Universit` a di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia
Matematica Lezione 18
Sonia Cannas
4/12/2018
Metodo di bisezione
Se f : [a, b] → R `e continua e tale che f (a) · f (b) < 0 sono soddisfatte le ipotesi del teorema degli zeri, quindi esiste un punto c ∈ (a, b) che interseca l’asse x . Se non ` e possibile determinare tale punto c per via algebrica si pu` o utilizzare il metodo di bisezione.
Metodo di bisezione
1
Sia c = a + b
2 . Se f (c) = 0 abbiamo trovato il punto d’intersezione tra f e l’asse x . Se f (c) 6= 0 si va avanti.
2
Si individua in quale fra i due intervalli [a, c] e [c, b] la funzione f ammette valori discordi e si ripete il procedimento del passo precedente utilizzando il nuovo intervallo individuato.
3
Si itera il procedimento finch´ e non si giunge ad un intervallo che
consente di approssimare lo zero con la precisione voluta.
Metodo di bisezione
Esempio
La funzione f (x ) = 2
x+ x nell’intervallo [−1, 0] soddisfa le ipotesi del teorema degli zeri poich´ e
[−1, 0] ` e un intervallo chiuso e limitato;
f (x ) ` e continua in [−1, 0];
f (−1) =
12− 1 = −
12e f (0) = 1 > 0;
quindi esister` a un punto c ∈ [−1, 0] t.c. f (c) = 0. Per determinarlo
dovremmo risolvere l’equazione 2
x+ x = 0, ma essa non ` e risolubile per
via algebrica. Possiamo localizzare la soluzione dell’equazione utilizzando
il metodo di bisezione.
Metodo di bisezione
Sia c = −1 + 0
2 = − 1
2 . Poich´ e f
− 1 2
' 0, 21 6= 0 andiamo avanti.
Poich´ e f −
12' 0, 21 > 0 iteriamo il ragionamento sull’intervallo [−1, −
12].
Sia c = −1 −
122 = − 3
4 . Poich´ e f
− 3 4
' −0, 16 < 0 la soluzione sar` a nell’intervallo
− 3 4 , − 1
2
. Sia c = −
34−
122 = − 5
8 . Poich´ e f
− 5 8
' 0, 02 > 0 la soluzione sar` a nell’intervallo
− 5 8 , − 3
4
. Sia c = −
34−
582 = − 11
16 . Poich´ e f
− 11 16
' −0, 07 < 0 la soluzione sar` a nell’intervallo
− 11 16 , − 5
8
.
Introduzione alle derivate: il rapporto incrementale
A cosa servono le derivate?
Lo scopo della nozione di derivata ` e quello di studiare la pendenza di un grafico in ogni suo punto (x
0, f (x
0)), quindi misura la crescita/decrescita della funzione al variare del punto x
0.
Definizione (Rapporto incrementale)
Sia f : A ⊆ R → R e sia x
0∈ A. Consideriamo un altro punto x
0+ h ∈ A con h 6= 0 sufficientemente piccolo. Si definisce rapporto incrementale
∆f
h il rapporto fra l’incremento ∆f = f (x
0+ h) − f (x
0) e l’incremento h:
∆f
h = f (x
0+ h) − f (x
0)
h (1)
Significato geometrico del rapporto incrementale
P = (x
0, f (x
0)), Q = (x
0+ h, f (x
0+ h))
Significato geometrico del rapporto incrementale
Interpretazione geometrica del rapporto incrementale
Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per i due punti P = (x
0, f (x
0)) e Q = (x
0+ h, f (x
0+ h)). Infatti m
PQ= y
Q− y
Px
Q− x
P= f (x
0+ h) − f (x
0)
(x
0+ h) − x
0= f (x
0+ h) − f (x
0)
h = ∆f
h = tan β
Quindi il rapporto incrementale rappresenta la pendenza della corda che
congiunge i due punti P e Q della funzione f .
Derivata: definizione
Per studiare la pendenza di f nel punto P basta considerare la pendenza della corda PQ e far tendere il punto Q → P. Poich´ e la distanza tra P = (x
0, f (x
0)) e Q = (x
0+ h, f (x
0+ h)) ` e d (P, Q) = h, cio` e equivale a studiare il rapporto incrementale per h → 0.
