IX.2. Orbite periodiche di una mappa.

Capitolo IX

Sistemi dinamici discreti reali

Scopo di questo e del successivo capitolo `e illustrare alcuni aspetti dei sistemi dinamici, senza in al- cun modo pretendere la completezza espositiva. Al contrario per la maggior parte dei concetti rinvio alla vastissima letteratura sull’argomento, di cui la bibliografia non elenca che qualche esempio. Quanto scritto `e estratto da [CA+03], [PS+03], [ER-85], [Ott02], e contiene anche alcuni calcoli che ho svolto direttamente.

Per chiarezza e concisione mi limito ai sitemi dinamici il cui spazio delle fasi `e una porzione regolare dello spazio reale multidimensionale: in questo capitolo mi occupo dei sistemi discreti, nel prossimo di quelli continui.

§

IX.1. Sistema dinamico autonomo a tempo discreto in

.

IX.1 • Definizione. Sia d ∈ Z⁺ arbitrario e sia dato un sistema dinamico (V, B, µ, m), ove V ⊆ R^d e dimV = d (cio`e `e una regione di R^d le cui coordinate si indicheranno con x) ed m `e una mappa autonoma:

xn+1= m(xn) , ∀n ∈ N ovvero xⁿ⁺¹= mⁿ⁺¹(x0) , ∀n ∈ N , avendo indicato,∀n ∈ Z⁺, la composizione con:

mⁿ(z)≡ m(m(· · · m(m(z)) · · ·))

| {z }

n volte

, m¹(z)≡ m(z) , m⁰(z)≡ z .

Questo `e un sistema dinamico autonomo a tempo discreto in R^d. ♦

In questo capitolo, per sistema dinamico se ne intender`a uno di tal foggia.

IX.2• Definizione. La jacobiana della mappa `e definita come:

Dxm≡ Dm|x≡ ∂mi

∂xj

 _x



i,j=1,2,...,d

;

inoltre la jacobiana della mappa composta si indicher`a con:

Dxmⁿ≡ D



m| ◦ · · · ◦ m{z }

n volte



   _x

≡ D (m(m(· · · m(x) · · ·)))

| {z }

n volte

= Yn k=1

Dmⁿ−k(x)m .

♦ IX.3• Teorema. Se la mappa m `e invertibile in x ∈ V, ivi D<sup>x</sup>m `e invertibile e vale:

Dxm⁻¹= (Dxm)⁻¹ .

Dimostrazione. Per la regola della catena vale:

1 = Dx m◦ m⁻¹

= Dm⁻¹(x)m· D^xm⁻¹, da cui:

1 = det 1 = det Dm−1(x)m· det D^xm⁻¹;

quindi le due matrici a secondo membro debbono necessariamente avere determinante non nullo ed essere

quindi invertibili; la prima relazione scritta prova il teorema. ♦

IX.4 • Definizione (mappa conservativa e dissipativa). La mappa m dicesi conservativa se preserva la misura di Lebesgue µL, ovvero se, ∀x ∈ V, vale:

|det D^xm| = 1 . Essa `e al contrario dissipativa se vale:

|det D^xm| < 1 , ∀x ∈ V . fine

Ovviamente, un sistema conservativo di questo tipo `e classico, mentre tale non `e uno dissipativo.

§

IX.2. Orbite periodiche di una mappa.

Le orbite periodiche giocano un ruolo chiave nella studio delle ricorrenze, pertanto, dopo averne ram- mentato la definizione, espongo brevemente la strada per determinarle.

IX.5 • Definizione (punti periodici). Un’orbita periodica di periodo (od ordine) p della mappa m

`e un insieme di p punti distinti in R^d:

Γp≡ {x¹, x2, ..., xp}

tale che: 

m(xj) = xj+1 ∀j = 1, 2, ..., p − 1

m(xp) = x1 ;

ogni punto d’un’orbita periodica dicesi punto periodico. I punti periodici di periodo p = 1 son detti anche punti fissi di m.

Per ogni p∈ Z⁺, l’insieme di tutti i punti periodici di tal periodo si indicher`a con:

P^(p)(m)≡ {x ∈ V | m^p(x) = x} , e l’insieme di tutti i punti periodici della mappa con:

P(m) ≡

+∞[

p=1

P^(p)(m) .

♦ Ovviamente, per ogni Γp vale Γp⊆ P^(p)(m)⊆ P(m).

IX.6 • Lemma. Un punto periodico di periodo p arbitrario `e un punto fisso della mappa composta m^p.

Dimostrazione. `E banale. ♦

Si passa ora alla determinazione dei punti periodici d’una mappa m.

Il metodo di Newton

Uno dei pi`u noti metodi per la ricerca della orbite peridiche `e noto come metodo di Newton e lo si va ora ad illustrare.

Definiscansi il vettore di R^d·p:

w≡



 x1

x2

...

xp



 (IX.1)

e la funzione ψ : R^d·p→ R^d·p:

ψ(w)≡







m(xp) m(x1) m(x2)

...

m(x_p−1)







. (IX.2)

Allora definita la funzione Υ : R^d·p→ R^d·p

Υ(w)≡ ψ(w) − w ≡





m(xp)− x¹ m(x1)− x²

· · · m(x_p−1)− x^p



 (IX.3)

l’orbita periodica in esame `e una soluzione dell’equazione:

Υ(w) = 0 . (IX.4)

Per risolvere tale equazione si scrive anzitutto:

ψ(w^′) = ψ(w) + Dwψ· (w^′− w) + o(kw^′− wk) , (IX.5) ovvero in dettaglio,∀i = 1, ..., p − 1, ∀j = 1, ..., d, ∀k = 1, ..., dp:

∂ψdi+j

∂wk =∂mj(xi)

∂wk = Xd ℓ=1

∂mj(xi)

∂xi,ℓ ·∂xi,ℓ

∂wk = Xd ℓ=1

Dxim|j,ℓ· δk,d(i−1)+ℓ =

=

Dxim|_j,k+d(1−i) , se d(i− 1) ≤ k ≤ di

0 , altrimenti

e:

