Home page Analisi
Classe quinta
STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE TRIGONOMETRICA
Esempio H:
x arctg1 y
1) Classificazione e C.E.:
Funzione trascendente trigonometrica.
Il C.E. è ];0[]0;[.
2) Simmetrie :
La funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, infatti, ponendo
x arctg1 )
x (
f si ha che
x arctg1 x
arctg 1 )
x (
f
, pertanto, si è verificata la condizione
che f(x) f(x), ossia la funzione è dispari.
3) Studio del segno :
Si osserva che 0 x
arctg1 quando 0
x1 ossia quandox , quindi si ha:0
La funzione è positiva per x mentre è negativa per 0 x .0
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente”
0 x
y
- +
1
4) Intersezione con gli assi cartesiani : La funzione non interseca gli assi cartesiani.
5) Asintoti :
La funzione è asintotica all’asse delle ascisse, infatti:
0
x arctg1
limx e 0
x arctg1
limx .
Inoltre, si osserva che:
2 x arctg1
limx0 e
2 x arctg1
limx0 ,
quindi la funzione ha per x un punto di discontinuità di prima specie (di salto 0
).6) Crescenza o decrescenza :
Calcolando la derivata prima si ha:
1 x
y 21
.
Essendo la derivata prima sempre minore di zero, se ne deduce che la funzione data è sempre crescente in ];0[]0;[. La funzione non presenta estremanti.
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda si ha:
x2 1
2x y 2
.
Studiando il segno della derivata seconda si ottiene:
x 0 )1 x(:
)x(
D
0 x 0 x2:
)x(
0 N )1 x(
x2
2 2 2
2
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente” 2
Per x la derivata seconda è positiva quindi la funzione data è concava verso l’alto, mentre0 per x la derivata seconda è negativa quindi la funzione data è concava verso il basso.0
8) Flessi a tangente obliqua :
La funzione non presenta punti di flesso.
9) Grafico :
Torna su
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente”
0 x
y
- +
N(x) D(x)
3
