1. (3 pt) Dire per quali valori del parametro reale a la funzione (x 2 + y 2 ) a ammette gradiente nell’origine.

Prova ANALISI parte seconda

EDL e SIE Fila A 23-gennaio-2012

1. (3 pt) Dire per quali valori del parametro reale a la funzione (x ² + y ² ) ^a ammette gradiente nell’origine.

2. (4 pt) Dire, motivando la risposta, se ` e vera o falsa l’affermazione seguente:

se le serie

∞

X

n=1

a _n converge, allora converge anche la serie

∞

X

n=1

a _2n (la serie dei termini di posto pari).

3. (8 pt) Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 y ⁰ = _{tan x} ^y + _{cos x} ¹ y(π/4) = 1

4.(8 pt) Sia T = {(x, y) ∈ R ² : |x| ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 − x ² }, calcolare Z Z

T

|x|

(1 + y) ² dxdy

5. (10 pt) Determinare gli eventuali estremi assoluti della funzione _1+x ^x−y

+y

ristretta all’insieme {(x, y) ∈ R ² : y ≥ 0}.

6. (3 pt) Calcolare, se esistono, le derivate parziali nell’origine per la funzione

f (x, y) =

 (x ² + y) sin( _x

+y ¹

) se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Prova ANALISI parte seconda

EDL e SIE Fila B 23-gennaio-2012

1. (3 pt) Dire per quali valori del parametro reale a la funzione (|x| + |y|) ^a ammette gradiente nell’origine.

2. (4 pt) Dire, motivando la risposta, se ` e vera o falsa l’affermazione seguente:

se le serie a termini positivi

∞

X

n=1

a _n converge, allora converge anche la serie

∞

X

n=1

arctan(a _n ) .

3. (8 pt) Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 y ⁰ = 2xy + xe ^−x

y(0) = 1/4

4.(8 pt) Sia T = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ y ≤ −x , x ² + y ² ≤ 1}, calcolare Z Z

T

p x ² y ² + x ⁴ dxdy

5. (10 pt) Determinare gli eventuali estremi assoluti della funzione (x+y)e ^−(x

^+y

⁾ ristretta all’insieme {(x, y) ∈ R ² : x ² + y ² ≤ 1}.

6. (3 pt) Calcolare, se esistono, le derivate parziali nell’origine per la funzione

f (x, y) =

( x

−y

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

2

Prova ANALISI parte seconda

EDL e SIE Fila C 23-gennaio-2012

1. (3 pt) Dire per quali valori del parametro reale a la funzione

|x + y| ^a + |x − y| ^a ammette gradiente nell’origine.

2. (4 pt) Dire, motivando la risposta, se ` e vera o falsa l’affermazione seguente:

se le serie a termini positivi

∞

X

n=1

a _n diverge, allora diverge anche la serie

∞

X

n=1

a ² _n .

3. (8 pt) Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 y ⁰ = ^y+2 _x

y(1) = 0

4.(8 pt) Sia T = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ √

x}, calcolare Z Z

T

√ x (1 + y) ² dxdy

5. (10 pt) Determinare gli eventuali estremi assoluti della funzione xy ² e ^−xy ristretta all’insieme {(x, y) ∈ R ² : x ≥ 0 , y ≥ 0}.

6. (3 pt) Calcolare, se esistono, le derivate parziali nell’origine per la funzione

f (x, y) =

( 2xy−x

x

+y

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

3