Il linguaggio della logica simbolica

Il linguaggio della logica simbolica

Francesco Orilia Università di Macerata

orilia@unimc.it

Sommario

•  Cenni di logica aristotelica: sillogistica (e, tempo permettendo, quadrato degli opposti)

•  Introduzione al linguaggio della logica moderna: logica del prim'ordine

•  Rappresentazione degli enunciati della sillogistica nel linguaggio della logica moderna

•  Altri esempi di traduzione nel linguaggio della logica

•  (qudrato degli opposti e termini vuoti)

•  (oltre la logica del prim'ordine)

La sillogistica di Aristotele

SILLOGISMO 'BARBARA'

•  Tutti i greci sono uomini

•  Tutti gli uomini sono mortali

•  Quindi, tutti i greci sono mortali

•  In generale:

•  Ogni A è B;

•  Ogni B è B;

Quindi, ogni A è B.

Struttura del sillogismo aristotelico

•  Il sillogismo ha due premesse e una conclusione, tutte del tipo:

A, E, I, O

•  A (universale affermativa). Ogni S è P

•  E (universale negativa). Nessun S è P

•  I (particolare affermativa). Qualche S è P

•  O (particolare negativa). Qualche S non è P

•  Il sillogismo Barbara ha premesse e conclusione di tipo A

Enunciati singolari

•  Il sillogismo della vignetta non è un vero e proprio sillogismo aristotelico

•  Contiene infatti un enunciato singolare: "Socrate è un uomo"

•  Nel Medioevo viene aggiunta la trattazione di sillogismi con questi enunciati.

Assenza di enunciati relazionali

•  Nella logica tradizionale l'attenzione è focalizzata su enunciati della forma soggetto + predicato come

•  (1) Ogni uomo è mortale

•  (2) Socrate corre

•  Trascurati gli enunciati relazionali

•  (3) Socrate ama Santippe

•  (4) Socrate è seduto tra Platone e Alcibiade

•  (5) Ogni numero primo che è maggiore di 2 è dispari

•  Non sono trattati se non per tentare di ridurli alla forma soggetto + predicato

Altri esempi di sillogismi

•  Celarent. Nessun M è P, Ogni S è M, quindi nessun S è P

•  Darii. Ogni M è P, qualche S è M, quindi qualche S è P

•  Ferio. Nessun M è P, qualche S è M, quindi qualche S non è P

•  Si noti che c'è sempre un 'termine medio' che compare in entrambe le premesse e che non compare nella conclusione

Forme sillogistiche (Salta)

•  Le forme sillogistiche sono 4³ =256 (4 sono i tipi di enunciato (A, E, I, O) e 3 sono i termini)

•  Bisogna distinguere quelle che costituiscono ragionamento valido, ossia "un discorso per cui poste talune cose segue necessariamente qualcos'altro per il semplice fatto che quelle sono state

poste" (Analitici primi, I, 1, 24b 18ss.).

Sillogismi validi (salta)

•  Aristotele individua 14 sillogismi validi assumendo come basilari i 4 sillogismi che abbiamo visto e dimostrando che gli altri si possono trasformare in sillogismi basilari mediante alcune regole logiche

•  Nel Medioevo vennero aggiunti altri 10 sillogismi (e inoltre i sillogismi con enuniciati singolari quali "Socrate è un uomo")

•  V. "Sillogistica" nel Dizionario di Filosofia di N. Abbagnano

Le fonti

•  Aristotele (Stagira, 384 a.C. o 383 a.C. – Calcide, 322 a.C.) )

•  Analitici I: Sillogistica

•  Sull'interpretazione: Quadrato degli opposti.

•  Sull'elaborazione della logica aristotelica nel Medioevo, v. per es.

Kneale & Kneale, Storia della logica, e voce "Sillogistica" nel Dizionario di Filosofia di N. Abbagnano.

