Vettori
La nozione di vettore, cioè di segmento orientato di retta, che può rappresentare la grandezza e la direzione di una forza, di una velocità o di un’accelerazione, entrò nella matematica discretamente. Aristotele sapeva che le forze possono essere rappresentate da vettori e che l’azione combinata di due forze può essere ottenuta mediante quella che è comunemente nota come regola del parallelogramma, ... (Morris Kline, Storia del pen- siero matematico, Einaudi, pag.905)
Vettori geometrici
Possiamo immaginare i vettori geometrici come delle frecce. Chiameremo modulo la lunghezza del vettore.
Diremo che due vettori paralleli hanno la stessa direzione. Due vettori hanno lo stesso verso se oltre ad avere la stessa direzione puntano dalla stessa parte (vedi figure). Diremo che due vettori sono equivalenti, o uguali, se hanno stesso modulo direzione e verso.
tre vettori equivalenti due vettori
con uguale direzione e modulo ma con verso opposto
tre vettori con stesso modulo
tre vettori con stessa direzione
Noteremo un vettore tramite una lettera in minuscolo e grassetto, come v, oppure con una lettera in minuscolo con sopra una freccina, come v
K. Il suo modulo sarà notato v oppure |v
K|.
Un vettore il cui modulo è uguale a zero è detto vettore nullo ed è notato 0
K.
Per effettuare la somma di due vettori disponiamo la coda di uno in corrispondenza della punta dell’altro e disegnamo il vettore che va dalla coda libera alla punta libera (vedi figura).
v u v+u
v u
v u
Un vettore può essere moltiplicato per un numero reale qualsiasi e si parla allora di moltiplicazione di un vettore per uno scalare. La somma v + v corrisponde alla moltiplicazione 2 v. Il vettore − v ha stesso modulo e stessa direzione di v ma verso opposto.
v 2 v - v
-1,5 v
0.5 v
Se sono dati due vettori del piano non nulli e non paralleli a e b, allora qualsiasi vettore del piano v può essere scritto come combinazione lineare dei vettori a e b; essi costituiscono una base con cui esprimere qualsiasi vettore del piano. Nello spazio tridimensionale una base sarà costituita da tre vettori.
a
b v
v = 4 a - 1 b 4 a
- b v
Una base comoda è quella costituita da vettori di modulo 1 e tra loro perpendicolari (base ortonormata)
Esercizi:
a
b v v = α a + β b
α = ...
β = ...
a) Esprimi il vettore v come combinazione lineare dei vettori a e b; v =
a +
b
b) Esprimi il vettore 1 2 v come combinazione lineare dei vettori a e b; 1 2 v =
a +
b
c) Esprimi il vettore 3v come combinazione lineare dei vettori a e b;
Vettori nello spazio cartesiano
Nello spazio dotato di un sistema di assi cartesiani ad ogni punto geometrico associamo le sue coordinate.
In questo spazio utilizziamo come base tre vettori di modulo 1, con direzione e verso in accordo con gli assi cartesiani, che chiamiamo i, j, k (vedi figura qui sotto a destra). È una base ortonormata.
x
y z
P (0; 4; 3)
O (0; 0; 0)
x
y z
i k j
v
Qualsiasi vettore v potrà esprimersi come combinazione lineare dei vettori della base; v = αi + βj + γk.
Diremo che i tre numeri reali α, β e γ sono le componenti di v nella base che abbiamo scelto. Così un vet- tore sarà caratterizzato dalle sue componenti e scriveremo:
v =
α β γ
Per esempio il vettore che va dall’origine degli assi O(0; 0; 0) al punto P (0; 4; 3) ha per componenti i numeri 0, 4 e 3, e può essere scritto:
OP =
0 4 3
(Le componenti del vettore OP coincidono con le coordinate del punto P )
x
y z
P (0; 4; 3)
O (0; 0; 0)
OP = 0 i + 4 j + 3 k
x
y z
P (0; 4; 3) PQ = 0 i - 1 j - 2 k
Q (0; 3; 1)
Il vettore che va dal punto P (0; 4; 3) al punto Q(0; 3; 1) si scriverà:
PQ =
0
− 1
− 2
(Le componenti del vettore PQ si otten-
gono sottraendo alle coordinate del punto
Q quelle del punto P )
Prime operazioni con le componenti
Le componenti del vettore OP che partendo dall’origine raggiunge un qualsiasi punto P (x P ; y P ; z P ), corri- spondono alle coordinate del punto P .
OP =
x P
y P
z P
Otteniamo il vettore che va da qualsiasi un punto P (x P ; y P ; z P ) ad un qualsiasi punto Q(x Q ; y Q ; z Q ), sot- traendo alle coordinate del punto di arrivo Q quelle del punto di partenza P .