∂ψj

∂wk = ∂mj(xp)

∂wk = Xd ℓ=1

∂mj(xp)

∂xp,ℓ ·∂xp,ℓ

∂wk =

= Xd ℓ=1

Dx_pm

j,ℓ· δk,d(p−1)+ℓ=

=

Dx_pm

j,k+d(1−p) , se 1 + d(p− 1) ≤ k ≤ dp

0 , altrimenti ,

dacch´e:

Dwψ=









0 0 ... 0 Dxpm

Dx1m 0 ... 0 0

0 Dx₂m ... 0 0

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

0 0 ... Dx_p−1m 0









. (IX.6)

Sia ora w un’orbita periodica di periodo p e sia w⁽⁰⁾ = w− δw⁽⁰⁾ una sua approssimazione; si ha:

0 = w− ψ(w) = w − ψ(w⁽⁰⁾)− D^w(0)ψ· (w − w⁽⁰⁾) + o(kw − w⁽⁰⁾k) ⇒ ψ(w⁽⁰⁾) = w− Dw⁽⁰⁾ψ· (w − w⁽⁰⁾) + o(kw − w⁽⁰⁾k) ⇒

ψ(w⁽⁰⁾)− w⁽⁰⁾= w− w⁽⁰⁾− D^w(0)ψ· (w − w⁽⁰⁾) + o(kw − w⁽⁰⁾k) =

= (1− Dw⁽⁰⁾ψ)·

w− w⁽⁰⁾

+ o(kw − w⁽⁰⁾k) allora al prim’ordine ottiensi l’equazione lineare in δw⁽⁰⁾:

(1− Dw⁽⁰⁾ψ)· δw⁽⁰⁾= Υ (w⁽⁰⁾) , (IX.7) il cui operatore lineare ha la seguente forma esplicita⁽†⁾ :

1− Dw⁽⁰⁾ψ=













1 0 0 ... 0 −Dx⁽⁰⁾_p m

−Dx⁽⁰⁾₁ m 1 0 ... 0 0

0 −Dx⁽⁰⁾₂ m 1 ... 0 0

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... 1 0

0 0 0 ... −Dx⁽⁰⁾_p

−1

m 1













. (IX.8)

(†⁾ ovviamente: w⁽⁰⁾=

x^{(0) T}₁ , x^{(0) T}₂ , ..., x^{(0) T}p

T

Nota allora una approssimazione w⁽⁰⁾ dell’orbita periodica, se ne pu`o calcolare una migliore risolvendo tal sistema algebrico lineare, sia w<sup>(1)</sup> = w<sup>(0)</sup>+ δw<sup>(0)</sup>; ripetendo il calcolo rispetto a quest’ultima se ne determina una successiva w<sup>(2)</sup>= w<sup>(1)</sup>+ δw<sup>(1)</sup>. La procedura `e quindi iterata fino al passo k al qualekδw^(k)k sia inferiore ad una prefissata tolleranza: w^(k)`e l’orbita periodica cercata, entro tale precisione.

Il metodo di bisezione

Un altro metodo, spiegato ad esempio in [PS+03], riguardo la valutazione del grado topologico in mappe bidimensionali, ed a cui mi rivolgo limitatamente alla ricerca dei punti periodici, `e il metodo di bisezione.

In tutta evidenza, un punto x d’un’orbita di periodo p `e uno zero della funzione:

Ξ(x)≡ (m^p− 1) (x) = m^p(x)− x , (IX.9)

indi verifica l’equazione:

Ξ(x) = 0 . (IX.10)

Il metodo di bisezione mira alla soluzione numerica di quest’equazione, supponendo che Ξ sia di classe C². Ci si restringa quindi al piano V ⊆ R², siano Ξ1 e Ξ2 le funzioni componenti e si considerino le due curve:

Fⁱ≡ {x ∈ V | Ξⁱ(x) = 0} , i = 1, 2 , ognuna isolante due insiemi:

Vi± ≡ {x ∈ V | sgn [Ξⁱ(x)] =±1} , i = 1, 2 , che dividono lo spazio delle fasiV in 4 aperti:

V⁺⁺≡ V¹⁺∩ V²⁺, V+−≡ V¹⁺∩ V2−,V−+≡ V1−∩ V²⁺, V−−≡ V1−∩ V2−.

Gli zeri di Ξ sono le intersezioni delle due curve Fⁱ, cio`e i confini comuni di Vⁱ⁺ eVi−. Ogni intorno di uno zero semplice x, ovvero nel quale la corrispondente matrice jacobiana DxΞ ha determinate non nullo, ha intersezione non vuota con tutti i 4 insiemi definiti sopra. Il metodo consiste quindi nel cercare i punti periodici partendo con una griglia coprenteV, od una sua parte, e raffinandola in base al segno che la funzione Ξ assune nei nodi.

Per approfondire l’argomento rinvio all’articolo citato in apertura, [PS+03].

§

IX.3. Gli esponenti di Liapunov per una mappa.

Gli esponenti di Liapunov sono alla base della definizione di sistema caotico, e quindi uno dei pi`u noti ed utilizzati strumenti per identificare questo tipo di sistemi. Essenzialmente essi quantificano la velocit`a di divergenza o convergenza d’orbite vicine.

Si consideri dunque un punto x0∈ V, un altro assai prossimo x^′0= x0+ δx0, ed i loro evoluti:

xn = mⁿ(x0)

x^′_n= xn+ δxn

mⁿ(x^′₀) = mⁿ(x0+ δx0) = mⁿ(x0) + Dx0mⁿ· δx⁰+ o(kδx⁰k) ; si vede che al prim’ordine vale:

δxn = Dx0mⁿ· δx⁰. Da tale espressione ottiensi:

δxn

kδx⁰k = Dx0mⁿ· δx0

kδx⁰k,

che, definito il versore u0≡_kδx^δx0_0k, offre l’espressione del tasso di crescita della perturbazione:

kuⁿk = kD^x0mⁿ· u⁰k , (IX.11)

avendo posto, per ogni n∈ N:

un ≡ δxn

kδx⁰k.

