 F 0  Fyxixzjyk  ˆˆˆ(2)() 

(1)

ˆ ˆ ˆ

( w

^z

w

^y

) ( w

^x

w

^z

) ( w

^y

w

^x

)

i j k

y z z x x y

   

 

    

     

  w 

ˆ ˆ ˆ

( 2 ) ( )

F     y  x i   x z j    yk

( 2 )

Fx

  

y



x

( )

Fy

  

x z



Fz

 

y

F

z

y 

 



F

y

z 

 

 ( F

^z

F

^y

) = 0

y z

  

 

0 F

x

z

 

 F

^z

0 x

 

 ( F

^x

F

^z

) = 0

z x

  

 

F

y

x 

  



^x

F

y 

  

 ( F

^y

F

^x

) = 0

x y

 

  

in conclusione

  F  0

l’espressione del rotore di un generico campo vettoriale w in coordinate cartesiane e’

in questo caso

w  

_quindi

e

dunque il campo di forze assegnato e’ conservativo

sia conservativo e nel caso calcolarne la funzione energia potenziale.

Esercizio 1

Stabilire se il campo di forze

Stabilire inoltre quali sono le dimensioni e le unita’ di misura della costante  .

ˆ ˆ ˆ

( 2 ) ( )

F

   

y



x i

 

x z j

  

yk

(2)

percio’ esistera’ una funzione scalare dipendente solamente dalla posizione e tale per cui sara’ possibile ricavare il campo di forza come gradiente della funzione scalare

ˆ ˆ ˆ ˆ

(  ( y 2 ) x i  ( x z j )  yk dyj )

      

1

ˆ

dl   dyj

1 1

dL   F dl      ( x z dy j j  ) ˆ ˆ     ( x z dy  )

0, ,0 0, ,0

1 1

0,0,0 0,0,0

( ) ( )

O O

y y

L   F dl ^  ^     x z dy     x z y 

O

x₀

O

x

y

(x₀, y₀)

y₀ z₀

P(x₀,y₀,z₀)

z

dl1

y

per

valutarne l’espressione si puo’ calcolare l’integrale di linea lungo un percorso qualsiasi in particolare lungo un cammino rettilineo a tratti

x₀

O

x

^(x⁰^{, y}⁰⁾

y₀ z₀

P(x₀,y₀,z₀)

z

lungo tutto il cammino da (0,0,0) a (0,y₀,0) si ha che x = 0 e z = 0 quindi

L

₁

= 0

(3)

x₀

O

x

y

(x₀,y₀)

y₀ z₀

P(x₀,y₀,z₀)

z

2

ˆ

dl   dxi

ˆ ˆ ˆ ˆ

(  ( y 2 ) x i  ( x z j )  yk dxi )

      

2 2

dL   F dl      ( y  2 ) x dx i i ˆ ˆ  ( y 2 ) x dx



  

, ,0 , ,0 , ,0

2 2

0, ,0 0, ,0 0, ,0

O O O O O O

O O O

x y x y x y

O O

y y y

L   F dl ^  ^    y  dx    dx    yx   x 2

ydx xdx

 

  

dl 

2

ma y = y₀ e z = 0 lungo tutto questo cammino percio’

2

2 0 O O

L    y x   x

(4)

x₀

O

x

y

(x₀,y₀)

y₀ z₀

P(x₀,y₀,z₀)

z

3

ˆ

dl   dzk

ˆ ˆ

(  ( y 2 ) x i  ( x z j )  yk dzk )

      

3 3

dL   F dl     ydz k k ˆ ˆ    ydz

, , , ,

3 3

, ,0 , ,0

O O O O O O

O O O O

x y z x y z

O

x y x y

L   F dl ^  ^   y  dz   yz

2

1 2 3

0

Tot O O O O O

L  L  L  L    y x   x   y z dl 

3

3 O O

L   y z

lungo tutto questo cammino x = x_O e y = y_O

quindi

(5)

dato che x_O, y_O e z_O sono punti qualsiasi la relazione tra lavoro e potenziale e’

(

2

)

L    x  xy  yz

dunque

U x y z ( , , )   ( x

²

 xy  yz )

le dimensioni della costante sono [MT^-2]

nel Sistema Internazionale l’unita’ di misura di  e’N/m

(0,0,0) ( , , ) (

2

)

U U U x y z  x xy yz

      

assumendo che

U (0, 0,0) 0 