A.A. 2015/2016 Corso di Analisi Matematica 2

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A.A. 2015/2016

Corso di Analisi Matematica 2

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 2)

Massimo Gobbino

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Indice

Lezione 048. Definizione di curva e suo sostegno. Curve chiuse e semplici. Strategie per dimostrare la semplicit`a. Disegno di una curva piana. Vettore e retta tangente.

Speed e velocity. . . 4 Lezione 049. Definizione di lunghezza di una curva e di curva rettificabile. Le cur-

ve Lipschitziane sono rettificabili. Integrali di funzioni vettoriali: stime dall’alto e dal basso. Formula per la lunghezza delle curve regolari: enunciato e prima dimostrazione (via stime su integrali vettoriali). . . 8 Lezione 050. Lunghezza di curve cartesiane o in coordinate polari. Esempi di calcolo di

lunghezze curve. Discussione dell’indipendenza della lunghezza dalla parametrizza- zione, sia nel caso regolare, sia nel caso solo continuo. . . 14 Lezione 051. Esempi di curve di lunghezza infinita. Integrale curvilineo: notazioni,

significato geometrico, idea della definizione, formula per il calcolo. Baricentri di curve. Seconda dimostrazione della formula per la lunghezza di curve regolari (via teorema di Lagrange sulle componenti). . . 20 Lezione 052. Definizione di forma differenziale. Integrale di una forma differenziale su

una curva: definizione ed interpretazione fisica. Commenti sui rapporti tra forme differenziali e campi di vettori. . . 25 Lezione 053. Differente comportamento dell’integrale curvilineo di una forma e di una

funzione rispetto a riparametrizzazioni di una curva. Forme differenziali esatte.

Caratterizzazione dell’esattezza in termini di integrali lungo curve. . . 30 Lezione 054. Forme differenziali chiuse. Esattezza implica chiusura. Insiemi convessi,

stellati, connessi, semplicemente connessi. Le forme chiuse sono esatte negli aperti semplicemente connessi (enunciato). . . 36 Lezione 055. L’integrale di una forma chiusa su due curve omotope coincide (enuncia-

to). Esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta. Come testare l’esattezza di una forma chiusa in un aperto non semplicemente connesso. . . 41 Lezione 056. Integrali dipendenti da un parametro: teoremi di continuit`a e derivabilit`a

(derivazione sotto il segno di integrale). Esattezza delle forme chiuse negli aperti stellati. . . 46 Lezione 057. L’integrale di una forma chiusa su due curve omotope (mediante omotopia

sufficientemente regolare) coincide. Quattro strategie per il calcolo dell’integrale di una forma lungo una curva: discussione ed esempi. . . 52

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Lezione 058. Superfici nello spazio: definizione e primi esempi. Superfici cartesiane.

Piano tangente e vettore normale. Formula per un vettore perpendicolare a due vettori dati (prodotto vettore). . . 57 Lezione 059. La retta tangente ad una curva su una superficie `e contenuta nel piano

tangente. Come non si definisce l’area di una superficie: esempio di Schwarz. . . . 62 Lezione 060. Definizione di area di una superficie e modi equivalenti di scrivere la

formula per il calcolo. Invarianza dell’area per riparametrizzazione. Caso speciale delle superfici cartesiane e di rotazione. . . 66 Lezione 061. Formule equivalenti per l’area di una superficie di rotazione. Teorema di

Guldino per l’area delle superfici di rotazione. Integrali superficiali e integrali di flusso. Interpretazione delle formule di integrazione in coordinate polari/sferiche in termini di integrali curvilinei/superficiali. . . 71 Lezione 062. Gradiente, laplaciano, divergenza, rotore: definizioni e relazioni tra di

esse. Significato di gradiente/divergenza/laplaciano nulli/uguali. . . 77 Lezione 063. Teorema di Gauss-Green e teorema della divergenza nel piano. Equiva-

lenza tra le due formulazioni. Interpretazione del termine di bordo come integrale di flusso e come integrale di una forma differenziale. . . 82 Lezione 064. Applicazioni del teorema della divergenza: area ed integrale di funzioni

su domini delimitati da curve date. . . 87 Lezione 065. Applicazioni del teorema della divergenza: calcolo di integrali di flusso.