IX.7 • Definizione (esponente di Liapunov lungo una direzione). Dato il sistema dinamico autonomo discreto (V, B, µ, m), per ogni x ∈ V e per ogni u ∈ R^d t.c. kuk = 1:

a) per ogni n∈ Z⁺, dicesi esponente di Liapunov locale di punto iniziale x, direzione u e tempo d’evoluzione n la quantit`a:

λ^loc(x, u, n)≡ 1

nlogkD^xmⁿ· uk ; (IX.12)

b) dicesi esponente di Liapunov (globale) di punto iniziale x e direzione u la quantit`a, se esiste:

λ(x, u)≡ lim_n→+∞λ^loc(x, u, n) = lim

n→+∞

1

nlogkD^xmⁿ· uk . (IX.13)

♦ L’esponente di Liapunov locale viene talora chiamato esponente di Liapunov a tempo finito o numero di Liapunov a breve termine o numero di allungamento, etc., ma non far`o uso di queste denominazioni.

L’esponente di Liapunov locale dipende ovviamente dal punto iniziale x0, dalla direzione u0e dal tempo d’evoluzione n.

Per quanto riguarda l’esponente di Liapunov (globale) si deve osservare che non solo, a priori, dipende sia dal punto iniziale che dalla direzione, ma non v’`e garanzia che esista, in quanto la successione non ne- cessariamente converge: il teorema ergodico moltiplicativo di Oseledec, di cui si dir`a fra breve, dimostra proprio, sotto opportune ipotesi, l’esistenza di un iniseme di tali esponenti.

IX.8• Teorema. Per ogni x ∈ V, detta u⁰ la perturbazione iniziale normalizzata, per ogni n∈ Z⁺ la sua n−esima iterata verifica:

kuⁿk = e^{n·λloc(x,u0,n)}; (IX.14)

se inoltre in x esiste l’esponente di Liapunov lungo u0 si ha:

n→+∞lim kuⁿk =

0+ , se λ(x, u0) < 0

+∞ , se λ(x, u⁰) > 0 , (IX.15)

mentre nulla pu`o concludersi se λ(x, u0) = 0.

Dimostrazione. La prima relazione vale per definizione; poi, dalla precedente definizione e dalla conti- nuit`a del logaritmo deriva:

n→+∞lim kuⁿkⁿ¹ = e^λ(x,u0), il che significa che per ogni ǫ∈ R⁺esiste un nǫ∈ Z⁺ tale che:

kuⁿk¹ⁿ− e^λ(x,u0)

 < ǫ , ∀n > n^ǫ, quindi, per ogni n si pu`o definire un ǫn ∈ R tale che:

kuⁿkⁿ¹ = e^λ(x,u0)+ ǫn= e^λ(x,u0)2 ·

e^λ(x,u0)2 + ǫn· e^−λ(x,u0)2  , sicch´e|ǫⁿ| < ǫ, ∀n > n^ǫ; essendo il primo membro positivo, si ha:

e^λ(x,u0)2 + ǫn· e^−λ(x,u0)2 > 0 ⇒ ǫⁿ>−e^λ(x,u0). Ora, se λ(x, u0) < 0 vale:

e^λ(x,u0)2 < 1 ⇒ 1 − e^λ(x,u0)2 > 0 , inoltre:

e^λ(x,u0)2 + ǫn· e^−λ(x,u0)2 < 1 ⇔ e^−λ(x,u0)2 

e^λ(x,u0)+ ǫn

< 1 ⇔ e^λ(x,u0)+ ǫn< e^λ(x,u0)2

⇔ ǫⁿ< e^λ(x,u0)2 − e^λ(x,u0)= e^λ(x,u0)2 

1− e^λ(x,u0)2 

;

posto dunque:

ǫ0≡ e^λ(x,u0)2 

1− e^λ(x,u0)2 

> 0 ,

si ha che, per ogni 0 < ǫ < ǫ0 la quantit`a in parentesi `e strettamente compresa fra 0 ed 1, e quindi tale permane elevandola a qualvogliasi potenza intera positiva; si `e cos`ı ottenuto che per ogni n > nǫ0 vale:

0≤ kuⁿk = e^n·λ(x,u0)2 ·

e^λ(x,u0)2 + ǫn· e^−λ(x,u0)2 n

< e^n·λ(x,u0)2 → 0+

e quindi l’asserto segue dal teorema dei due carabinieri.

Se invece λ(x, u0) > 0 vale e^λ(x,u0)2 > 1, ed inoltre:

e^λ(x,u0)2 + ǫn· e^−λ(x,u0)2 > 1 ⇔ ǫⁿ> e^λ(x,u0)2 

1− e^λ(x,u0)2 

;

ora, per ogni ǫ∈]0, ǫ⁰[, si ha che la quantit`a in parentesi `e strettamente maggiore di 1 e quindi tale permane elevandola a qualsiasi potenza intera positiva; si `e cos`ı ottenuto che per ogni n > nǫ, con ǫ affatto arbitrario, vale:

kuⁿk = e^n·λ(x,u0)2 ·

e^λ(x,u0)2 + ǫn· e^−λ(x,u0)2 n

> e^n·λ(x,u0)2 → +∞ , il che prova anche la seconda asserzione.

Le dimostrazioni or ora date implicano anche l’ultima asserzione. Q.e.d. ♦ Questo teorema afferma che l’esponente di Liapunov indica una crescita (se positivo) od una decrescita (se nagativo) della dimensione della perturbazione u0 soltanto nel caso in cui la medesima abbia carattere e- sponenziale. Quando risulta λ = 0 nulla si pu`o evincere sul comportamento della perturbazione, salvo il fatto che non sia esponenziale: essa potrebbe crescere o decrescere con legge di potenza od altra legge subesponenziale, oppure rimanere di taglia costante; in particolare dalla nullit`a dell’esponente non si pu`o dedurre la costanza della taglia della perturabazione, mentre si pu`o fare la deduzione contraria: se l’evoluto di u0 ne conserva la norma, allora il relativo esponente di Liapunov `e necessariamente nullo.

