Laboratorio di Elettrotecnica --- Esercitazione n° 1

POLITECNICO di MILANO

−−−−

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Laboratorio di Elettrotecnica --- Esercitazione n° 1

(Sede di Cremona) Realizzazione a cura di:

ing. Edoardo Azzimonti, ing. Giovanni Vannozzi

Oggetto:

Rilievo sperimentale del transitorio di carica e di scarica di un condensatore con la visualizzazione sull’oscilloscopio delle forme d’onda caratteristiche della tensione v

C

(t) ai morsetti dello stesso bipolo dinamico condensatore.

Scopo 1:

Verificare sperimentalmente il transitorio di carica e di scarica di un condensatore e la relativa legge temporale definita dalla seguente relazione:

)

τ

)]

(

( ) ( [ ) ( )

(

_{c c c o} ^{t to}

c

t v v v t e

v = ∞ − ∞ − ⋅

^{− −}

nella quale sono identificati i seguenti parametri:

v

C

(t

O

)

= valore della tensione ai morsetti del condensatore all’istante t = tO, nota come condizione iniziale della variabile di stato tensione del condensatore;

v

_C

(∞ ∞ ∞) ∞

= tensione ai morsetti del condensatore a fine transitorio, ovvero quando il condensatore può essere modellato con l’equivalente bipolo circuito aperto;

τ ττ

τ

=

C·R

TH = costante di tempo, definita come il prodotto della capacità C del condensatore e della resistenza equivalente di Thevenin RTH sentita dal condensatore medesimo.

Scopo 2:

Verificare la differenza fra le costanti di tempo di carica ( ττ τ τ

_ca

) e scarica ( τ ττ τ

_sc

) del condensatore inserito nella rete lineare mostrata in figura 1.

Il calcolo delle costanti di tempo richiede di determinare la resistenza equivalente di Thévenin sentita dal condensatore, rispettivamente, sia per il circuito caratteristico della fase di carica sia per il circuito specifico della fase di scarica.

Si perviene, pertanto, alle scritture di seguito esplicitate:

( ) C ms

R R

R C R

R R C R

_eq

C

10 0 , 18

2 , 12

2 , 10 2

1 , 0 ) 10 10 2 , 2 (

10 2 ,

2

_{3 6 3}

2 1

2 1 2

1

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

+

= ⋅ + ⋅

=

⋅

=

=

^{− −}

τ

ms C

R C

SC

= R

₂

=

₂

⋅ = 10 ⋅ 10

³

⋅ 0 , 1 ⋅ 10

⁻⁶

= 10

⁻³

= 1 τ

v

S

R

₁

v

_R

D

1

C i

_c

v

_c

RETE RC in prova Generatore

di Segnali

Scheda BNC 2120

Blocco Generatore

Forme d’Onda

Sinusoide TTL

Ch.A R

2

ACH.3

Ch.B

(figura – 1) ACH.2

Nota:

I condensatori a disposizione per le esercitazioni del corso sono di due tipi: ceramici ed elettrolitici.

I condensatori ceramici non hanno polarità e il valore della loro capacità è inferiore rispetto a quella degli elettrolitici. Questi ultimi hanno una polarità e capacità elevate. Per distinguere il polo positivo di tale tipo di condensatori è sufficiente individuare il reoforo più lungo; qualora ciò non sia possibile basta osservare la capsula esterna: in corrispondenza del reoforo corrispondente al polo negativo è infatti tracciata una striscia nera.

I condensatori, contrariamente ai resistori, non dissipano potenza ma possiedono una tensione massima sopportabile denominata “tensione di lavoro”; oltrepassando tale valore di tensione il dispositivo si danneggia irrimediabilmente.

Preparazione della prova

Assemblare il circuito sulla bread−−−−board come mostrato nello schema elettrico di figura 4, ricordando la corrispondenza sussistente fra strumenti virtuali e canali d'ingresso della scheda di acquisizione dati BNC-2120.

Verranno utilizzati un condensatore ceramico di capacità C=0,1µF, un resistore R1 da 2,2kΩΩΩΩ ed un resistore R2 da 10kΩΩΩΩ realizzando, così, due diverse costanti di tempo dei transitori di carica (

τ ττ τ

_ca =ReqC) e di scarica (

τ ττ τ

_sc =R2C) pari, rispettivamente, a

τ ττ τ

_ca=0,18ms e (

τ ττ τ

_sc=1,00ms, come di anzi analiticamente calcolato:

τ ττ

τ

_ca= 0,18 ms ---

τ ττ τ

_sc= 1,0 ms

B A

scope graph

Figura 2: andamento della tensione ai capi del condensatore

Vin(t)=5V →

( ) ( ) ( 1

^τ

)

t c

c

t v e

v

−

−

⋅

∞

=

--- Vin(t)=0V →→→→ ( ) ( ) ^τ ) t c

c t v e

v

−

⋅

∞

= per t=5ττττ raggiungo circa il 99% del valore di regime per t=4ττττ raggiungo circa il 98% del valore di regime

Domanda: quanto vale il valore di regime relativo a Vin(t) = 5V per il nostro circuito?

