3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 7 {f n } converge uniforme- mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 7 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo ] − ∞, b], b ∈ R.

(1)

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA/ANALISI MATEMATICA C- 4 settembre 2013.

Il numero del compito ` e dato dall’intero sottratto ad x nell’esponente di e nell’esercizio 4.

COMPITO 1 1. ^3π ₂ .

2. 14π

3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 7 {f n } converge uniforme- mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 7 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo ] − ∞, b], b ∈ R.

4. La serie converge puntualmente in I, dove I =

{

] − ∞, 1[ , se 0 ≤ β ≤ 1 , ] − ∞, 1] , se β > 1 .

Inoltre, per 0 ≤ β ≤ 1 la serie converge totalmente in ogni intervallo del tipo ] − ∞, a], per ogni a < 1; per β > 1 la serie converge totalmente in ] − ∞, 1]. Riguardo al calcolo della somma della serie nel caso β = 1, si ottiene per x ∈] − ∞, 1[

+ ∞

∑

n=1

e ^(n+1)(x ⁻¹⁾

n = −e ^x ⁻¹ log (

1 − e ^x ⁻¹ ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze attraverso il cambio di variabile t = e ^x ⁻¹ .

5. a 0 = 14π; a n = 0, b n = (−1) ^{n 14} _n per ogni n ∈ Z ⁺ .

6. Non converge uniformemente in tutto R perché è discontinua; converge puntualmente in tutto R perché è continua a tratti. S(2π) = 7π, S(3π) = 7π.

7. f (t, y) = ^y _4t+4

²

⁻⁴ ` e C ¹ (] −1, +∞[×R) quindi esistenza ed unicità locali; u = ±2 soluzioni staziona- rie; se |y 0 | < 2 soluzione u decrescente; se |y 0 | > 2, soluzione u crescente; l’intervallo massimale di esistenza ` e illimitato a destra per y 0 ≤ 2 (vale la stima di sublinearità sulla soluzione) mentre per y ₀ > 2 potrebbe essere limitato anche a destra; inoltre se y ₀ < −2, la soluzione u è concava nel suo intervallo di esistenza; se y ₀ > −2, la soluzione u è convessa nel suo intervallo di esistenza.

8. u(t) = 2 t + 4

2 − t definita in ] − 1, 2[, quindi con intervallo di esistenza limitato anche a destra.

COMPITO 2 1. ^5π ₂ .

2. 12π

3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 6 {f n } converge uniforme-

mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 6 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo

] − ∞, b], b ∈ R.

(2)

4. La serie converge puntualmente in I, dove I =

{

] − ∞, 2[ , se 0 ≤ β ≤ 1 , ] − ∞, 2] , se β > 1 .

Inoltre, per 0 ≤ β ≤ 1 la serie converge totalmente in ogni intervallo del tipo ] − ∞, a], per ogni a < 2; per β > 1 la serie converge totalmente in ] − ∞, 2]. Riguardo al calcolo della somma della serie nel caso β = 1, si ottiene per x ∈] − ∞, 2[

+ ∞

∑

n=1

e ^(n+1)(x ⁻²⁾

n = −e ^x ⁻² log (

1 − e ^x ⁻² ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze attraverso il cambio di variabile t = e ^x ⁻² .

5. a ₀ = 12π; a _n = 0, b _n = ( −1) ^{n 12} _n per ogni n ∈ Z ⁺ .

6. Non converge uniformemente in tutto R perché è discontinua; converge puntualmente in tutto R perché è continua a tratti. S(4π) = 6π, S(5π) = 6π.

7. f (t, y) = ^y _6t+6

²

⁻⁹ ` e C ¹ (] −1, +∞[×R) quindi esistenza ed unicità locali; u = ±3 soluzioni staziona- rie; se |y 0 | < 3 soluzione u decrescente; se |y 0 | > 3, soluzione u crescente; l’intervallo massimale di esistenza ` e illimitato a destra per y 0 ≤ 3 (vale la stima di sublinearità sulla soluzione) mentre per y 0 > 3 potrebbe essere limitato anche a destra; inoltre se y 0 < −3, la soluzione u è concava nel suo intervallo di esistenza; se y ₀ > −3, la soluzione u è convessa nel suo intervallo di esistenza.