IX.9 • Teorema. Definita, ∀n ∈ N, la matrice:

Hx,n≡ [D^xmⁿ]^T · D^xmⁿ , (IX.16)

valgono:

i) Hx,n`e reale e simmetrica,

ii) gli autovalori Hj(x, n) di Hx,n sono tutti reali non negativi, ed i relativi autovettori vn,j formano una base ortonormale in R^d,

iii)

λ^loc(x, u, n) = 1 2nlog

u^T · H^x,n· u , (IX.17)

iv)

λ(x, u) = lim

n→+∞

1 2nlog

u^T · H^x,n· u

, (IX.18)

qualora il limite esista.

Dimostrazione. i) `E palese.

ii) In base al teorema spettrale, Hx,n, in quanto reale e simmetrica, `e diagonalizzabile in R^d da una matrice ortogonale, quindi gli autovettori, normalizzati, ne formano una base ortonormale; inoltre si ha:

0≤ kD^xmⁿ· v^n,jk²= v^T_n,j· H^x,n· v^n,j=

= v^T_n,j· H^j(x, n)· v^n,j= Hj(x, n)· v^Tn,j· v^n,j= Hj(x, n)· kv^n,jk² il che significa che gli autovalori son tutti non negativi: Hj(x, n)≥ 0, ∀n, j.

iii/iv) Il seguente sviluppo:

kD^xmⁿ· uk²= u^T · [D^xmⁿ]^T · D^xmⁿ· u

mostra come l’argomento del logaritmo, nella sovrastante definizione, altro non sia che la radice quadrata della forma quadratica associata alla matrice Hx,n≡ [D^xmⁿ]^T · D^xmⁿ.

Il teorema `e cos`ı provato. ♦

Il teorema di Oseledec nel caso discreto

La dimostrazione dell’esistenza degli esponenti di Liapunov per un’ampia classe di sistemi dinamici `e dovuta ad Oseledec, del quale si enuncier`a il teorema, facendolo precedere da alcuni lemmi chiarificatori.

IX.10• Lemma. Per ogni A ∈ R^d,d e n∈ Z⁺ la matrice:

A^TA
_n¹

esiste ed `e definita positiva e simmetrica; inoltre esiste una U∈ R^d,d tale che:

i) U `e ortogonale (U^T = U⁻¹),

ii) U diagonalizza A^TA, ovvero esiste una D = diag(D1, D2, ..., Dd)∈ R^d,dt.c.:

A^TA = UDU⁻¹ iii) vale:

A^TA
_n¹

= UDⁿ¹U⁻¹.

Dimostrazione. `E omessa. ♦

IX.11• Lemma. Per ogni A ∈ R^d,d la sua norma:

kAk ≡ sup

kvk=1kAvk eguaglia il pi`u grande autovalore di√

A^TA = A^TA
¹₂

(detto anche norma spettrale).

Dimostrazione. `E omessa. ♦

IX.12• Corollario. Per ogni A ∈ R^d,d vale:

kAk =

√A^TA . .

Dimostrazione. `E omessa. ♦

IX.13• Lemma. Se {Aⁿ}_n∈N`e una successione di matrici reali simmetriche (An∈ R^d,d e A^T_n = An,

∀n ∈ Z⁺) e se esiste la matrice:

A≡ lim_n→+∞An

allora anche A `e simmetrica.

Dimostrazione. Per ogni n, sia Bn ≡ A − Aⁿ, allora per ipotesikBⁿk → 0+, ovvero per le propriet`a della norma:

B→ 0 , n → +∞ . Ma allora, detti B⁽ⁿ⁾_i,j gli elementi di Bn si ha che maxi,j

 B

(n) i,j

 → 0+, sicch´e anche B^T → 0 e quindi B^T_n

→ 0+. Essendo in tutta evidenza:

B^T_n = A^T − A^Tn = A^T − Aⁿ ne segue che:

A^T = lim

n→+∞An= A .

Q.e.d. ♦

IX.14• Teorema (ergodico moltiplicativo di Oseledec per sistemi discreti). Se la jacobiana Dxm `e misurabile in x come funzione daV ad R^d,de verifica:

log⁺kD^xmk ∈ L¹(V, B, µ; R) , (IX.19)

essendo,∀s ∈ R, log⁺(s)≡ max {0, log s}, allora esiste un insieme Γ(V) ⊆ V verificante:

i) Γ(V) ha misura piena: µ (Γ(V)) = 1,

ii) Γ(V) `e invariante in avanti: m (Γ(V)) ⊆ Γ(V), iii) per ogni x∈ Γ(V) esiste la matrice:

Λx≡ lim

n→+∞(Hx,n)²ⁿ¹ = lim

n→+∞

h(Dxmⁿ)^T · D^xmⁿi_2n¹

, (IX.20)

iv) Λx`e reale e simmetrica, quindi i suoi autovalori sono reali e non negativi ed i relativi autovettori formano una base ortonormale diT^xV = R^d,

v) detti exp

λ^(j)(x)

, con j = 1, 2, ..., s(x), gli autovalori distinti di Λx ordinati in modo che valga:

λ⁽¹⁾(x) > λ⁽²⁾(x) >· · · > λ^(s(x))(x)

e potendo eventualmente essere λ^(s(x))(x) =−∞, detti altres`ı U^x(j), con j = 1, 2, ..., s(x), i relativi autospazi, nonch´e κj(x) = dimU^x(j)le loro dimensioni, e detti infine:

Vx^(j)≡ Ux^(j)⊕ · · · ⊕ Ux^(s(x)), ∀j = 1, 2, ..., s(x) Vx^(s(x)+1)≡ {0}

si ha:

a) le funzioni x → λ^(j)(x) e x→ κ^j(x) sono m−invarianti per ogni j = 1, 2, ..., s(x), sicch´e sono costanti lungo l’orbita futura e, nei casi in cui m `e invertibile, anche lungo quella passata, cio`e sono delle costanti del moto,

b) per ogni j = 1, 2, ..., s(x), qualsiasi sia il vettore u∈ V^x(j)\ V^x(j+1) vale:

n→+∞lim 1

nlogkD^xmⁿ· uk = λ^(j)(x) , c) gli insiemiV^x(j) costituiscono una filtrazione dello spazioT^xV = R^d:

Vx^(s(x)+1)⊂ Vx^(s(x)) ⊂ · · · ⊂ Vx⁽¹⁾=T^xV = R^d.

