g ◦ f,f ◦ g,f ◦ f,f ◦ g ◦ f. 2.Datelefunzioni f ( x )= x +1 ,g ( x )= e ,scriverel’espressioneesplicitadelleseguentifunzionicomposte: z +2 z +2=0 . 1.Risolvereincampocomplessol’equazione ESERCIZIO1.(5punti) A EsamediANALISIMATEMATICA-27Gennaio2004 COGNOME

(1)

COGNOME ... NOME ... Matricola ... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 27 Gennaio 2004

A

ESERCIZIO 1. (5 punti)

1. Risolvere in campo complesso l’equazione

z⁴+ 2z²+ 2 = 0.

2. Date le funzioni f (x) = x²+ 1, g(x) = e^−x, scrivere l’espressione esplicita delle seguenti funzioni composte:

g ◦ f, f ◦ g, f ◦ f, f ◦ g ◦ f.

(2)

1. Studiare la convergenza della serieP∞ n=1

1 2+_n¹n

.

2. Studiare la convergenza della serieP∞

n=1(−1)ⁿ ¹₂+_n¹ⁿ .

3. Determinare il raggio di convergenza R della serie di potenzeP∞ n=1

1 2+¹_nⁿ

xⁿe studiarne la convergenza per x = ±R.

n=3(−1)^{n log n}_n .

(3)

ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione

f (x) = (−x³+ 4x²− 4x)e^x

1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti.

2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi e assoluti.

(4)

3. Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di convessit`a e gli eventuali punti di flesso.

4. Tracciare un grafico qualitativo di f e determinare l’insieme immagine di f .

(5)

1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al quarto ordine (con resto di Peano) della funzione f (x) = cos(2x)e^−2x.

2. Calcolare il limite

lim

x→0

cos(2x)e^−2x− 1 + 2x x sin(x²) .

(6)

ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l’integrale indefinito

Z x√ x x − 5dx.

2. Calcolare l’integrale definito

Z 3 0

log(9 + x²)dx.

(7)

1. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale y⁰⁰− 4y⁰+ 13y = 0.

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰− 4y⁰+ 13y = x e^x.

(8)

B

z⁴− 2z²+ 2 = 0.

2. Date le funzioni f (x) = x⁴+ 1, g(x) = e^−x, scrivere l’espressione esplicita delle seguenti funzioni composte:

g ◦ f, f ◦ g, f ◦ f, f ◦ g ◦ f.

(9)

1 3+_n¹n

.

n=1(−1)ⁿ ¹₃+_n¹ⁿ .

1 3+¹_nⁿ

n=3(−1)^{n log n}_n .

(10)

f (x) = (x³+ 4x²+ 4x)e^−x

(11)

(12)

1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al quarto ordine (con resto di Peano) della funzione f (x) = cos(2x)e^2x.

lim

x→0

cos(2x)e^2x− 1 − 2x x sin(x²) .

(13)

Z x√ x x − 7dx.

Z 2 0

log(4 + x²)dx.

(14)

1. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰+ 13y = 0.

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰+ 13y = x e^x.

(15)

C

z⁴+ 2z²+ 2 = 0.

2. Date le funzioni f (x) = x³+ 1, g(x) = e^−x, scrivere l’espressione esplicita delle seguenti funzioni composte:

g ◦ f, f ◦ g, f ◦ f, f ◦ g ◦ f.

(16)

1 4+_n¹n

.

n=1(−1)ⁿ ¹₄+_n¹ⁿ .

1 4+¹_nⁿ

n=3(−1)^{n log n}_n .

(17)

f (x) = (x³− 4x²+ 4x)e^x

(18)

(19)

lim

x→0

cos(2x)e^−2x− 1 + 2x x sin(x²) .

(20)

Z x√ x x − 2dx.

Z 3 0

log(9 + x²)dx.

(21)

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰− 4y⁰+ 13y = 10x e^x.

(22)

D

z⁴− 2z²+ 2 = 0.

2. Date le funzioni f (x) = x⁵+ 1, g(x) = e^−x, scrivere l’espressione esplicita delle seguenti funzioni composte:

g ◦ f, f ◦ g, f ◦ f, f ◦ g ◦ f.

(23)

1 5+_n¹n

.

n=1(−1)ⁿ ¹₅+_n¹ⁿ .

1 5+¹_nⁿ

n=3(−1)^{n log n}_n .

(24)

f (x) = (−x³− 4x²− 4x)e^−x

(25)

(26)

lim

x→0

cos(2x)e^2x− 1 − 2x x sin(x²) .

(27)

Z x√ x x − 3dx.

Z 2 0

log(4 + x²)dx.

(28)

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰+ 13y = 18x e^x.

(29)

COGNOME ... NOME ... Matricola ... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA A - 27 Gennaio 2004

A

z⁴+ 2z²+ 2 = 0.

2. Date le funzioni f (x) = x²+ 1, g(x) = e^−x, scrivere l’espressione esplicita delle seguenti funzioni composte:

g ◦ f, f ◦ g, f ◦ f, f ◦ g ◦ f.

(30)

1. Calcolare la parte principale e l’ordine di infinitesimo per x → 0 della funzione f (x) =√

1 − 4x − 1 + log(1 + 2x).

2. Calcolare f⁰⁰(0) e studiare la natura del punto critico x = 0 (massimo, minimo, flesso).

(31)

f (x) = (−x³+ 4x²− 4x)e^x

(32)

(33)

lim

x→0

cos(2x)e^−2x− 1 + 2x x sin(x²) .

(34)

COGNOME ... NOME ... Matricola ... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA A - 27 Gennaio 2004

B

z⁴− 2z²+ 2 = 0.

2. Date le funzioni f (x) = x⁴+ 1, g(x) = e^−x, scrivere l’espressione esplicita delle seguenti funzioni composte:

g ◦ f, f ◦ g, f ◦ f, f ◦ g ◦ f.

(35)

1. Calcolare la parte principale e l’ordine di infinitesimo per x → 0 della funzione f (x) =√

1 + 4x − 1 + log(1 − 2x).

2. Calcolare f⁰⁰(0) e studiare la natura del punto critico x = 0 (massimo, minimo, flesso).

(36)

f (x) = (x³+ 4x²+ 4x)e^−x

(37)

(38)

lim

x→0

cos(2x)e^2x− 1 − 2x x sin(x²) .

(39)

COGNOME ... NOME ... Matricola ... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA G - 27 Gennaio 2004

A

1 2+_n¹ⁿ

.

n=1(−1)ⁿ ¹₂+_n¹ⁿ .

1 2+¹_nⁿ

n=3(−1)^{n log n}_n .

(40)

Z x√ x x − 5dx.

Z 3 0

log(9 + x²)dx.

(41)

ESERCIZIO 3. (6 punti) Risolvere il problema di Cauchy (

y⁰ =^x²_y^{log x}₂ y(1) = 1.

(42)

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰− 4y⁰+ 13y = x e^x.

(43)

COGNOME ... NOME ... Matricola ... II corso Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA G - 27 Gennaio 2004

B

1 3+_n¹ⁿ

.

n=1(−1)ⁿ ¹₃+_n¹ⁿ .

1 3+¹_nⁿ

n=3(−1)^{n log n}_n .

(44)

Z x√ x x − 7dx.

Z 2 0

log(4 + x²)dx.

(45)

ESERCIZIO 3. (6 punti) Risolvere il problema di Cauchy (

y⁰ =^x⁴_y^{log x}₄ y(1) = 1.

(46)

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰+ 13y = x e^x.