Definizione (Derivata)
Sia f : A ⊆ R → R. Si definisce derivata di f nel punto x
0∈ A, e si indica con f
0(x
0), il limite del rapporto incrementale per l’incremento che tende a 0
f
0(x
0) = lim
h→0
f (x
0+ h) − f (x
0) h
purch´ e il limite esista e sia finito.
Derivata: significato geometrico
Animazione 1
Animazione 2
Derivata: significato geometrico
Interpretazione geometrica della derivata
La derivata f
0(x
0) di una funzione f in un suo punto x
0rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto x
0. Infatti
h→0
lim
∆f
h = lim
h→0
tan β = tan α
Quindi il rapporto incrementale rappresenta la pendenza del grafico della
funzione in un punto.
Esempi di derivate
Esempio
Calcoliamo la derivata di f (x ) = x
2nel punto x
0= 0 utilizzando la definizione.
f
0(0) = lim
h→0
f (0 + h) − f (0)
h = lim
h→0
h
2− 0 h = lim
h→0
h = 0 Infatti la retta tangente alla parabola f (x ) = x
2nel punto x = 0 ` e orizzontale, quindi il coefficiente angolare ` e 0.
Esempio
Calcoliamo la derivata di f (x ) = x
2nel punto x
0= 1 utilizzando la definizione.
f
0(1) = lim
h→0
f (1 + h) − f (1)
h = lim
h→0
(1 + h)
2− 1
h = lim
h→0
1 + 2h + h
2− 1
h =
= lim
h→0
h(2 + h)
h = lim
h→0
(2 + h) = 2
Derivata di una potenza
Derivata di una potenza
f (x ) = x
n⇒ f
0(x ) = n · x
n−1(2)
Dimostrazione.
f
0(x ) = lim
h→0
(x + h)
n− x
nh = lim
h→0
x
n+ h · nx
n−1+ · · · + h
n−
x
nh =
= lim
h→0
h nx
n−1+ · · · + h
n−1h
= nx
n−1Esempio
f (x ) = x
10⇒ f
0(x ) = 10x
10−1= 10x
9Derivata di una costante
Derivata di una costante
f (x ) = c ∈ R ⇒ f
0(x ) = 0 (3)
Dimostrazione.
h→0
lim
f (x + h) − f (x )
h = lim
h→0
c − c
h = 0
Esempio
f (x ) = 5 ⇒ f
0(x ) = 0
Derivata dell’esponenziale e del logaritmo
Derivata dell’esponenziale
f (x ) = e
x⇒ f
0(x ) = e
x(4)
f (x ) = a
x⇒ f
0(x ) = a
x· log(a) (5) Derivata del logaritmo
f (x ) = log(x ) ⇒ f
0(x ) = 1
x (6)
f (x ) = log
a(x ) ⇒ f
0(x ) = 1
x · log(a) (7)
Osservazione
Se f (x ) = log(4) allora f
0(x ) = 0 poich´ e log(4) ` e una costante.
Derivata di funzioni trigonometriche
Derivata di funzioni trigonometriche
f (x ) = sin(x ) ⇒ f
0(x ) = cos(x ) f (x ) = cos(x ) ⇒ f
0(x ) = − sin(x ) f (x ) = tan(x ) ⇒ f
0(x ) = 1
cos
2(x ) f (x ) = arcsin(x ) ⇒ f
0(x ) = 1
√ 1 − x
2f (x ) = arccos(x ) ⇒ f
0(x ) = − 1
√ 1 − x
2f (x ) = arctan(x ) ⇒ f
0(x ) = 1
1 + x
2Calcolo delle derivate
Derivata di una somma
La derivata di una somma ` e uguale alla somma delle derivate:
D [f (x ) + g (x )] = f
0(x ) + g
0(x ) (8) Dimostrazione.
D[f (x ) + g (x )] = lim
h→0
[f (x + h) + g (x + h)] − [f (x ) + g (x )]
h =
= lim
h→0
[f (x + h) − f (x )] + [g (x + h) + g (x )]
h =
= lim
h→0