Dimostrazione. `E omessa. ♦

Per completezza, va detto che il teorema di Oseledec `e molto pi`u generale rispetto alla formulazione qui adottata: invero esso sussiste per molte funzioni dallo spazio delle fasi ad uno spazio di matrici reali quadrate, e non solo per lo jacobiano; tuttavia, nell’ambito di questo lavoro, interessa unicamente l’operatore Dxm, a cui ho quindi ritenuto di limitare l’esposizione.

IX.15• Definizione (esponenti e vettori di Liapunov). Per ogni x ∈ Γ(V) e per ogni i = 1, 2, ..., d dicesi i−esimo esponente (caratteristico) di Liapunov (ECL) in x la quantit`a:

λi(x)≡ λ ^min

j∈Z⁺ Pj

q=1κq(x)≥i

(x) (IX.21)

e l’insieme:

Sp(x)≡ {λ¹(x), λ2(x), ..., λd(x)} dicesi spettro degli esponenti di Liapunov in x.

Ordinata in modo arbitrario ogni base d’autovettori di ogni U^x(j), dicesi i−esimo vettore di Liapunov l’autovettore ai(x) di Λx corrispondente a λi(x):

Λx· aⁱ(x) = e^λi(x)· aⁱ(x) , e l’insieme dei vettori di Liapunov in x verr`a indicato con:

Vl(x)≡ {a¹(x), a2(x), ..., ad(x)} .

♦ Alle quantit`a e<sup>λi(x)</sup> ci si riferisce sovente come ai numeri di Liapunov, locuzione cui non ricorrer`o.

IX.16• Corollario. Per ogni x ∈ Γ(V) e per un qualsiasi versore u ∈ R^d, si pu`o scrivere:

u≡ Xd i=1

ui· aⁱ(x) (IX.22)

e vale:

λ(x, u) = max{λⁱ(x)∈ Sp(x) | uⁱ 6= 0 } . (IX.23)

Dimostrazione. La prima affermazione consegue dal fatto che i vettori di Liapunov costituiscono una base, mentre la seconda `e una riformulazione del punto (v-a) del teorema. ♦ Poich´e la misura di Lebesgue µL di V<sup>(2)</sup> nello spazio tangente T<sup>x</sup>V = R<sup>d</sup> `e evidentemente nulla, da questo corollario evincesi subito che µL−q.t. le perturbazioni u evolvono secondo e^λ1(x), il che giustifica la definzione di caos che si dar`a fra poche righe.

IX.17• Corollario. Se il sistema dinamico `e ergodico gli esponenti di Liapunov sono costanti µ−q.d., cio`e per µ−q.t. gli x ∈ V valgono:

s(x)≡ s

κj(x)≡ κ^j, λ^(j)(x)≡ λ^(j), ∀j = 1, 2, ..., s λi(x)≡ λⁱ,∀i = 1, 2, ..., d .

Dimostrazione. `E omessa. ♦

IX.18• Teorema. Se la mappa m `e invertibile, gli ECL di m⁻¹ sono gli stessi di m ma cambiati di segno.

Dimostrazione. `E omessa. ♦

IX.19• Definizione (caos deterministico). Una regione di Γ(V) `e detta caotica o soggetta a forte sensibilit`a alle condizioni iniziali se ivi λ1> 0.

Il sistema dinamico (V, B, µ, m) dicesi caotico o fortemente sensibile alle condizioni inziali se per ogni x∈ Γ(V) vale:

λ1(x) > 0 .

♦ Il caos deterministico corrisponde quindi alla divergenza eponenziale delle orbite vicine.

Si osserva che una mappa monodimensionale pu`o essere caotica solo se non `e invertibile.

IX.20• Teorema. Per ogni x ∈ Γ(V) vale:

exp





s(x)X

i=1

κi(x)· λ⁽ⁱ⁾(x)



= exp Xd i=1

λi(x)

!

= det Λx,

inoltre se il determinante jacobiano `e costante:

det Dxm≡ K ∈ R , ∀x ∈ Γ(V) vale anche:

det Λx=|det D^xm| = |K| , sicch´e:

Xd i=1

λi(x) = log|K| , ∀x ∈ Γ(V) .

Dimostrazione. Le prime due eguaglianze seguono subito dalle definizioni. Detta:

Bx,n≡ (H^x,n)²ⁿ¹ =h

(Dxmⁿ)^T · D^xmⁿi_2n¹ ,

si ha:

(Bx,n)²ⁿ= (Dxmⁿ)^T · D^xmⁿ, dunque:

det (Bx,n)²ⁿ =

(det Bx,n)²ⁿ

(det Dxmⁿ)² ⇒ det B^x,n=|det D^xmⁿ|¹ⁿ . Nell’ipotesi di costanza del determinante jacobiano sussiste:

det Dxmⁿ = Kⁿ sicch´e:

det Bx,n=|Kⁿ|ⁿ¹ =|K| , e quindi, per la continuit`a del determinante:

det Λx= lim

n→+∞deth

(Hx,n)²ⁿ¹ i

= lim

n→+∞det Bx,n= lim

n→+∞|K| = |K| ,

ch’`e la tesi. ♦

IX.21• Teorema (di Pesin). Per ogni sistema dinamico classico vale:

hµ(m) = Z

V s(x)X

j=1

κj(x)· λ^(j)(x)· χ]0,+∞[

λ^(j)(x)

dµ(x) =

= Z

V

Xd i=1

λi(x)· χ]0,+∞[(λi(x)) dµ(x) , (IX.24) essendo hµ(m) l’entropia di Kolmogorov-Sinai del sistema.

Se poi il sistema `e ergodico si ha:

hµ(m) = Xs j=1

κj· λ^(j)· χ]0,+∞[

λ^(j)

= Xd i=1

λi· χ]0,+∞[(λi) .

