)0;1(Pè un punto angoloso. Grafico:

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Classe quinta

NON DERIVABILITA’

ESERCIZI

1) Verificare che la funzione

 



 



















1 x per 1 x

1 x per 0

1 x per 2 x2 )x (f

3 2

non è derivabile per x1.

La derivata prima della funzione per x1 è ^{f(x) 4x}, quindi

4 ) x 4 ( lim ) x ( f

lim_x₁   _x₁   , mentre la derivata prima della funzione per x1 è

x2

3 ) x (

f  , quindi lim_x₁f(x)lim_x₁ 3x² 3.

Pertanto, essendo lim_x₁f(x)4 3lim_x₁ f(x), la funzione non è derivabile nel

punto di ascissa x1, ossia ^P(1;0)è un punto angoloso.

Grafico:

PROF. MAURO LA BARBERA “Derivabilità” 1

2) Verificare che la funzione ^f(x)^arcsen





Togliendo il modulo e tenendo presente le limitazioni che esso comporta, la funzione si può

scrivere:

 



 











 









0 x per )1 x ( arcsen

0 x 2 per

0 x per )1 x(

arcsen )x

(f

La derivata prima della funzione per x è 0 ₂ x x 2 ) 1 x (

f   , quindi





 

  _



^{ } 0

1 x x 2 lim 1

) x ( f

lim_{x 0 x 0 2} , mentre la derivata prima per x è0

x2

x 2 ) 1

x (

f  

 

 , quindi ^{  }





 

 _{ }

 ^{ } 0

1 x

x 2 lim 1

) x ( f

lim_{x 0 x 0 2} .

Pertanto, essendo lim_x₀f(x)lim_x₀f(x), la funzione non è derivabile nel

punto di ascissa x , ossia 0 



 



  

; 2 0

P è un punto di cuspide.

Grafico:

PROF. MAURO LA BARBERA “Derivabilità” 2

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PROF. MAURO LA BARBERA “Derivabilità” 3