=0 . Con k >0 ci possiamo aiutare con una tabella.
x<−3 k x=−3 k −3 k <x<k x=k x>k
k −x + + + 0 -
3 k +x - 0 + + +
prodotto - 0 + 0 -
In questo caso abbiamo come soluzioni le x tali che −3 k≤x≤k Con k <0 ci possiamo aiutare con una tabella.
x<k x=k k < x<−3 k x=−3 k x>−3 k
k −x + 0 - - -
3 k +x - - - 0 +
prodotto - 0 + 0 -
In questo caso abbiamo come soluzioni le x tali che k ≤x≤−3 k
Ci viene chiesto di fare in modo che le soluzioni siano (anche) tali che ∣x∣<1 . Per essere precisi con ∣k∣<1
3 le soluzioni sono esclusivamente tali che ∣x∣<1 .
Qualunque k andiamo a scegliere esisteranno anche delle soluzioni tali che ∣x∣<1 , visto che in ogni caso si tratta di un intervallo che comprende lo 0.
5 I pesi dei neonati nel reparto di ostetricia nella settimana dal 3 al 9 giugno sono stati i seguenti (le misure sono in grammi):
2760 – 3450 – 3500 – 4230 – 2860 – 2560 – 4120 – 3540 – 5020 – 3570 – 3760 – 3750 4100 – 2300 – 1780 – 2570 – 2580 – 3600 – 2100 – 2200 – 4860 – 2470 – 1850 – 3000 2750 – 2400 – 1670 – 4735 – 3560 – 4320 – 3460 – 3210 – 3555 – 2940 – 3050 - 2010
Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative dei pesi, considerando classi di frequenza di ampiezza 400 g. Successivamente determina moda, mediana e media aritmetica.
Si comincia semplicemente riordinando i dati, inserendoli in un foglio elettronico si farebbe molto presto, ma questo è il classico compito in classe e quindi dobbiamo armarci di pazienza. A colpo d'occhio il peso più basso sembra essere 1670 e quello più alto 4860.
Dunque stabiliamo le classi di frequenza:
1600-1999 1780 – 1850 – 1670
2000-2399 2300 – 2100 – 2200 - 2010
2400-2799 2760 - 2560 – 2570 – 2580 – 2470 – 2750 – 2400
2800-3199 2860 – 3000– 2940 – 3050
3200-3599 3450 – 3500 – 3540 – 3570 – 3560 – 3460 – 3210 – 3555
3600-3999 3760 – 3750– 3600
4000-4399 4230 – 4120 –4100 –4320
4400-4799 4735
4800-5199 5020 – 4860
Completiamo la tabella con le frequenze assolute e relative.
1600-1999 3 8%
2000-2399 4 11%
2400-2799 7 19%
2800-3199 4 11%
3200-3599 8 23%
3600-3999 3 8%
4000-4399 4 11%
4400-4799 1 3%
4800-5199 2 6%
totale 36 100%
Per quanto riguarda la moda, la mediana e la media aritmetica ci sono due approcci possibili, nessuno dei quali potremmo considerare più corretto dell'altro.
Essendo i dati da considerare “soltanto” 36, potremmo stabilire moda, mediana e media aritmetica facendo riferimento ai 36 dati reali.
Tutti e 36 dati insieme costituiscono la moda, visto che sono tutti diversi.
Se li mettiamo in ordine i due dati centrali sono 3050 e 3210, dunque la mediana è la media aritmetica di questi due dati, ovvero 3130.
Infine, per calcolare la media aritmetica devo sommare tra loro tutti e 36 i dati e dividere per 36. Il risultato è circa 3171,94
Già con “soltanto” 36 dati, il calcolo della media aritmetica è stato molto scomodo, e la moda comunque di nessun interesse. Un altro approccio possibile (utile quando i dati sono centinaia, migliaia e anche più) è quello di considerare come rappresentante di ogni fascia il valore centrale (la media aritmetica degli estremi).
1800 3
2200 4
2600 7
3000 4
3400 8
3800 3
4200 4
4600 1
5000 2
totale 36
In questo approccio potremmo indicare come moda il valore 3400, che ha la frequenza più alta.
La mediana sarà ancora la media aritmetica tra il 18^ e il 19^ valore, ovvero tra 3000 e 3400, e cioè 3200.
Infine, per calcolare la media aritmetica di tutti i valori, calcoleremo una media tra i valori indicati,
“pesati” con la loro frequenza.
1800×3+2200×4+2600×7+3000×4+3400×8+3800×3+ 4200×4+4600×1+5000×2
36 ≈3177,78
I valori della media aritmetica sono abbastanza vicini, nei due diversi approcci.