Dimostrazione. `E omessa. ♦

Esiste un’estensione del teorema di Pesin a sistemi non classici, in particolare dotati d’una misura singolare a supporto su un attrattoreAV; in talune circostanze il teorema resta valido, qualora sostituiscansi alle dimensioni κj, le dimensioni di Hausdorff degli insiemi, in genere frattali:

Ux^(j)∩ AV.

IX.22 • Definizione (dimensione di Liapunov). Se il sistema `e ergodico ne resta definita la dimensione di Liapunov come:

DL≡ d^∗+ 1

|λ^d∗+1| ·

d^∗

X

i=1

λi

essendo:

d^∗≡ max (

k∈ Z⁺   

Xk i=1

λi≥ 0 )

.

♦ La congettura di Kaplan-Yorke afferma che, almeno per “attrattori tipici”, DL eguaglia la dimensione d’informazione.

Esponenti di Liapunov nei punti periodici

Anche nel caso di sistema ergodico, nel quale gli ECL sono costanti quasi dappertutto, le orbite peri- odiche instabili hanno, in genere, valori degli esponenti diversi, ovvero fanno parte dell’insieme eccezionale,

cio`e di misura invariante nulla, complementare a quello su cui gli ECL son costanti. Come ora si vedr`a , il calcolo degli ECL sulle orbite periodiche pu`o esser svolto in modo da evitare il passaggio al limite, e di ci`o ne guadagna notevolmente il calcolo numerico.

IX.23• Lemma. Sia A ∈ C^D,D un blocco di Jordan:

A =







ℓ 1 0 · · · 0 0

0 ℓ 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 · · · ℓ 1 0 0 · · · 0 ℓ







con ℓ∈ C \ {0}, allora per ogni m ∈ N t.c. m ≥ D + 1 vale:

A^m= ℓ^m· (1 + m · B) con:

B =







0 ℓ⁻¹ ℓ⁻² · · · ℓ^−D+2 ℓ^−D+1 0 0 ℓ⁻¹ · · · ℓ^−D+3 ℓ^−D+2

· · · ·

0 0 0 · · · 0 ℓ⁻¹

0 0 0 · · · 0 0







Dimostazione. Col calcolo diretto vedesi che:

A²=







ℓ 1 0 · · · 0 0

0 ℓ 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 · · · ℓ 1 0 0 · · · 0 ℓ





·







ℓ 1 0 · · · 0 0

0 ℓ 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 · · · ℓ 1 0 0 · · · 0 ℓ







=

=







ℓ² 2ℓ 1 0 · · · 0 0 0 ℓ² 2ℓ 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 0 · · · ℓ² 2ℓ 0 0 0 · · · 0 ℓ²







poi:

A³=







ℓ 1 0 · · · 0 0

0 ℓ 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 · · · ℓ 1 0 0 · · · 0 ℓ





·







ℓ² 2ℓ 1 0 · · · 0 0 0 ℓ² 2ℓ 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 0 · · · ℓ² 2ℓ 0 0 0 · · · 0 ℓ²







=

=







ℓ³ 3ℓ² 3ℓ 1 0 · · · 0 0 0 ℓ³ 3ℓ² 3ℓ 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 0 0 · · · ℓ³ 3ℓ² 0 0 0 0 · · · 0 ℓ³







e dunque, iterando si ha, per m≥ D + 1:

A^m=







ℓ^m mℓ^m−1 mℓ^m−2 mℓ^m−3 · · · mℓ^m−D+2 mℓ^m−D+1 0 ℓ^m mℓ^m−1 mℓ^m−2 · · · mℓ^m−D+3 mℓ^m−D+2

· · · ·

0 0 0 0 · · · ℓ^m mℓ^m−1

0 0 0 0 · · · 0 ℓ^m







da cui, raccogliendo ℓ^m, si ha la tesi. ♦

IX.24 • Teorema. Sia Γ^p ≡ {x¹, ..., xp} un’orbita periodica di periodo p, allora, se esistono, gli esponenti di Liapunov:

i) sono i medesimi in tutti i punti dell’orbita:

s(xk)≡ s(x¹; p) , λ^(j)(xk)≡ λ^(j)(x1; p) , ∀k = 1, ..., p , ∀j = 1, .., s(x¹; p) ,

λi(xk)≡ λⁱ(x1; p) , ∀k = 1, ..., p , ∀i = 1, .., d , ii) s’ottengono mediante l’assai semplice formula:

λ⁽ⁱ⁾(x1; p) =1

plog|ℓ^p,i| , ∀i = 1, ..., s(x¹; p) , essendo ℓp,i gli autovalori della matrice:

Dx1m^p≡ D^xpm· D^xp−1m· · · D^x1m =

p−1Y

k=0

Dx_p−km

ordinati secondo la decrescenza del modulo:

|ℓ^p,i| > |ℓ^p,j| ∀i < j .

I corrispondenti vettori di Liapunov si determinano mediante un’ortonormalizzazione di Gram-Schmidt dello spettro degli autovettori della matrice Dx1m^p, realizzata partendo dai vettori relativi all’autovalore di mo- dulo pi`u piccolo, e procedendo con quelli relativi agli auotvalori di modulo via via crescente.

Dimostrazione. Il punto (i) `e immediata conseguenza del teorema di Oseledec, mentre pel punto (ii) si devono esaminare i diversi casi.

a) Se Dxm^p `e diagonalizzabile in R ne segue che per ogni autovettore normalizzato v dell’autospazio relativo all’autovalore ℓp,i vale:

kD^x1m^mp· vk = k(D^x1m^p)^m· vk = |ℓ^p,i|^m· kvk = |ℓ^p,i|^m ovvero esiste una sottosuccessione di

 1

n· kD^x1mⁿ· vk



n∈N

per cui vale:

m→+∞lim 1

mplogkD^x1m^mp· vk = lim

m→+∞

1

mpm log|ℓ^p,i| = 1

plog|ℓ^p,i|

sicch´e, se tale successione `e convergente, cio`e Γp⊂ Γ(V), deve convergere al medesimo limite, dunque:

λ⁽ⁱ⁾(x1; p) = 1

plog|ℓ^p,i| .