PQ =
x Q − x P y Q − y P z Q − z P
Il modulo di un vettore a
K=
a
1a
2a
3
è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti
|a
K| = a 1 2 + a 2
2 + a 3
p 2
La somma a
K+ b
Kdi due vettori a
K=
a
1a
2a
3
e b
K=
b
1b
2b
3
si ottiene sommando le corrispondenti componenti
a
K
+ b
K=
a 1
a 2
a 3
+
b 1
b 2
b 3
=
a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3
La moltiplicazione di un vettore a
K=
a
1a
2a
3
per uno scalare λ (un numero reale) si ottiene moltipli- cando ogni componente per λ.
λ a
K= λ
a 1
a 2
a 3
=
λa 1
λa 2
λa 3
(Per i vettori del piano avremo gli stessi risultati ma invece di tre componenti ne abbiamo solo due)
Esercizio:
x
y z
P (4; 3; 0) Q (0; 1; 2)
O (0; 0; 0)
( ) ... ... ...
PO =
OQ - OP = ( ) ... ... ... - ( ) ... ... ... = ( ) ... ... ...
PO + OQ = ( ) ... ... ... + ( ) ... ... ... = ( ) ... ... ...
PQ = ( ) ... ... ...
OQ = ( ) ... ... ...
OP = ( ) ... ... ...
Completa la figura inserendo le componenti dei diversi vettori e disegnando i vettori PO, OQ e PO + OQ.
Calcola inoltre il modulo del vettore PQ
Prodotto scalare
Si ottiene il prodotto scalare di due vettori moltiplicando i loro moduli per il coseno dell’angolo che essi formano. È chiamato prodotto scalare perchè il risultato non è un vettore ma uno scalare (un numero reale). Gli inglesi parlano di Dot Product poichè spesso lo si nota usando un puntino tra i due vettori.
a
K
· b
K= |a
K||b
K| cos γ
L’angolo γ è l’angolo che i due vettori formano quando li mettiamo coda-a-coda (normalmente si intende il più piccolo dei due angoli che formano anche se entrambi hanno lo stesso coseno).
γ
Il prodotto scalare di due vettori si ottiene anche a partire dalle loro componenti (base ortonormata):
a
K
· b
K=
a 1
a 2
a 3
·
b 1
b 2
b 3
= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
Così, conoscendo le componenti di due vettori, possiamo determinare l’angolo che essi formano:
γ = cos −1 a
K· b
K|a
K||b
K|
!
Esempio:
Cerchiamo l’angolo γ tra due vettori a
K=
3 5
− 2
e b
K=
− 1 2 3
; calcoliamo il prodotto scalare tramite le componenti: a
K· b
K=
3 4
− 2
·
− 1 2 3
= − 3 + 8 − 6 = − 1 calcoliamo anche il modulo dei due vettori: |a
K| = 9 + 16 + 4 √
= √ 29
, |b
K| = 1 + 4 + 9 √
= √ 14 e ora determiniamo l’angolo che formano i due vettori : γ = cos −1
a
K· b
K|a
K||b
K|
= cos −1
− 1
√ 29
· 14 √
@
92.845ř Proprietà algebriche:
a
K
· b
K= b
K· a
Kcommutativa
a
K
· b
K
+ c
K= a
K· b
K+ a
K· c
Kdistributiva rispetto alla somma a
K
· λ b
K= λ a
K
· b
Kassociativa rispetto alla moltiplicazione per uno scalare
Alcuni risultati:
a
K
⊥ b
K⇔ a
K· b
K= 0 Il prodotto scalare di due vettori perpendicolari è uguale a zero a
K
· a
K= |a
K| 2 Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato del suo modulo a
K
· i
K= a 1 a
K
· j
K= a 2 a
K
· k
K= a 3
Il prodotto scalare di un vettore per uno dei vettori della nostra base (ortonormata) è uguale alla c
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale (Cross Product per gli inglesi) di due vettori risulta in un terzo vettore le cui carat- teristiche sono le seguenti:
• il modulo equivale all’area del parallelogramma generato dai due vettori di partenza
a b
|a x b| = |a| |b| sin γ γ
• la direzione è perpendicolare ad entrambi i vettori di partenza
a b
c = a x b => c ⊥ a c , ⊥ b
• il verso è quello dato dalla regola della mano destra illustrato dalla seguente figura
Il prodotto vettoriale di due vettori si ottiene anche a partire dalle loro componenti (base ortonormata):
a
K
× b
K=
a 1 a 2 a 3
×
b 1 b 2 b 3
=
a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1
Proprietà algebriche:
a
K
× b
K= − b
K× a
Kanticommutativa a
K
× b
K
+ c
K= a
K× b
K+ a
K× c
Kdistributiva rispetto alla somma a
K
× λ b
K= λ a
K
× b
Kassociativa rispetto alla moltiplicazione per uno scalare a
K
× (b
K× c
K)
(a
K× b
K) × c
Knon è associativa Alcuni risultati:
a
K
//b
K⇒ a
K× b
K= 0 Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è uguale a zero i
K
× j
K= k
KIl terzo vettore della nostra base è uguale al prodotto vettoriale dei primi due (e così anche: k
K× i
K
