Progetto di Alternanza scuola-lavoro – Liceo Antonietti- Anno 2017-2018 – DICATAM Università degli Studi di Brescia
Seminario N ° 2
Quanto tempo è necessario per svuotare un lavandino ?
Classe IV del Liceo Antonietti, Iseo
Relatori : Prof. Marco Pilotti, marco.pilotti@ing.unibs.it Dott.ssa Giulia Valerio giulia.valerio@ing.unibs.it http://www.ing.unibs.it/hydraulics/
OGGETTO DEL SEMINARIO N. 2
• Immaginiamo, per semplicità, che un lago sia occupato da acqua uniformemente inquinata e che non vi siano meccanismi di autodepurazione in atto. Allora l’unico modo per “pulire” il lago è quello di ricambiarne l’acqua
• Il problema è: quanto tempo è necessario ? La domanda è motivata dal fatto che la Water Framework Directive dà tempo fino al 2015 (ormai al massimo 2027).
• Assimiliamo il lago ad un serbatoio che vogliamo svuotare, in assenza di afflussi: questa semplificazione drastica ci consente di inquadrare il problema alla luce di alcuni principi fisici fondamentali
• Condurremo un esperimento di svuotamento misurando la velocità dell’acqua in uscita dal serbatoio,in due modi diversi, mostrando così la validità dei risultati forniti dal Teorema di Bernoulli
• Condurremo un esperimento di svuotamento misurando il livello dell’acqua in funzione del tempo
• Il processo di svuotamento di questo serbatoio può essere bene interpretato alla luce dalla legge di conservazione della massa + teorema di Bernoulli
SEMINARIO N. 2: cosa impareremo ?
• Utilizzeremo poi queste principi per derivare un modello matematico del processo e mostrarne il potere predittivo
• Strumenti di calcolo: utilizzeremo un foglio elettronico per elaborare e mostrare i dati misurati
• Determineremo sperimentalmente una funzione che lega il livello nel lago al tempo
• Deriveremo l’equazione che esprime la conservazione della massa in un serbatoio
• Verificheremo il potere predittivo di un modello teorico
SEMINARIO N. 2: Alcune nozioni indispensabili: la formula di Torricelli
Poniamo un cilindro graduato sotto al getto per un secondo.
Misureremo un volume defluito nel cilindro che sarà pari all’area del getto per la sua velocità
Formula di Torricelli (ipotesi fondamentale: dissipazioni energetiche nulle)
gY U 2
U [m/s]: velocità del getto Y [m]: livello del serbatoio
g [m/s2]: accelerazione di gravità
t aU q V
Per esempio: t = 8 s; V=0.4 l = 0.0004 mc; q = 0.0004/ 8= 0.00005 m3/s Ripetiamo la misura per un tempo t. Il volume uscente è
Definiamo portata media in uscita dal serbatoio in t, q [m3/s]
t aU V
1
aU
SEMINARIO N. 2: Verifichiamo la validità della formula di Torricelli con un esperimento
• Vogliamo determinare la relazione fra l’altezza dell’acqua al disopra della luce Y e la velocità della corrente uscente U
• Partiamo con la vasca, di area planimetrica A, riempita fino alla quota di 20 cm e con la luce di fondo d’area a
• Iniziamo l’esperimento aprendo la luce e facendo partire il timer:
misuriamo in quanto tempo si riempie un cilindro di volume V pari a 2 litri. Prendiamo nota del livello iniziale e finale
• Annotiamo su un foglio elettronico il tempo di riempimento e il livello inziale e finale nel corso del riempimento
• Procediamo con le stesse misure per livelli progressivamente piu bassi
• Sul foglio elettronico calcoliamo la portata misurata con il metodo volumetrico e confrontiamola con il valore teorico fornito dalla formula di Torricelli
SEMINARIO N. 2: Verifichiamo la validità della formula di Torricelli con un esperimento
1. Inserire le osservazioni
2. Calcolare livello medio, portata e velocità di efflusso. Usare l’angolo in basso a dx delle celle per copiare le formule nelle righe sottostanti. NB Attenzione a bloccare le celle costanti
3. Calcolare la velocità teorica sulla base della formula di Torricelli nella cella G11 e copiare 4. Inserire le variabili da plottare e commentare il grafico risultante
sul foglio Grafico1
SEMINARIO N. 2: Effettuiamo una ulteriore verifica sul valore della velocità Torricelliana
Verifichiamo il valore della velocità del getto in uscita calcolata con metodo volumetrico mediante un micromulinello idrometrico.