Ne viene dunque che il numero d’autovalori di diverso modulo di Dx1m^p `e pari a s(x1; p), ed inoltre che la dimensione dei relativi autospazi `e κi(x1; p). Tuttavia gli autovettori di Dx1m^p:

nv^j_io

i=1,...,s(x1;p),j=1,...,κi(x1;p)

non sono ortogonali fra loro, propriet`a che invece i vettori di Liapunov posseggono per costruzione. Scritta allora la base degli autovettori in ordine inverso, come:

{w^k}k=1,...,d

w1≡ v¹s(x1;p) , w2≡ v²s(x1;p) , · · · , wκs(x1;p)(x1;p) ≡ v^κs(x^{s(x1 ;p)}1;p)^(x1;p) , wκ_s(x1;p)(x1;p)+1≡ v¹s(x1;p)−1 , wκ_s(x1;p)(x1;p)+2≡ v²s(x1;p)−1 , · · · ,

wκ_s(x1;p)(x1;p)+κ_s(x1;p)−1(x1;p)≡ v^κs(x^{s(x1 ;p)−1}1;p)−1^(x1;p) ,

· · · ·

· · · ·

w_d−κ1(x1;p)+1≡ v¹1 , w_d−κ1(x1;p)+2≡ v²1 , · · · , w^d≡ v^κ1^1(x1;p) , si pu`o operare un’ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, ottenendo la base ortonormale:

uh= Xh k=1

u^k_hwk.

Per essa si ha:

kD^x1m^mp· u^hk =

Xh k=1

u^k_hDx1m^mp· w^k

=

Xh k=1

u^k_hL^m_kwk

avendo indicato con Lk l’autovalore corrispondente a wk. Dunque:

logkD^x1m^mp· u^hk = log |L^h|^m+ log

Xh k=1

 Lk

Lh

m

u^k_hwk

.

Ora, u^k_hwk sono vettori costanti rispetto ad m, mentre, per come sono stati definiti i vettori w vale:

 Lk

Lh

m   ≤1 ,

sicch´e il secondo addendo nella formula `e una quantit`a limitata per m divergente, e quindi, divisa per m `e definitivamente infinitesima. Ne resta:

m→+∞lim 1

mplogkD^x1m^mp· u^hk = lim

m→+∞

1

mpm log|L^h| + 0 = 1

plog|L^h| ,

sicch´e ad uh corrisponde l’esponente di Liapunov relativo al pi`u grande degli autovalori che contiene, che corrisponde al pi`u basso valore di i che compare nella sua scomposizione sui

nv^j_io

i=1,...,s(x1;p),j=1,...,κi(x1;p) .

Quindi Vl(x1; p) ottiensi con questa ortonormalizzazione, ci`o che prova il teorema.

b) Se Dxm^p non `e diagonalizzabile in R, ma lo `e in C allora autovalori ed autovettori complessi com- paiono a coppie coniugate; siano dunque v^± autovettori di ℓ^±_p,i, allora:

Dx1m^mp· v^± =

(Dx1m^p)^m· v^±

=|ℓ^p,i|^m· v^±

=|ℓ^±p,i|^m, sicch´e lungo v^± l’esponente di Liapunov `e sempre lo stesso:

λ⁽ⁱ⁾(x1; p) = 1

plog|ℓ^p,i| . Orbene, per una qualsiasi c.l. di questa coppia, v = ̺⁺v⁺+ ̺⁻v⁻, vale:

kD^x1m^mp· vk = ℓ⁺_p,i
m

· ̺⁺· v⁺+ ℓ⁻_p,i
m

· ̺⁻· v⁻ =

=|ℓ^±p,i|^m· (quantit`a limitata per m → +∞) ,

e quindi ogni c.l. siffatta ha il medesimo esponente di Liapunov. Basta quindi prendere due vettori reali l.i. in tale spazio, ad esempio la parte immaginaria e quella reale di v^±, ed unirli con i corrispondenti degli altri spazi ed eventualmente con quelli corrispondenti ad autovalori reali per ottenere una base di R^d che si provvedr`a poi ad ortonormalizzare come nel caso (a): ecco ottenuti i vettori di Liapunov.

c) Se infine Dxm^p non `e diagonalizzabile, `e per`o sempre riducibile a forma canonica di Jordan in C:

Dxm^p= L⁻¹· A · L ove:

A =





A1 0 · · · 0 0 A2 · · · 0

· · · · 0 0 · · · A^k





Ai=







ℓp,i 1 0 · · · 0 0 0 ℓp,i 1 · · · 0 0

· · · · 0 0 · · · ℓ^p,i 1 0 0 · · · 0 ℓp,i





 .

Come noto ed evidente ad ogni blocco di Jordan Ai corrisponde un sottospazio invariante sotto Dxm^p; poich`e le potenze di A sono ancora matrici in forma canonica di Jordan con blocchi costituiti dalle potenze

degli Ai, non resta che calcolare l’esponente di Liapunov in un generico sottospazio invariante, nel quale l’endomorfismo associato a Dxm^p `e rappresentato, dopo il cambio di coordinate, dalla matrice Ai; come mostrato dal lemma precedente, per ogni m≥ d<sup>i</sup>+ 1 si pu`o scrivere:

A^m_i = ℓ^m_p,i· (1 + m · Bⁱ)

Bi=









0 ℓ⁻¹_p,i ℓ⁻²_p,i · · · ℓp,i^−di+2 ℓ^−d_p,iⁱ⁺¹ 0 0 ℓ⁻¹_p,i · · · ℓ^−dp,iⁱ⁺³ ℓ^−d_p,iⁱ⁺²

· · · · 0 0 0 · · · ℓ^d_p,iⁱ⁻² ℓ^d_p,iⁱ⁻¹

0 0 0 · · · 0 1









dunque per un qualsiasi versore ui nello spazio invariante relativo ad Ai, notando che:

Dxm^mp= (Dxm^p)^m= L⁻¹· A · L
m

=

= L⁻¹ALL⁻¹AL· · · L⁻¹AL

| {z }

m volte

= L⁻¹· A^m· L

vale:

kD^xm^mp· uⁱk²=

L⁻¹_i · A^mi · Lⁱ· u^{i 2}=

=

ℓ^m_p,i· 1 + m · L⁻¹i · Bⁱ· Lⁱ
· uⁱ

²=|ℓ^p,i|^2m·

ui+ m· L⁻¹i · Bⁱ· Lⁱ· u^{i 2}=

=|ℓ^p,i|^2m·

u†_i + m· u†i · L†i · B†i · L⁻¹†

i

· uⁱ+ m· L⁻¹i · Bⁱ· Lⁱ· uⁱ

=

=|ℓ^p,i|^2m·

u†_iui+ mu†_iL⁻¹_i BiLiui+ mu†_iL†_iB†_iL⁻¹†

i ui+ +m²u†_iL†_iB†_iL⁻¹†

i L⁻¹_i BiLiui

=

=|ℓ^p,i|^2m·h

1 + mu†_i 

L⁻¹_i BiLi+ L†_iB†_iL⁻¹†

i

ui+ m²·

L⁻¹_i BiLiui

² i e quindi:

m→+∞lim kD^xm^mp· uⁱk²= lim

m→+∞

1 2mplog

L⁻¹_i · A^mi · Lⁱ· u^{i 2}=

= lim

m→+∞

1

2mplog|ℓ^p,i|^2m+ + lim

m→+∞

1 2mplog



m²· 1 m² + 1

mu†_i 

L⁻¹_i BiLi+ L†_iB†_iL⁻¹†

i

ui+

+

L⁻¹_i BiLiui ²

io= 1

plog|ℓ^p,i| + lim_m→+∞log m mp + + lim

m→+∞

1

2mplog 1 m² + 1

mu†_i 

L⁻¹_i BiLi+ L†_iB†_iL⁻¹†

i

 ui+

+

L⁻¹_i BiLiui

² o

= 1

plog|ℓ^p,i| , in quanto il contenuto delle graffe converge a

L⁻¹_i BiLiui

²; qualora quest’ultima quantit`a fosse nulla, basterebbe raccogliere m in luogo di m², allorch´e la convergenza sarebbe a u†_i 

L⁻¹_i BiLi+ L†_iB†_iL⁻¹†

i

ui; infine, se anch’esso fosse nullo resterebbe solo log 1, che, come noto, `e nullo. Quindi anche in questo caso s’`e costruita una sottosuccessione della successione convergente, e quindi il limite trovato `e quello cercato; si vede dalla dimostrazione ch’esso `e il medesimo sull’intero sottospazio invariante relativo all’autovalore ℓp,i. Si procede poi come nel caso precedente.

Q.e.d. ♦

§

IX.4. Esponenti di Liapunov per una mappa autonoma del piano reale.

Si vuole esaminare pi`u in dettaglio il caso di una mappa autonoma del piano:

m : R²→ R²

in quanto i casi specifici trattati in quasto lavoro riguardano tal tipo di mappe.

IX.25• Lemma. Data un’arbitraria A≡

a b c d



∈ R^2,2

i suoi due autovalori sono:

ℓ_±= tr A± q

(tr A)²− 4 · det A 2

e quindi:

i) sono reali e distinti se e solo se (tr A)²> 4· det A, ii) sono reali e coincidenti se e solo se (tr A)²= 4· det A, iii) sono complessi coniugati se e solo se (tr A)²< 4· det A.

Dimostrazione. Essendo l’equazione caratteristica:

det (A− ℓ · 1) = (a − ℓ) · (d − ℓ) − bc = ad − aℓ − dℓ + ℓ²− bc =

= ℓ²− (a + d)ℓ + ad − bc = ℓ²− tr A · ℓ + det A = 0 ,

la tesi `e evidente. ♦

Si scriva ora la jacobiana della mappa come:

Dxm≡

j₁¹(x) j₁²(x) j₁³(x) j₁⁴(x)

 ,

essendo, per i = 1, 2, 3, 4:

j₁ⁱ : R²→ R . La regola della catena consente di scrivere,∀n ∈ Z⁺:

Dxmⁿ= Yn k=1

Dmⁿ−k(x)m≡

j_n¹(x) j_n²(x) j_n³(x) j_n⁴(x)



;

e, nota la forma esplicita della mappa m, si pu`o trovare una formula ricorrente esprimente gli elementi di questa matrice, per un n qualsiasi, j_nⁱ(x), i = 1, 2, 3, 4, in funzione di quelli della jacobiana, j₁ⁱ(x), il che rende calcolabile Dxmⁿ per tutti gli n.

Come noto, l’esponente locale in x lungo il versore u `e:

λ^loc(x, u, n) = 1

2n· log u^T · H^x,n· u
essendo:

Hx,n≡ (D^xmⁿ)^T · D^xmⁿ=

j_n¹(x) j_n³(x) j_n²(x) j_n⁴(x)



·

j_n¹(x) j_n²(x) j_n³(x) j_n⁴(x)



=

=

h¹_n(x) h⁰_n(x) h⁰_n(x) h²_n(x)



avendo definito: 





h_n⁰(x)≡ j¹n(x)· jn²(x) + j³_n(x)· jn⁴(x) h¹_n(x)≡ [jn¹(x)]²+ [j_n³(x)]²≥ 0 h²_n(x)≡ [jn²(x)]²+ [j_n⁴(x)]²≥ 0

.

La matrice diagonalizzasi facilmente (s’omettono alcune dipendenze da x):

det [Hx,n− H · 1] =

h¹_n(x)− H · h²n(x)− H − h⁰n(x)2

=

= H²−

h¹_n(x) + h²_n(x) · H + h¹n(x)· h²n(x)− h⁰_n(x)2

= 0 ⇒ H_±= h¹_n+ h²_n±p

(h¹_n+ h²_n)²− 4 [hn¹· h²n− (h⁰n)²]

2 =