Kant

•  Dalla prefazione alla Critica della ragion pura:

•  "la logica da Aristotele in poi ... non ha ... potuto fare alcun passo in avanti e quindi, secondo ogni apparenza, sembra essere chiusa e compiuta"

Due Giganti

•  Friedrich Ludwig Gottlob Frege (Wismar, 8 novembre 1848 – Bad Kleinen, 26 luglio 1925)

•  Bertrand Arthur William Russell, terzo conte Russell (Trellech, 18 maggio 1872 – Penrhyndeudraeth, 2 febbraio 1970)

Il sogno di Leibniz (1646-1716)

•  Una caratteristica della ragione, mediante la quale le verità, in qualsiasi dominio, si presenterebbero alla ragione in virtù di un metodo di calcolo come

nell’aritmetica e nell’algebra, purché essa si sottoponga al corso della deduzione. Di conseguenza, quando

sorgeranno controversie fra due filosofi, non sarà più necessaria una discussione, come [non lo è] fra due

calcolatori. Sarà sufficiente, infatti, che essi prendano in mano le penne, si siedano di fronte agli abachi e (se così piace, su invito di un amico) si dicano l’un l’altro:

Calculemus!

•  Frege in qualche modo cerca di realizzare il sogno di Leibniz, ma si scontrerà con un grosso problema: il paradosso di Russell

La logica si occupa di argomentazioni

•  Deduttive (la verità delle premesse garantisce la verità della conclusione)

•  Induttive (la verità delle premesse NON garantisce la verità della conclusione)

•  analisi delle argomentazioni deduttive e analisi del linguaggio vanno di pari passo in Frege: si arriva al linguaggio della logica del

prim'ordine

Logica del prim'ordine

•  Viene elaborata da Frege nella sua analisi delle argomentazioni deduttive più fondamentali, quelle basate sui "connettivi

proposizionali" e i "quantificatori"

•  Si utilizza un linguaggio formale privo di ambiguità sintattiche, per non correre il rischio che un enunciato sia interpretato in modo diverso nel passare dalle premesse alla conclusione

•  P ∨ (Q & R) versus (P ∨ Q) & R

•  ambiguità lessicale vs. ambiguità sintattica

Ambiti di utilizzazione

•  Filosofia

•  Matematica

•  Informatica

•  Linguistica

•  Testo introduttivo suggerito:

•  Logica di Achille C. Varzi, Dennis Rohatyn, John Nolt Editore: McGraw-Hill Education

Edizione: 2

Anno edizione: 2007

Obiettivo

•  Il nostro obiettivo è semplicemente impadronirsi a livello basilare di questo linguaggio al fine di capire:

•  in che senso permette di evitare l'ambiguità strutturale

•  apprezzare la distinzione tra forma grammaticale e forma logica, cruciale per Frege e Russell

•  Riconsiderare gli enunciati della sillogistica dal punto di vista di questo linguaggio

Enunciati atomici

•  (1) Napolitano è italiano

•  (1a) In

•  (1b) I(n)

•  (2) Napolitano è un presidente

•  (2a) Pn

•  (2b) P(n)

Enunciati atomici relazionali

•  (3) Romeo ama Giulietta

•  (3a) Arg

•  (3b) A(r,g)

•  (4) Liliana Segre sta tra Mattarella e Napolitano

•  (4a) Tmsn

Operatori (connettivi) proposizionali ed enunciati molecolari

•  (1) Mattarella non è francese

•  (1a) ∼Fm

•  (2) se Napolitano è italiano allora Romeo ama Giulietta

•  (2a) In → Arg

•  (3) Napolitano è italiano e Romeo non ama Giulietta

•  (3a) In & ∼Arg

•  (4) Napolitano è italiano oppure Romeo non ama Giulietta

•  (4a) In ∨ ∼Arg

Simboli equivalenti

•  Negazione: ¬, ∼

•  Congiunzione: &, ∧

Parentesi e ambiguità strutturale

•  (2) Napolitano è sloveno oppure italiano e campano

•  (2') Napolitano è sloveno oppure Napolitano è italiano e Napolitano è campano

•  (2a) Sn v (In & Cn)

