Atomo di idrogeno

Atomo di idrogeno

• Particella in campo centrale

Studiamo un sistema costituito da una particella in ˙

soggetta ad un potenziale centrale:

l’Hamiltoniana è data dall’energia cinetica più una funzione potenziale che dipende solo dal modulo del vettore posizione :

H = P

2 m + V( r )

= P

+ P

+ P

2 m + V x

+ y

+ z

La simmetria sferica suggerisce di adottare le coordinate sferiche.

Usando la rappresentazione delle posizioni per gli operatori e ricordando l’espressione dell’operatore di Laplace in coordinate sferiche (vedi), l’equazione agli autovalori per l’Hamiltoniano di questo sistema è

H ϕ P r = E ϕ P r

− S

L

2 m + V r ψ P r = E ψ P r S

L

2 m ψ P r + E − V r ψ P r = 0 1

r M

M r

r + 1 r

sin ϑ

M M ϑ sin ϑ M

M ϑ + 1

r

sin

ϑ M

M ϕ

ψ r , ϑ , ϕ + E − V r ψ r , ϑ , ϕ = 0

Quest’equazione è del tutto simile all’equazione di Laplace (incontrata durante la ricerca di uno sviluppo in serie per funzioni definite su una sfera, vedi).

Si tratta dunque di un’equazione differenziale del second’ordine a derivate parziali.

Adottiamo il metodo di separazione delle variabili : ponendo

ψ r , ϑ , ϕ = R r Y ϑ , ϕ

si può scrivere

1

- atomo di idrogeno - 2

1

r Y ϑ , ϕ d

d r

r R r + 1

r

sin θ R r M

M θ sin θ M

M θ Y ϑ , ϕ + 1

r

sin

θ R r M

M ϕ

Y ϑ , ϕ + E − V r R r Y ϑ , ϕ = 0

dividendo tutto per R(r) Y(ϑ, ϕ) ^{si ha}

1 r R r

d

d r

r R r + E − V r =

= − 1

Y ϑ , ϕ 1

r

sin ϑ M

M θ sin ϑ M

M ϑ Y ϑ , ϕ − 1

Y ϑ , ϕ 1

r

sin

ϑ M

M ϕ

Y ϑ , ϕ

come è prassi nel metodo di separazione delle variabili, osserviamo che, poichè la funzione al primo membro non dipende da J e j , affinchè sussista l’uguaglianza per ogni loro valore, i due membri non possono che essere costanti:

1

r

sin ϑ M

M θ sin ϑ M

M ϑ Y ϑ , ϕ + 1

r

sin

ϑ M

M ϕ

Y ϑ , ϕ = λ Y ϑ , ϕ 1

r d

d r

r R r + E − V r R r + λ R r = 0

Ora, la prima equazione è proprio quella che ha come soluzione le armoniche sferiche […]

Le autofunzioni per il sistema ‘particella in campo centrale’ sono il prodotto di una parte radiale per un’armonica sferica :

ψ

r , θ , ϕ = R

r Y

θ , ϕ

La parte radiale ha la forma :

R

r = − 2 Z n a

3

n − l − 1 ! 2 n n + l !

1 / 2

e

ρ

L

ρ

dove :

- atomo di idrogeno - 3

ρ = 2 Z n a

r ^; a

µ

= 4 π ε

S

µ e

= a

m µ

a

= 4 π ε

S

m e

(raggio di Bohr)

µ = m M

m + M (massa ridotta dell’elettrone) (B pag. 129) e

L

ρ =

n r

3

k = 0

− 1

n + l !

n

− k ! 2 l + 1 + k ! ρ

k ! (polinomi di Laguerre)

dove n

= n - l - 1

Mentre ricordiamo che le armoniche sferiche hanno la forma :

Y

θ , ϕ = 2 l + 1

4 π l − m !

l + m ! P

cos θ e

(armoniche sferiche) dove

P

x = − 1

2

l! 1 − x

d

d x

x

− 1

(funzioni di Legendre) Vediamo che i numeri quantico hanno il seguente comportamento :

n = 0, 1, 2 ...

l = 1, 2, 3, ..., n-1 m

= -l, -l+1, ... l-1, l.

Per la nomenclatura dei numeri quantici diciamo che :

n = numero quantico principale (Bransden 133)

l = numero quantico di momento angolare orbitale (B. 84)

- atomo di idrogeno - 4

m

= numero quantico magnetico (B. 84) Notazione spettroscopica

[…]

• autostato fondamentale

A partire dalla formula generale si ha :

ψ

r , θ , ϕ = 1

π Z a

3 / 2

e

Z a _B r

(funzione d’onda) (vedi Bransden p 140 tavola 3.1)

La formula che invece fornisce gli autovalori è

E

= − Z

e

2 a

n

(autovalori)

qui Z è il numero atomico, in quanto queste formule sono valide anche per ioni con un unico

elettrone (atomi idrogenoidi)