a converge per ogni α ∈ IR c diverge per ogni α ∈ IR b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione fα(x

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 3 febbraio 2018

(1) Delle radici quadrate di w = i · (√

3 + 3i) · (i − 1)³ a nessuna appartiene al secondo quadrante

c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al quarto quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione a_n = n³ cosh_n¹ −p1 + _n^α2
per n → +∞

a converge per ogni α ∈ IR c diverge per ogni α ∈ IR

b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione f_α(x) = ^{√sin x}_{cos x} − log(1 + αx) per x → 0⁺ `e

a 1 per ogni α ∈ IR c 2 per qualche α ∈ IR

b 3 per qualche α > 0 d nessuna delle precedenti (4) L’equazione arctan^x−2_x+2 = αx ammette

a al pi`u una soluzione per ogni α ∈ IR c due soluzioni per ogni α > 0

b nessuna soluzione per qualche α < 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’area della regione del piano compresa tra il grafico della funzione f (x) = x cos x e l’asse delle ascisse nell’intervallo [−π, π] vale

a π c 0

b 2π

d nessuna delle precedenti

(6) La serie di potenze

+∞

X

n=1

xⁿ 1 −_n²
n²

ha insieme di convergenza

a (−e², e²) c IR

b [−^√1_e,^√1_e)

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo infatti che i · (√

3 + 3i) = −3 +√

3i = 2√ 3(−

√ 3

2 +¹₂i) = 2√

3(cos^5π₆ + i sin^5π₆ ) mentre, essendo i − 1 =√

2(cos^3π₄ + i cos^3π₄ ) si ha (i − 1)³ =√

8(cos^9π₄ + i cos^9π₄ ) = 2√

2(cos^π₄ + i cos^π₄) Pertanto

w = i · (√

3 + 3i) · (i − 1)³ = 4√

6(cos(^π₄ +^5π₆ ) + i cos(^π₄ +^5π₆ )) = 4√

6(cos^13π₁₂ + i cos^13π₁₂) e le sue radici quadrate sono date da

z_k= q

4√

6(cos13π 12 +2kπ

2



+ i sin13π 12+2kπ

2



) = 2√⁴

6 cos ^13π₂₄ + kπ
+ i sin ^13π₂₄ + kπ

, i = 0; 1, cio`e sono

z₀ = 2√⁴

6 cos ^13π₂₄
+ i sin ^13π₂₄

= 2√⁴

6 cos ₂₄^π + ^π₂
+ i sin ₂₄^π + ^π₂

z1 = 2√⁴

6 cos ^13π₂₄ + π
+ i sin ^13π₂₄ + π

= 2√⁴

6 cos ₂₄^π +^3π₂
+ i sin ₂₄^π +^3π₂

Quindi z₀ cade nel secondo quadrante del piano complesso mentre z₁ nel quarto.

(2) La risposta esatta `e b . Dagli sviluppi notevoli, per n → +∞ abbiamo che cosh_n¹ −q

1 + _n^α2 = 1 +_2n¹2 + _24n¹4 + o(_n¹4) −

1 + _2n^α2 − _8n^α24 + o(_n¹4)

= ^1−α_2n2 + ^1+3α_24n4² + o(_n¹4)

e quindi a_n= n³ cosh¹_n−p1 + _n^α2
= n³(^1−α_2n2 + ^1+3α_24n4² + o(_n¹4)) = ^(1−α)n₂ +^1+3α_24n² + o(¹_n) da cui a_n∼

(1−α

2 n se α 6= 1

1

6n se α = 1 Pertanto si ha

n→+∞lim a_n=







+∞ se α < 1 0 se α = 1

−∞ se α > 1

Nota: considerando lo sviluppo di ordine 2 delle successioni coinvolte si otteneva che aⁿ = n³(^1−α_2n2 + o(_n¹2)) =

(1−α)n

2 + o(n) da cui non si poteva concludere nulla sul comportamento della successione nel caso in cui α = 1.