Il mulinello idrometrico converte il numero di giri dell’elica, contato mediante un segnale elettrico, in velocità. A tale scopo si utilizza una curva di taratura (curva caratteristica), valida in un
limitato campo di velocità
Letto il livello Y del serbatoio, verifichiamo contemporaneamente il valore di velocità fornito dallo strumento
SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa
Concentriamoci sulla massa presente nel serbatoio al tempo t.
Possiamo anche esprimerla come
) t ( Y A )
t (
M
[kg/m3]: densità o massa per unità di volume (lettera greca “ro”) A [m2]: superficie trasversale del serbatoio cilindrico
Y(t) [m]: livello del lago al tempo t
La massa nel serbatoio diminuisce nel tempo, ma solo perchè fluisce nella bacinella sottostante. La massa infatti si conserva
E’ evidente che
V )
t ( M )
t t
( M
V )
t t
( M )
t ( M
(dove I più precisi osserveranno che manca la massa ancora contenuta nel getto in caduta…)
SEMINARIO N. 2: il primo ingrediente del modello matematico - la conservazione della massa
A ) V t ( Y )
t t
(
Y
Questa è l’equazione di conservazione della massa e ci dice come varia la massa presente nel serbatoio in funzione del tempo t: “La massa al tempo t+t è uguale a quella presente al tempo t meno quella che si è accumulata in t nella bacinella”
Riscriviamo ora questa equazione in funzione del volume W nel serbatoio
La densità si può semplificare e il volume W scrivere come prodotto dell’area retta A del serbatoio per il livello Y.
Y è una quantità che possiamo facilmente leggere durante la prova
Otteniamo così la legge di conservazione della massa per un serbatoio scritta in termini di livello Y.
V )
t ( M )
t t
(
M
SEMINARIO N. 2: il secondo ingrediente del modello matematico - il T.ma di Bernoulli
Modello di variazione del livello nel lago in funzione del tempo.
t ) t ( gY a
t aU V
) t ( gY a
aU )
t ( q
2 2
) t ( A Y
t g ) a
t ( Y )
t t
( Y
A
t ) t ( gY ) a
t ( Y )
t t
( Y
2 2
Y(t + Dt) = Y(t) - C Y(t) C = a 2gDt A
q è la portata uscente dalla luce di fondo. E’ cioè il volume di acqua che esce in un secondo. Possiamo ottenerlo come prodotto della velocità di uscita, fornito dalla f.la di Torricelli, per l’area della luce.
Sostituendo nella equazione precedente, otteniamo:
Sostituendo nella equazione precedente riusciamo ad ottenere una equazione in cui è presente la sola incognita Y, in funzione del tempo
Implementeremo questa eq.ne nel foglio elettronico per verificare se è in grado di interpretare i dati che misureremo, ovvero per verificare se il modello ha un potere predittivo
A ) V t ( Y )
t t
(
Y
Adesso lavoriamo sul termine V/A che vogliamo esprimere in funzione di YSEMINARIO N. 2: L’esperimento e l’utilizzo del foglio elettronico
• Partiamo con la vasca, di area planimetrica A, riempita fino alla quota Y e con la luce di fondo d’area a
• Iniziamo l’esperimento aprendo la luce e facendo partire il timer
• Prepariamo sul foglio elettronico un vettore che partendo da Y decresca fino a 4 cm con passo di 1 cm
• Seguendo il progressivo abbassamento del livello, leggiamo sullo schermo il valore del tempo in corrispondenza del quale l’acqua nel serbatoio raggiunge i livelli predisposti sul foglio elettronico.
• Al termine, otteniamo una serie Y(t), t
• Ripetiamo l’esperimento e mediamo le due serie ottenute, per tenere conto dei probabili errori di lettura
• Rappresentiamo in un grafico la funzione sperimentale Y(t), t dove t è la variabile indipendente e Y quella dipendente
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
• Proviamo ora a implementare nel foglio elettronico la relazione regressiva che abbiamo ottenuto teoricamente
• fissiamo nelle celle del foglio elettronico il valore a, A, g
• Calcoliamo la colonna con i valori di t e la colonna con i valori del coefficiente C
• Implementiamo ora l’equazione (1). Partiamo dal livello iniziale Y(t=0)=h e calcoliamo il secondo valore di Y; prendiamo poi il secondo e calcoliamo il terzo e così via…
• Confrontiamo la serie misurata con quella teorica, facendo un grafico delle due in funzione del tempo
• Facciamo un grafico che rappresenti una serie in funzione dell’altra
• Funziona ?