•  (2b) (Sn v In) & Cn

Quantificatori

•  Universale

•  (1) ogni cosa è fisica

•  (1a) ∀x Fx

•  Esistenziale

•  (2) qualche cosa è fisica (esiste almeno una cosa fisica)

•  (2a) ∃x Fx

Forma grammaticale vs. forma logica

•  (1) Giorgio è un uomo

•  (1a) Ug

•  (2) Giorgio cammina

•  (2a) Cg

•  (4) ogni uomo è mortale

•  (5) qualche uomo è mortale

•  stessa forma grammaticale, ma diversa forma logica ...

Gli enunciati della sillogistica

•  (1) ogni uomo è mortale;

•  (2) nessun uomo è mortale;

•  (3) qualche uomo è mortale;

•  (4) qualche uomo non è mortale.

•  (1a) ∀x(Fx→ Gx);

•  (2a) ∀x(Fx → ∼Gx); ∼∃ x(Fx & Gx)

•  (3a) ∃ x(Fx & Gx);

(4a) v. prossima diapositiva

•  (4) qualche uomo non è mortale

•  (4a) ∃ x(Fx & ∼Gx)

Altri esempi

•  Tutti gli uomini amano Carla

•  Ogni uomo che ha visitato Napoli se ne è innamorato

•  Una sorella di Giorgio ha incontrato un fratello di Carla

Tutti gli uomini amano Carla

Tutti gli uomini amano Carla

•  ∀x(Ux→ Axc);

Ogni uomo che ha visitato Napoli se ne è

innamorato

Ogni uomo che ha visitato Napoli se ne è innamorato

•  ∀x((Ux & Vxn) → Ixn)

Una sorella di Giorgio ha incontrato un

fratello di Carla

Una sorella di Giorgio ha incontrato un fratello di Carla

•  ∃ x(Sxg & ∃ yFyc & Ixy)

Un classico esempio di ambiguità strutturale

•  (1) ogni uomo ama una donna

•  ambiguità sintattica di (1): due diverse forme logiche

Le 2 forme logiche

•  (1) ogni uomo ama una donna

•  (1a) ∀x(Ux → ∃ y(Dy & Axy))

•  (1a') Dato un qualsiasi individuo, chiamiamolo "x", se x è un uomo allora c'è qualche individuo, per esempio quello che potremmo chiamare "y", tale che y è una donna e x ama y

•  (1b) ∃y(Dy & ∀x(Ux → Axy))

•  (1b') c'è qualche individuo, per esempio quello che potremmo

chiamare "y", tale che y è una donna e, dato un qualsiasi individuo, chiamiamolo "x", se x è un uomo allora x ama y

Un altro esempio di ambiguità strutturale

•  Giorgio sta osservando una donna con un cannocchiale

Interpretazione 1

•  c'è una donna x e c'è un cannocchiale y che sono tali che Giorgio sta- osservando x con y

•  ∃x(Dx & ∃y(Cy & Ogxy))

•  "osservare con" è trattato come esprimente una relazione a 3 posti

Interpretazione 2

•  c'è una donna x e c'è un cannocchiale y che sono tali che Giorgio sta osservando x e x è con y

•  ∃x(Dx & ∃y(Cy & Ogx & Cxy))

•  "osservare" è trattato come esprimente una relazione a 2 posti e

"con" come un'altra relazione a 2 posti.

Il quadrato degli opposti e i

termini vuoti

Il Quadrato

tramandato dalla tradizione

Contradditorietà: non possono essere entrambi veri o entrambi falsi.

Contrarietà: non possono essere entrambi veri, pur potendo essere entrambi falsi.

Subcontrarietà: non possono

essere entrambi falsi, pur potendo essere entrambi veri.

Subalternità: l'universale implica la particolare

Il problema dei termini vuoti

•  Il quadrato sembra suggerire la presupposizione che tutti i termini (predicati) utilizzati nella sillogistica siano "vuoti", ossia senza oggetti corrispondenti.

