G. Parmeggiani, 10/12/2019 Algebra Lineare, a.a. 2019/2020,
Scuola di Scienze - Corsi di laurea: Statistica per l’economia e l’impresa Statistica per le tecnologie e le scienze
Studenti: numero di MATRICOLA PARI
ESERCIZIO TIPO 15
Sia V il sottospazio di C4 considerato nell’ESERCIZIO TIPO 14:
V =D
1 0 i 0
;
2i
2 0
−2
;
−6 6i
0
−6i
;
0 0 2 1
E
Si calcoli la proiezione ortogonale PV(v) del vettore v =
0 5 2 1
su V .
Nell’ESERCIZIO TIPO 14 abbiamo trovato una base ortonormale di V :
B =
u1∗= 1
√ 2
1 0 i 0
; u2∗= 1
√ 10
i 2 1
−2
; u3∗= 1
√ 3
i 0 1 1
La proiezione ortogonale PV(v) di v =
0 5 2 1
su V `e
PV(v) = (u1∗|v)u1∗+ (u2∗|v)u2∗+ (u3∗|v)u3∗.
1
Essendo
(u1∗|v) = (u1∗)Hv = √1
2 1 0 −i 0
0 5 2 1
= √1
2· (−2i),
(u2∗|v) = (u2∗)Hv = √1
10 −i 2 1 −2
0 5 2 1
=√1
10· (10 + 2 − 2) = √110· 10,
(u3∗|v) = (u3∗)Hv = √1
3 −i 0 1 1
0 5 2 1
= √1
3· (2 + 1) = √1
3· 3,
si ha:
PV(v) = −√1
2·√2i
2·
1 0 i 0
+√1
10·√10
10·
i 2 1
−2
+√1
3·√3
3·
i 0 1 1
=
= −i ·
1 0 i 0
+
i 2 1
−2
+
i 0 1 1
=
i 2 3
−1
.
2