8. u(t) = 3 t + 4

2 − t definita in ] − 1, 2[, quindi con intervallo di esistenza limitato anche a destra.

COMPITO 3 1. ^7π ₂ .

2. 10π

3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 5 {f n } converge uniforme- mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 5 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo ] − ∞, b], b ∈ R.

4. La serie converge puntualmente in I, dove

I =

{ ] − ∞, 3[ , se 0 ≤ β ≤ 1 , ] − ∞, 3] , se β > 1 .

Inoltre, per 0 ≤ β ≤ 1 la serie converge totalmente in ogni intervallo del tipo ] − ∞, a], per ogni a < 3; per β > 1 la serie converge totalmente in ] − ∞, 3]. Riguardo al calcolo della somma della serie nel caso β = 1, si ottiene per x ∈] − ∞, 3[

+ ∞

∑

n=1

e ^(n+1)(x ⁻³⁾

n = −e ^x ⁻³ log (

1 − e ^x ⁻³ ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze

attraverso il cambio di variabile t = e ^x ⁻³ .

(3)

5. a 0 = 10π; a n = 0, b n = (−1) ^{n 10} _n per ogni n ∈ Z ⁺ .

6. Non converge uniformemente in tutto R perché è discontinua; converge puntualmente in tutto R perché è continua a tratti. S(6π) = 5π, S(7π) = 5π.

7. f (t, y) = ^y _8t+8

²

⁻¹⁶ ` e C ¹ (] −1, +∞[×R) quindi esistenza ed unicità locali; u = ±4 soluzioni staziona- rie; se |y 0 | < 4 soluzione u decrescente; se |y 0 | > 4, soluzione u crescente; l’intervallo massimale di esistenza ` e illimitato a destra per y 0 ≤ 4 (vale la stima di sublinearità sulla soluzione) mentre per y ₀ > 4 potrebbe essere limitato anche a destra; inoltre se y ₀ < −4, la soluzione u è concava nel suo intervallo di esistenza; se y ₀ > −4, la soluzione u è convessa nel suo intervallo di esistenza.

8. u(t) = 4 t + 4

2 − t definita in ] − 1, 2[, quindi con intervallo di esistenza limitato anche a destra.

3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 7 {f n } converge uniforme- mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 7 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo ] − ∞, b], b ∈ R.

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA/ANALISI MATEMATICA C- 4 settembre 2013.

Il numero del compito ` e dato dall’intero sottratto ad x nell’esponente di e nell’esercizio 4.

COMPITO 1 1. 3π 2 .

2. 14π

3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 7 {f n } converge uniforme- mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 7 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo ] − ∞, b], b ∈ R.

4. La serie converge puntualmente in I, dove I =

{

] − ∞, 1[ , se 0 ≤ β ≤ 1 , ] − ∞, 1] , se β > 1 .

Inoltre, per 0 ≤ β ≤ 1 la serie converge totalmente in ogni intervallo del tipo ] − ∞, a], per ogni a < 1; per β > 1 la serie converge totalmente in ] − ∞, 1]. Riguardo al calcolo della somma della serie nel caso β = 1, si ottiene per x ∈] − ∞, 1[

+ ∞

∑

n=1

e (n+1)(x −1)

n = −e x −1 log (

1 − e x −1 ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze attraverso il cambio di variabile t = e x −1 .

5. a 0 = 14π; a n = 0, b n = (−1) n 14 n per ogni n ∈ Z + .

6. Non converge uniformemente in tutto R perché è discontinua; converge puntualmente in tutto R perché è continua a tratti. S(2π) = 7π, S(3π) = 7π.

7. f (t, y) = y 4t+4

8. u(t) = 2 t + 4

2 − t definita in ] − 1, 2[, quindi con intervallo di esistenza limitato anche a destra.

COMPITO 2 1. 5π 2 .

2. 12π

3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 6 {f n } converge uniforme-

mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 6 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo

] − ∞, b], b ∈ R.