(3) La risposta corretta `e la c . Per x → 0 abbiamo infatti che sin x

√cos x = sin x · (cos x)⁻¹² = sin x · (1 + (cos x − 1))⁻¹²

= (x − ^x₆³ + o(x³)) · (1 − ¹₂(cos x − 1) + ³₈(cos x − 1)²+ o(cos x − 1)²)

= (x − ^x₆³ + o(x³)) · (1 + ¹₄x²+ o(x³)) = x − ^x₆³ + o(x³) + ¹₄x³+ o(x³)

= x + ₁₂¹ x³ + o(x³)

mentre log(1 + αx) = αx −¹₂α²x²+¹₃x³+ o(x³), da cui fα(x) = sin x

√cos x − log(1 + αx) = (1 − α)x +¹₂α²x²+ (₁₂¹ − ^α₃³)x³+ o(x³)

=

((1 − α)x + o(x) se α 6= 1

1

2x²+ o(x²) se α = 1

Quindi f_α(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α 6= 1, 2 per α = 1.

Nota: per determinare l’ordine di infinitesimo di fα(x) era sufficiente determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 2, quello riportato, per completezza, `e lo sviluppo di ordine 3.

(4) La risposta corretta `e la d . Per determinare le soluzioni dell’equazione arctan^x−2_x+2 = αx, studiamo la funzione fα(x) = arctan^x−2_x+2 − αx e determiniamone gli zeri. La funzione risulta definita e continua in IR \ {−2} con

x→±∞lim f_α(x) = arctan^x−2_x+2 − αx =







∓∞ se α > 0

π

4 se α = 0

±∞ se α < 0

e lim

x→−2^±f (x) = ∓^π₂ + 2α.

Osserviamo che se α < 0, dato che la funzione `e continua in (−2, +∞) e che lim

x→+∞f_α(x) = +∞ mentre lim

x→−2⁺f_α(x) = −^π₂+2α < 0, dal Teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione ammette almeno uno zero in (−2, +∞) per ogni α < 0, dunque b `e falsa.

In modo analogo, dato che la funzione `e continua in (−∞, −2) e che se 0 > α > −^π₄ si ha lim

x→−∞f_α(x) =

−∞ mentre lim

x→−2⁻f_α(x) = ^π₂ + 2α > 0, dal Teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione ammette almeno uno zero in (−∞, −2). Quindi, per quanto osservato sopra, per ogni −^π₄ < α < 0 la funzione ammette almeno due zeri e pertanto anche a `e falsa.

La funzione `e derivabile in ogni x ∈ IR \ {−2} con f⁰(x) = 1

1 + (^x−2_x+2)² · 4

(x + 2)² − α = 2

x²+ 4 − α = 2 − αx²− 4α

x²+ 4 = −αx²+ 2(2α − 1) x²+ 4

Per α > ¹₂ otteniamo allora che f_α⁰(x) < 0 per ogni x 6= −2 e quindi che f_α(x) risulta strettamente decrescente in (−∞, −2) e in (−2, +∞). Osservato che per tali valori di α, lim

x→−2⁻

f_α(x) = ^π₂+ 2α > 0, dalla monotonia stretta otteniamo che fα(x) > 0 per ogni x ∈ (−∞, −2). Poich´e invece lim

x→+∞fα(x) =

−∞ mentre lim

x→−2⁺

f_α(x) = −^π₂ + 2α > 0 per ogni α > ^π₄, dal Teorema dei valori intermedi e dalla monotonia stretta abbiamo che per tali valori la funzione ammette uno ed un solo zero in (−2, +∞).

