A.A. 2015/2016 Corso di Analisi Matematica 2

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A.A. 2015/2016

Corso di Analisi Matematica 2

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 1)

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 001. Introduzione al corso. Struttura euclidea, metrica e topologia nello spazio a n dimensioni. Funzioni di n variabili e loro grafico. Metodi per visualizzare un grafico in dimensione 2: linee di livello e restrizioni a rette. . . 7 Lezione 002. Definizioni di limite in un punto per funzioni di pi`u variabili. Funzioni

continue. Primi esempi di limite. . . 10 Lezione 003. Limiti all’infinito per funzioni di pi`u variabili. Esempi di limiti per

funzioni di pi`u variabili: esistenza via stime+carabinieri o coordinate polari, non esistenza via restrizione a particolari curve. . . 14 Lezione 004. Ulteriori esempi di limiti per funzioni di pi`u variabili. . . 18 Lezione 005. Derivate parziali e direzionali e loro significato geometrico. Differen-

ziale per funzioni di pi`u variabili. Esempi di funzioni che hanno tutte le derivate direzionali nulle ma non sono continue. . . 22 Lezione 006. Una funzione differenziabile `e continua e ha tutte le derivate direzionali.

Formula per le derivate direzionali. Gradiente e sua interpretazione geometrica.

Matrice Jacobiana. Esempi di calcolo di derivate parziali. . . 27 Lezione 007. Teorema del differenziale totale: caso classico e caso con ipotesi pi`u

minimaliste. Prodotto di matrici e differenziale della funzione composta. . . 32 Lezione 008. Lipschitzianit`a delle funzioni lineari. Chain rule e funzioni composte in

pi`u variabili: esempi di applicazione. . . 36 Lezione 009. Derivate successive per funzioni di pi`u variabili. Teorema di inversione

dell’ordine di derivazione: enunciato, dimostrazione, controesempi. . . 40 Lezione 010. Formalismo dei multi-indici. Sviluppo di Taylor in pi`u variabili e idea

della dimostrazione nel caso con resto di Lagrange. . . 44 Lezione 011. Teorema di Lagrange direzionale per funzioni di pi`u variabili. Le fun-

zioni con gradiente nullo sono costanti sui connessi. Limitatezza del gradiente vs lipschitzianità per funzioni di più variabili. . . 48 Lezione 012. Dimostrazione della formula di Taylor in più variabili con resto alla Peano.

Ricapitolazione sulle forme quadratiche ed i metodi per determinarne la segnatura. 52 Lezione 013. Fine ripasso sulle forme quadratiche. Stima dal basso per forme qua-

dratiche definite positive. Matrice Hessiana. Segnatura della matrice Hessiana e comportamento nell’intorno di un punto stazionario. . . 57 Lezione 014. Dimostrazione del criterio che lega la segnatura dell’hessiana alla natura

di un punto stazionario. Esempi di studio di punti stazionari. . . 61

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Lezione 015. Compattezza e teorema di Weierstrass in pi`u variabili. Ricerca dei punti di massimo/minimo. Nei punti di massimo/minimi interni il gradiente (se esiste) si annulla. . . 65 Lezione 016. Primi esempi di problemi di massimo/minimo su insiemi compatti:

metodo delle linee di livello e metodo di parametrizzazione del bordo. . . 70 Lezione 017. Esercizi sul calcolo di gradiente e matrice hessiana in n variabili. Esercizi

sulla chain rule: formula generale per le soluzioni dell’equazione delle onde in una variabile. . . 74 Lezione 018. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso di un solo moltiplicatore):

descrizione del metodo e primi esempi di applicazione. . . 79 Lezione 019. Giustificazione intuitiva del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Uti-

lizzo misto di moltiplicatori ed altre tecniche. Caratterizzazione di autovettori ed autovalori come punti stazionari del quoziente di Reyleigh e relativi moltiplicatori. 84 Lezione 020. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso con pi`u moltiplicatori):

descrizione del metodo ed esempi di applicazione. . . 89 Lezione 021. Esercizi sui massimi/minimi per funzioni di pi`u variabili su insiemi com-

patti. Metodo di sostituzione del vincolo. Massimi/minimi di funzioni con valori assoluti. . . 93 Lezione 022. Teorema di Weierstrass generalizzato su insiemi non compatti. Esempi

di problemi di massimo/minimo su insiemi non compatti. . . 98 Lezione 023. Dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra (via Weierstrass

