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Definizione di funzione continua Continuit`a in un punto Sia (a, b) un intervallo e sia f : (a, b) → IR. Sia infine x

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Academic year: 2021

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Definizione di funzione continua Continuit`a in un punto

Sia(a, b)un intervallo e siaf :(a, b)→IR. Sia infinex0∈]a, b[. Diciamo chef `e continua in x0 se lim

xx0

f(x) =f(x0)

Continuit`a a destra in un punto

Sia[a, b)un intervallo e siaf :[a, b)→IR. Sia infinex0∈[a, b[. Diciamo chef `e continua a destra in x0 se lim

xx0+f(x) =f(x0)

Continuit`a a sinistra in un punto

Sia(a, b]un intervallo e siaf :(a, b]→IR. Sia infinex0∈]a, b]. Diciamo chef `e continua a sinistra in x0 se lim

xx0

f(x) =f(x0)

Continuit`a in un intervallo aperto

Sia]a, b[un intervallo aperto e siaf :]a, b[→IR. Diciamo chef `e continua in ]a, b[ se

∀x0∈]a, b[ f `e continua in x0

Continuit`a in un intervallo chiuso

Sia[a, b]un intervallo chiuso e siaf:[a, b]→IR. Diciamo chef `e continua in [a, b]se

f `e continua in ]a, b[ ef `e continua a destra in a ef `e continua a sinistra in b

Lo spazio C0([a, b])

Sia [a, b] un intervallo chiuso. L’insieme di tutte le funzioni f continue su [a, b] viene denotato con C0([a, b]).

Introducendo le usuali operazioni disomma di funzionieprodotto di una funzione per un numero reale:

∀f, g ∈ C0([a, b]) ∀x ∈ [a, b] (f + g)(x) := f (x) + g(x)

∀f ∈ C0([a, b]) ∀λ ∈ IR ∀x ∈[a, b] (λf )(x) := λf (x) l’insieme C0([a, b]) diventa unospazio vettoriale su IR

N.B. Potrebbe capitarvi di incontrare qualcuno che sa la matematica. Costui potrebbe dirvi che in realt`a i matematici seri chiamano C0([a, b]) l’insieme delle restrizioni ad ]a, b[ delle funzioni continue in [a, b]. Avrebbe ragione. Ma voi invitatelo ugualmente a .... !

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