Quindi per α > ^π₄ la funzione ammette uno ed un solo zero nel suo dominio e c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e b . Infatti, osserviamo innanzitutto che x cos x ≥ 0 per ogni x ∈ [0,<sup>π</sup><sub>2</sub>] ∪ [−π, −<sup>π</sup><sub>2</sub>] mentre x cos x ≤ 0 per ogni x ∈ [<sup>π</sup><sub>2</sub>, π] ∪ [−<sup>π</sup><sub>2</sub>, 0], l’area cercata sar`a quindi data da

A = Z π

−π

|x cos x| dx = Z −^π₂

−π

x cos x dx − Z 0

−^π₂

x cos x dx + Z ^π₂

0

x cos x dx − Z π

π 2

x cos x dx

Integrando per parti otteniamo Z

x cos x dx = x sin x − Z

sin x dx = x sin x + cos x + c, c ∈ IR

e dunque dalla formula fondamentale del calcolo possiamo concludere che A = [x sin x + cos x]⁻

π 2

−π − [x sin x + cos x]⁰₋π

2 + [x sin x + cos x]

π 2

0 − [x sin x + cos x]^ππ 2

= (^π₂ + 1) − (1 −^π₂) + (^π₂ − 1) − (−1 − ^π₂) = 2π

Nota: Dato che |x cos x| `e funzione pari, i conti potevano semplificarsi osservato che

A = Z π

−π

|x cos x| dx = 2 Z π

0

|x cos x| dx = 2(

Z ^π₂

0

x cos x dx − Z π

π 2

x cos x dx)

(6) La risposta corretta `e a . Per determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze

+∞

X

n=1

xⁿ 1 −_n²
n²

calcoliamo innanzitutto il raggio di convergenza utilizzando il metodo della radice¹. Abbiamo

n→+∞lim

n

r 

 1 −_n²
n² 

= lim

n→+∞ 1 − _n²
n

= e⁻² dato che per ogni α ∈ IR abbiamo che 1 +^α_n
n

= e^α. Il raggio di convergenza della serie `e pertanto ρ = e² e quindi che la serie converge per ogni |x| < e² e non converge per |x| > e².

Osserviamo inoltre che per x = e² la serie diviene

+∞

X

n=1

e²ⁿ 1 −²_n
n²

e che

(∗) lim

n→+∞e²ⁿ 1 − ²_n
n²

= lim

n→+∞e^{2n+n2log(1−n2)} = _e¹2

siccome 2n + n²log(1 − _n²) = 2n + n²(−_n² − _n²2 + o(_n¹2)) = −2 + o(1) → −2 per n → +∞. Dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie possiamo concludere che la serie

+∞

X

n=1

e²ⁿ 1 −_n²
n²

non converge. Dal precedente limite otteniamo inoltre che non esiste il limite

n→+∞lim (−1)ⁿe²ⁿ 1 − ²_n
n²

e pertanto, sempre della condizione necessaria alla convergenza di una serie, possiamo concludere che la serie di potenze data non converge anche per x = −e².

Da quanto trovato possiamo concludere che la serie di potenze converge se e solo se |x| < e² e quindi che l’insieme di convergenza `e l’intervallo (−e², e²).

1Volendo applicare il metodo del rapporto, abbiamo

n→+∞lim

|(1 − _n+1² )⁽ⁿ⁺¹⁾

2

|

|(1 −_n²)ⁿ²|

= lim

n→+∞

e^{(n+1)2log(1−n+12 )}

e^{n2log(1−n2)} = lim

n→+∞e^{(n+1)2log(1−n+12 )−n2log(1−n2)}= e⁻² dato che per n → +∞ dallo sviluppo di Taylor del logaritmo si ha

(n + 1)²log(1 −_n+1² ) − n²log(1 −_n²) = (n + 1)²(−_n+1² −_(n+1)² 2 + o(_(n+1)¹ 2)) − n²(−²_n−_n²2 + o(_n¹2))

= −2(n + 1) − 2 + 2n + 2 + o(1) = −2 + o(1) → −2

Nota: per n → +∞ si ha (1 −_n²)ⁿ

2

= (1 −_n²)^n
n

6∼ e⁻²ⁿma (1 − ²_n)ⁿ

2

∼_e¹2e⁻²ⁿ, vedi (∗)