1 e β = 0 b `e continua per ogni α ≥ 0 e β ∈ R d nessuna delle precedenti 4)* La funzione f (x

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale

Seconda prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 giugno 2012

1)* La serie

+∞

X

n=1

 n

n + α²

n²

per n → +∞

a diverge per ogni α ∈ R c converge per ogni α 6= 0

b converge solo per α > 0 d nessuna delle precedenti 2) L’ordine di infinitesimo della funzione f_α(x) = sin(sinh x) + log(1 + αx) per x → 0 `e

a 1 per ogni α ∈ R

c maggiore di 1 per ogni α ∈ R

b 2 per qualche α ∈ R d nessuna delle precedenti

3) La funzione f (x) =

(sinh(x^α) per x > 0

sin(βx) per x ≤ 0 nel punto x₀ = 0 a non `e derivabile per ogni α, β ∈ R

c `e derivabile solo per α > 1 e β = 0

b `e continua per ogni α ≥ 0 e β ∈ R d nessuna delle precedenti

4)* La funzione f (x) = |x| − e^x

|x| + e^x a non ammette asintoti c ammette due zeri

b `e derivabile in tutto il suo dominio d nessuna delle precedenti

5) L’integrale improprio Z +∞

1

log(1 + x)

x² dx vale a +∞

c 2 log 2

b log¹₂

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1)La risposta esatta `e la c . Infatti, posto a_n = _n+αⁿ 2

n²

per n → +∞, dai limiti notevoli sul numero di Nepero, risulta

n

s

 n

n + α²

n²

=

 n

n + α²

n

= 1

1 + ^α_n²
n → e^−α2

e dal criterio della radice possiamo concludere che la serie converge se e^−α2 < 1 ovvero se α 6= 0. Per α = 0 risulta invece a_n = 1 per ogni n ∈ N e dunque la corrispondente serie diverge.

(2) La risposta esatta `e la b . Infatti, considerando lo sviluppo di ordine 2 delle funzioni coinvolte risulta

f_α(x) = sin(sinh x) + log(1 + αx)

= sinh x + o(sinh²x) + αx −α²

2 x² + o(x²)

= (1 + α)x −α²

2 x²+ o(x²)

Dunque per α 6= −1 si ha f_α(x) = (1 + α)x + o(x) e ord(f_α) = 1 mentre se α = −1 risulta fα(x) = −^x₂² + o(x²) e dunque ord(fα(x) = 2.

(3) La risposta esatta `e la d . Infatti, lim

x→0⁻f (x) = lim

x→0⁻sin(βx) = 0 = f (0)

per ogni β ∈ R. Mentre, dai limiti notevoli della funzione sinh x si ottiene

lim

x→0⁺f (x) = lim

x→0⁺sinh(x^α) =







0 se α > 0 sinh 1 se α = 0 +∞ se α < 0 Dunque f (x) risulter`a continua in x₀ = 0 solo per α > 0 e ogni β ∈ R.

Riguardo alla derivabilit`a, abbiamo che la funzione risulta derivabile in ogni x < 0 con f<sup>0</sup>(x) = β sinh x e poich`e lim

x→0⁻β cos(βx) = β, possiamo concludere che la funzione am- mette derivata sinistra in x₀ = 0 con f₋⁰ (0) = β per ogni β ∈ R. Riguardo alla derivata destra, essendo per x → 0, sinh(x^α) ∼ x^α per ogni α > 0 risulta

lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x = lim

x→0⁺

sinh(x^α)

x = lim

x→0⁺x^α−1 =







0 se α > 1 1 se α = 1 +∞ se α < 1

Quindi la funzione ammette derivata destra in x₀ = 0 per ogni α ≥ 1 con f₊⁰(0) = 0 se α > 1 e f₊⁰ (0) = 1 se α = 1. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x₀ = 0 per α > 1 e β = 0 con f⁰(0) = 0 ma anche per α = β = 1 con f⁰(0) = 1.

(4) La risposta esatta `e d . La funzione risulta definita e continua in R. Dalla gerarchia degli infiniti si ha

x→+∞lim f (x) = lim

x→+∞

x − e^x

x + e^x = lim

x→+∞

x e^x − 1

x

e^x + 1 = −1 mentre

x→−∞lim f (x) = lim

x→−∞

−x − e^x

−x + e^x = 1

Risulta allora che la funzione ammette come asintoti orizzontali per x → ±∞ rispettiva- mente le rette y = ∓1. La funzione risulta derivabile in ogni x ∈ R \ {0} con

f⁰(x) =

(_2ex(1−x)

(x+e^x)² se x > 0

−_(−x+e^2ex(1−x)x)² se x < 0 mentre non risulta derivabile in x = 0 essendo

lim

x→0⁺f⁰(x) = lim

x→0⁺

2e^x(1 − x)

(x + e^x)² = 2 mentre lim

x→0⁻f⁰(x) = lim

x→0⁺

−2e^x(1 − x)

(−x + e^x)² = −2.

Dunque x = 0 risulta punto angoloso con f_±⁰(0) = ±2.

Poich`e f⁰(x) < 0 per ogni x < 0 e x > 1 mentre f⁰(x) > 0 per 0 < x < 1, avremo che f (x) risulta strettamente decrescente in (−∞, 0] e in [1, +∞), strettamente crescente in [0, 1]

e dunque x = 0 risulta punto di minimo (assoluto) con f (0) = −1 mentre x = 1 risulta punto di massimo relativo con f (1) = ^1−e_1+e ∈ (0, 1).

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y=-1

y=1

Ne segue allora che f (x) < 0 per ogni x ∈ [0, +∞) mentre, dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia stretta della funzione, la funzione ammette un unico zero nell’intervallo (−∞, 0).

(5) La risposta esatta `e la c . Infatti, integrando per parti otteniamo Z log(1 + x)

x² dx = −log(1 + x)

x +

Z 1

x(1 + x)dx

= −log(1 + x)

x +

Z 1

x − 1 1 + xdx

= −log(1 + x)

x + log x − log(1 + x) + c e dunque

Z +∞

1

log(1 + x)

x² dx = lim

b→+∞

Z b 1

log(1 + x) x² dx

= lim

b→+∞



−log(1 + x)

x + log x − log(1 + x)

b 1

= lim

b→+∞−log(1 + b)

b + log b

1 + b+ 2 log 2 = 2 log 2