•  Con un termine vuoto come "unicorno", seguendo le indicazioni del quadrato, passiamo infatti dal vero al falso . (v. Varzi p. 141).

•  Dato che non ci sono unicorni, dobbiamo accettare come vero

•  (1) E' falso che qualche unicorno è bianco

•  Ma seguendo le indicazioni del quadrato arriviamo alla seguente affermazione falsa

•  (2) qualche unicorno non è bianco

Gli unicorni

•  I. Qualche unicorno è bianco

•  I è falsa, perché non esistono unicorni. Significa infatti: "esiste almeno un unicorno ed è bianco"

•  Di conseguenza, la sua contraddittoria è vera (due contraddittorie non possono essere entrambe false):

•  E. nessun unicorno è bianco

•  Ma E implica la corrispondente subalterna:

•  O. qualche unicorno non è bianco

•  Quindi, la subalterna O sarebbe vera.

•  Invece, O è falsa, perché non ci sono unicorni. Significa infatti "esiste almeno un unicorno e non è bianco"

termini vuoti e logica moderna

•  Questo problema è stato evidenziato dai logici dal secolo scorso in

poi. E da allora ammettiamo esplicitamente che ci sono termini vuoti.

•  Purtroppo questo punto non è evidenziato nei testi scolastici.

•  Per es. non lo è in Abbagnano Fornero.

•  Dal punto di vista storico la questione di come effettivamente

interpretare la sillogistica tradizionale su questo punto è controversa e molto dibattuta.

Termini vuoti prima della logica moderna?

(Salta)

•  Si tende ad attribuire ad Aristotele e ai logici successivi fino al XX sec.

l'idea che non ci siano i termini vuoti, o quanto meno che si possano ignorare (v. per es. Kneale & Kneale, Storia della logica, p. 73)

•  Ma questa assunzione è molto dubbia

•  Parsons nella voce SEP sul quadrato ("The Traditional Square of

Opposition") avanza un'altra proposta molto più plausibile, che rende compatibile il quadrato con l'esistenza di termini vuoti. L'idea di base è leggere la E come: Non (si dà il caso che) ogni S è P.

•  NB: Questo è il modo in cui si esprime Aristotele in De Int.!!!!

Vantaggi dell’avere termini «vuoti»

•  Potrebbe essere giusto leggere la forma «ogni S è P» del linguaggio naturale come implicante un impegno all’esistenza di almeno un S

•  Tuttavia attualmente si preferisce renderla con ∀x(Sx → Px) perché

•  (1) sembra opportuno poter fare generalizzazioni senza impegno esistenziale

•  Tutti i trasgressori saranno puniti

•  Tutti i tachioni superano la velocità della luce

•  (2) L’impegno esistenziale si può facilmente aggiungere

•  ∀x(Sx → Px) & ∃xSx

Il quadrato ridotto (salta)

•  A E

•  I O

•  Con i termini vuoti rimangono solo le relazioni di

contraddizione

Oltre la logica del prim'ordine

Logica modale

•  Incrementiamo la logica del prim'ordine aggiungendo gli operatori modali

•  necessariamente: 

•  possibilmente: ◊

•  Necessariamente (è necessario che) la terra giri intorno al sole

•   Gts

•  Possibilmente (è possibile che) il sole gira intorno alla terra

•  ◊Gst

•  (1) ogni vincitore è necessariamente fortunato

•  (1a)

•  (1b)

Ambiguità strutturale con gli operatori modali

•  (1) ogni vincitore è necessariamente fortunato

•  (1a) ∀x(Vx →  Fx)

•  (1b)  ∀x(Vx → Fx)

Logica temporale

•  Incrementiamo la logica del prim'ordine aggiungendo gli operatori temporali

•  Nel passato: P

•  Nel futuro: F

Ambiguità strutturale con gli operatori temporali

•  (1) ogni vincitore sarà fortunato

•  (1a) ∀x(Vx → F Fx)

•  (1b) F ∀x(Vx → Fx)