Laplaciano in coordinate polari e funzioni armoniche radiali. . . 92 Lezione 066. Dimostrazione del teorema della divergenza su insiemi normali. Idea

euristica per dimostrare il teorema nel caso generale scomponendo il dominio e sfruttando le cancellazioni sui bordi interni. . . 97 Lezione 067. Partizioni dell’unit`a. Dimostrazione del teorema della divergenza nel caso

generale. . . 102 Lezione 068. Orientazione del bordo di una superficie. Enunciato della formula di

Stokes (teorema del rotore). Come determinare un vettore che ha per rotore un vettore dato. . . 107 Lezione 069. Quattro strategie per calcolare un integrale di flusso attraverso una

superficie. . . 112 Lezione 070. Dimostrazione della formula di Stokes. Dimostrazione via Gauss-Green

di un caso particolare (dimensione due, maggior regolarit`a su dominio, integranda, diffeomorfismo) del cambio di variabili negli integrali multipli. . . 117 Lezione 071. Giustificazione formale dell’algoritmo per trovare un vettore dato il suo

rotore. Esempio di vettore a divergenza nulla che non `e un rotore. L’integrale di un rotore su una superficie chiusa `e nullo. Pull-back di forme differenziali. . . 122

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Lezione 072. Spazi metrici, spazi di Banach, spazi di Hilbert: definizioni, motivazioni, esempi principali. . . 126 Lezione 073. Equivalenza tra continuit`a per successioni e continuit`a epsilon/delta in

spazi metrici. Equivalenza di tutte le norme in dimensione finita. Definizione di limitatezza e totale limitatezza. . . 131 Lezione 074. Compattezza in spazi metrici: equivalenza tra compattezza per ricopri-

menti, compattezza per successioni, e completezza pi`u totale limitatezza. . . 136 Lezione 075. Lemma del raggio magico (numero di Lebesgue di un ricoprimento). Teo-

rema di Heine-Cantor in spazi metrici. Criterio per dimostrare la totale limitatezza. 141 Lezione 076. Teorema delle contrazioni in spazi metrici. Completamento di uno spa-

zio metrico: definizioni ed enunciato dei tre risultati principali (esistenza, unicit`a, estensione). . . 147 Lezione 077. Dimostrazione dei tre risultati principali sul completamento di spazi metrici.152 Lezione 078. Teorema delle funzioni implicite: presentazione del problema, enunciato

e dimostrazione nel caso di una equazione in due variabili, continuit`a e ulteriore regolarit`a della soluzione. . . 158 Lezione 079. Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione n). Calcolo

del polinomio di Taylor di funzioni definite implicitamente. Limiti all’infinito di una funzione vs limitatezza del suo luogo di zeri. . . 162 Lezione 080. Teorema delle funzioni implicite (una equazione in dimensione 2): dimo-

strazione mediante punto fisso. . . 166 Lezione 081. Teorema delle funzioni implicite: caso generale (k equazioni in dimensione

n). . . 170 Lezione 082. Teorema della funzione inversa (aka teorema di invertibilit`a locale).

Teorema della mappa aperta. . . 174 Lezione 083. Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante teorema di invertibi-

lit`a locale (nel caso generale) e mediante esplicitazione del vincolo (nel caso di una sola equazione). . . 179 Lezione 084. Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante esplicitazione del

vincolo nel caso generale. Semicontinuit`a del rango di una matrice. . . 184 Lezione 085. Moltiplicatori di Lagrange: dimostrazione mediante penalizzazione del

vincolo. Esercizi sull’invertibilit`a di mappe vettoriali. . . 189 Lezione 086. Moltiplicatori di Lagrange: condizione sufficiente per essere punto di

massimo/minimo. Esercizi su funzioni implicite e funzioni inverse. . . 195

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