4. La serie converge puntualmente in I, dove I =

{

] − ∞, 2[ , se 0 ≤ β ≤ 1 , ] − ∞, 2] , se β > 1 .

Inoltre, per 0 ≤ β ≤ 1 la serie converge totalmente in ogni intervallo del tipo ] − ∞, a], per ogni a < 2; per β > 1 la serie converge totalmente in ] − ∞, 2]. Riguardo al calcolo della somma della serie nel caso β = 1, si ottiene per x ∈] − ∞, 2[

+ ∞

∑

n=1

e (n+1)(x −2)

n = −e x −2 log (

1 − e x −2 ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze attraverso il cambio di variabile t = e x −2 .

5. a 0 = 12π; a n = 0, b n = ( −1) n 12 n per ogni n ∈ Z + .

6. Non converge uniformemente in tutto R perché è discontinua; converge puntualmente in tutto R perché è continua a tratti. S(4π) = 6π, S(5π) = 6π.

7. f (t, y) = y 6t+6

8. u(t) = 3 t + 4

2 − t definita in ] − 1, 2[, quindi con intervallo di esistenza limitato anche a destra.

COMPITO 3 1. 7π 2 .

2. 10π

3. {f n } converge puntualmente a f ≡ 0 in R, per ogni α ∈ R. Se α < 5 {f n } converge uniforme- mente a f ≡ 0 in R; se α ≥ 5 {f n } converge uniformemente a f ≡ 0 in ogni intervallo del tipo ] − ∞, b], b ∈ R.

4. La serie converge puntualmente in I, dove

I =

{ ] − ∞, 3[ , se 0 ≤ β ≤ 1 , ] − ∞, 3] , se β > 1 .

Inoltre, per 0 ≤ β ≤ 1 la serie converge totalmente in ogni intervallo del tipo ] − ∞, a], per ogni a < 3; per β > 1 la serie converge totalmente in ] − ∞, 3]. Riguardo al calcolo della somma della serie nel caso β = 1, si ottiene per x ∈] − ∞, 3[

+ ∞

∑

n=1

e (n+1)(x −3)

n = −e x −3 log (

1 − e x −3 ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze

attraverso il cambio di variabile t = e x −3 .

5. a 0 = 10π; a n = 0, b n = (−1) n 10 n per ogni n ∈ Z + .

6. Non converge uniformemente in tutto R perché è discontinua; converge puntualmente in tutto R perché è continua a tratti. S(6π) = 5π, S(7π) = 5π.

7. f (t, y) = y 8t+8

8. u(t) = 4 t + 4

2 − t definita in ] − 1, 2[, quindi con intervallo di esistenza limitato anche a destra.

COMPITO 1 1. ^3π ₂ .

e ^(n+1)(x ⁻¹⁾

n = −e ^x ⁻¹ log (

1 − e ^x ⁻¹ ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze attraverso il cambio di variabile t = e ^x ⁻¹ .

5. a 0 = 14π; a n = 0, b n = (−1) ^{n 14} _n per ogni n ∈ Z ⁺ .

7. f (t, y) = ^y _4t+4

COMPITO 2 1. ^5π ₂ .

e ^(n+1)(x ⁻²⁾

n = −e ^x ⁻² log (

1 − e ^x ⁻² ) .

Tutte le conclusioni ottenute si possono ritrovare riducendosi allo studio di una serie di potenze attraverso il cambio di variabile t = e ^x ⁻² .

5. a ₀ = 12π; a _n = 0, b _n = ( −1) ^{n 12} _n per ogni n ∈ Z ⁺ .

7. f (t, y) = ^y _6t+6

COMPITO 3 1. ^7π ₂ .

e ^(n+1)(x ⁻³⁾

n = −e ^x ⁻³ log (

1 − e ^x ⁻³ ) .

attraverso il cambio di variabile t = e ^x ⁻³ .

5. a 0 = 10π; a n = 0, b n = (−1) ^{n 10} _n per ogni n ∈ Z ⁺ .

7. f (t, y) = ^y _8t+8