• Conclusione: il modello teorico predice il comportamento sperimentale osservato ?
• Se si,estrapoliamo il tempo di completo svuotamento del serbatoio, Ts, che non abbiamo potuto misurare sperimentalmente
A t g C a
) t ( Y C )
t ( Y )
t t
(
Y
2
(1)
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Analizzando il filmato dello svuotamento riempire la colonna B (Tempo) inserendo il tempo in secondi in corrisipondenza del quale si raggiunge il livello indicato nella colonna A. Ripetere quindi la stessa operazione una seconda volta riempiendo la colonna C; utilizzeremo quindi la media dei tempi misurati (colonna D)
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Implementiamo ora le relazioni indicate nella riga 10. Per esempio l’intervallo temporale t nella casella E12 si calcolerà come differenza fra la cella D12 e la cella D11.
Per trasferire questa formula a tutte le celle sottostanti fare un doppio clic sull’angolo in basso a destra della cella quando compare un “più”, oppure semplicemente trascinando la cella
N.B.
Tipicamente la lettera greca è usata per indicare una variazione:
t=(t2-t1)
Guardiamo ora sul grafico il risultato delle nostre misure
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
NB. Se la formula contiene un parametro costante (in questo caso il riferimento ai valori contenuti nelle celle azzurre), questo andrà “bloccato” scrivendo la lettera corrispondente alla cella fra due dollari $ (es. per l’area del serbatoio: $B$2)
Ora implementiamo il modello matematico nelle colonne verdi
Come possiamo utilizzarlo per calcolare il tempo di completo svuotamento (Y = 0) ?
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Confrontiamo ora le misure sperimentali con i risultati del modello matematico rappresentando in un grafico le curve (tempo, livello) misurate (colonna D11:D35, colonna A11:A35) e quelle calcolate (colonna D11:D35, colonna G11:G35) in funzione del tempo
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Livello (m)
Tempo (s)
Confronto fra misure e modello
Misura Modello Modello: TS
SEMINARIO N. 2: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Lo stesso confronto si può fare rappresentando ogni dato misurato in funzione del corrispondente dato teorico. Se il modello predice perfettamente il processo i punti così rappresentati si devono allineare lungo la bisettrice del primo quadrante.
y = 1.0331x - 0.0077 R² = 0.9999
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Livello teorico (m)
Livello misurato (m)
Confronto fra misure e modello
SEMINARIO N. 2: Una stima del tempo di svuotamento
Quale ultima verifica, proviamo a comparare il tempo di svuotamento che avremmo ottenuto se avessimo diviso il volume iniziale della vasca con la portata iniziale in uscita dalla stessa
T
R= V
Lq
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300
0 100 200 300 400
Questo tempo è molto utilizzato in limnologia (la scienza che studia i laghi) e, come vediamo, non centra molto con l’effettivo svuotamento…
SEMINARIO N. 2: la conservazione della massa e la storia della scienza
La prima formulazione esplicita della legge di conservazione della legge di conservazione della massa è dovuta a Benedetto Castelli, un bresciano, allievo di Galileo e a sua volta maestro di Torricelli
SEMINARIO N. 2: Il Teorema di Bernoulli e la storia della scienza
Daniel Bernoulli, matematico svizzero nato nel 1700 In questo libro fornisce per la prima volta
una interpretazione energetica corretta
del processo di efflusso, derivando la relazione già ottenuta da Torricelli per via empirica
Bernoulli fu un genio di prima grandezza.
Per ironia della sorte, prima di iniziare la sua brillante carriera accademica suo padre
(che pure insegnava matematica) cercò di convincerlo che avrebbe dovuto fare il mercante
“poiché la matematica non poteva fornire alcun sostanziale beneficio economico e reddito affidabile”.
Conclusione: fare seriamente le cose in cui si crede, senza farsi spaventare dal giudizio di altri