generalizzato e studio locale). Ulteriori esempi di massimi/minimi su insiemi non compatti. . . 103 Lezione 024. Sottoinsiemi convessi e funzioni convesse in pi`u variabili. Punti estremali

di insiemi convessi e punti di massimo di funzioni convesse. La convessit`a come fatto unidimensionale. . . 107 Lezione 025. Equivalenza tra due definizioni di locale limitatezza. Le funzioni convesse

sono localmente limitate nella parte interna dell’insieme di definizione. Convessità e derivate prime: monotonia del gradiente e grafico al di sopra del piano tangente. 112 Lezione 026. Convessità e continuità: le funzioni convesse sono continue e localmente

lipschitziane nella parte interna dell’insieme di definizione. Convessit`a e segnatura della matrice Hessiana. . . 116 Lezione 027. Esempi di funzioni convesse in due variabili. Esempio non banale di

utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange. . . 121 Lezione 028. Introduzione agli integrali doppi: notazioni, significato geometrico, step

functions, integrale inferiore e superiore, criterio di integrabilit`a. . . 126 Lezione 029. Descrizione della formula di riduzione per integrali doppi su rettangoli e

su insiemi normali. Analogia con il double counting. Esempi di applicazione. . . . 132 Lezione 030. Propriet`a basilari dell’integrale (linearit`a, monotonia, integrale del pro-

dotto e del valore assoluto, ...) analoghe a quelle valide in una variabile. Enunciato e dimostrazione della formula di riduzione in massima generalit`a. Esempi patologici. 137

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Lezione 031. Formula di spezzamento in ipotesi di integrabilità. Insiemi misurabili e loro caratterizzazione. Misurabilità degli insiemi normali. Integrabilità delle funzioni continue su insiemi misurabili. . . 142 Lezione 032. Utilizzo delle coordinate polari per il calcolo di integrali doppi: descrizione

della formula ed esempi di applicazione. . . 147 Lezione 033. Formula generale per il cambio di variabili negli integrali doppi ed esempi

classici di applicazione. Classi particolari di trasformazioni: traslazioni, dilatazioni degli assi, affinit`a. . . 152 Lezione 034. Integrali tripli: notazioni, significato fisico, definizione. Formula di ridu-

zione sui parallelepipedi e su insiemi normali (integrazione per colonne). Esempi di applicazione. . . 157 Lezione 035. Formula di riduzione per sezioni per gli integrali tripli. Utilizzo delle

simmetrie per mostrare che certi integrali sono nulli, o comunque per semplificarne il calcolo. Esempi di applicazione. . . 162 Lezione 036. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio. Cambi di variabile negli

integrali tripli. Esempi di applicazione. . . 167 Lezione 037. Solidi di rotazione: equazioni e formula per il volume. Calcolo del bari-

centro di figure piane /solide mediante integrali doppi/tripli. Teorema di Guldino per il volume dei solidi di rotazione. . . 172 Lezione 038. Basi teoriche della formula di spezzamento per integrali multipli. Teorema

della media integrale. Calcolo di momenti d’inerzia mediante integrali multipli.

Principio di cavalieri. . . 177 Lezione 039. Integrali di funzioni con valori assoluti. Esercizi riassuntivi sugli integrali

multipli. . . 182 Lezione 040. Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli

(parte prima): caso delle trasformazioni affini. . . 187 Lezione 041. Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli

(parte seconda): riduzione al caso dei cubi piccoli, stima di un diffeomorfismo in un cubo. . . 192 Lezione 042. Dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali multipli

(parte terza): enunciato e dimostrazione di una disuguaglianza nel caso dei cubi piccoli. Commento sulle coordinate polari. . . 197 Lezione 043. Introduzione agli integrali impropri in pi`u variabili. Commenti sulla scelta

di limitare la teoria agli integrali assolutamente convergenti. Studio del caso delle potenze della distanza dall’origine. . . 202 Lezione 044. Un integrale improprio non dipende da come viene invasa la zona di inte-

grazione in sede di definizione. Calcolo dell’integrale gaussiano mediante integrali doppi. Esempi di studio della convergenza di integrali impropri. . . 206 Lezione 045. Esercizi sullo studio della convergenza di integrali multipli impropri. . . 211 Lezione 046. Volume della palla n-dimensionale: formule esplicite e ricorrenti. Integrali

impropri in dimensione n: discussione degli esponenti critici per gli integrali di potenze della norma. . . 216

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Lezione 047. Esempi finali sugli integrali multipli impropri: utilizzo di stime sia sulle integrande, sia sulla zona di integrazione. . . 220

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