Nota: a transitorio di carica esaurito, cioè a regime, la tensione ai capi del condensatore assume il valore v_C(∞∞∞∞) (valore di regime) determinato dalla legge del partitore resistivo e pari a:

( ) ( v ) V

R R V R

v

v

_{c in D in}

ON

4 , 3 0 , 82 3 , 525

2200 10000

10000 7

, ) 0

) ( (

2 1

2

= ⋅ =

⋅ +

− + =

⋅

−

=

∞

Brevi richiami teorici a fondamento della esercitazione sperimentale.

Si consideri la rete lineare di figura nella quale il generatore indipendente stazionario di tensione E può venire collegato o sconnesso dalla struttura nota come rete RC mediante il tasto S inizialmente posto nella posizione 0. All’istante t=0 il tasto S si porta nella posizione 1, sicché deve ritenersi:

E t v t

t

t ≤ < ⇒

_s

=

∀ 0

₀

( )

Atteso che la tensione ai morsetti di un condensatore è una “variabile di stato”, ovvero che le evoluzioni temporali di vC(t) non possono prescindere dalla conoscenza dello stato iniziale in cui il condensatore si trova, la sua relazione costitutiva, riferita alla convenzione degli utilizzatori, può esprimersi con le relazioni che di seguito si esplicitano:

∫

∫ ^{⋅ = + ⋅}

+

⇒ =



 



=

=

=

=

t c i

t c c

c i

t c c c c

dt t C i V dt t C i v

t v V

v t

v

dt t C dv t i

0 ) 0

0 (

) 1 (

) 1 (

) 0 ( ) ( )

0 ( )

(

) ) (

(

Col tasto S posto in posizione 1, si applichi la legge di Kirchhoff delle tensioni all’unica maglia di cui è formata la rete, tenendo conto che la tensione vR(t) ai morsetti della resistenza R è prodotta dalla corrente del condensatore C, dato che i due bipoli R e C sono collegati fra loro in serie. Si ottiene la relazione:

) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( t v t v t v t R i t v t

v

_s

=

_R

+

_c

⇒

_s

= ⋅

_c

+

_c , ovvero:

( ) ( )

)

( v t

dt t RC dv t

v

_s

=

^c

+

_c

Il modello matematico ottenuto afferisce ad una equazione differenziale lineare del primo ordine e, nell’ipotesi di invarianza nel tempo dei parametri R e C [R(t)=R = cost e C(t) =C= cost], anche a coefficienti costanti.

Attesa la particolarità della funzione vS(t)=E=cost, nell’intervallo di tempo 0≤≤≤≤t<tO, lo studio dell’equazione differenziale può ricondursi ad una semplice integrazione relativa alla tipologia delle equazioni differenziali a variabili separabili. Infatti si può relazionare come di seguito esplicitato:

RC dt E

t v

t E dv

t dt v

t RC dv

c c c

c

1

) (

) ) (

) (

( = −

⇒ −

−

=

−

Applicando l’operatore di integrazione definita dall’istante t=0 all’istante generico t<tO, si ottiene:

∫ ∫

∫ ∫ ^{= −}

⇒ −

−

− =

t t

c c

t t

c

c

dt

RC E

t v

t dt dv

RC E

t v

t dv

0 0

0 0

1 )

( ) 1 (

) (

) (

Osservando che:

d [ v

_c

( t ) − E ] = dv

_c

( t )

, al numeratore della frazione relativa all’integrale a primo membro compare la derivata della funzione posta a denominatore; pertanto si può relazionare come segue:

[

_{e c}

⁻ ]

^t

^{= −} _ ^ t

^t

_ ^ E RC

t

v

₀

0

) 1 (

log

, ovvero:

) 0 1 (

) 0 ( log )

(

log − − − = − t −

E RC v

E t

v

_{c e c}

e ++ ++

−−

−−

0

2 1

E

_vS(t)

C

R

vC(t) iC(t) vR(t)

E vS

tO t

S

(figura 6)

Riprendendo quanto asserito in merito alle condizioni iniziali di vC(t), cioè

v

_C

(0) = V

_i, nonché le proprietà dei logaritmi, si ottiene la scrittura:

E V

E t e v

RC t E

V

E t v

i RC c

t i

e c

−

= −

− ⇒

− =

−

₋

( )

)

log (

^{( )}

ovvero, osservando che l’argomento del logaritmo è sempre positivo e quindi si scioglie il valore assoluto, si perviene alla forma equivalente:

) 1 ( )

( )

( )

( )

(

_i ^{( t RC)} _{c i} ^{( t RC)}

c

t E V E e v t E E V e

v − = − ⋅

⁻

⇒ = − − ⋅

⁻

Si osservi che per t=0s la relazione fornisce coerentemente

v

_C

(0) = v

_i, mentre per t→→→→ ∞∞∞∞ si ottiene vC(∞∞∞∞) = E. Parimenti, giova ricordare che nel caso di condensatore inizialmente scarico, ovvero condizioni iniziali nulle vC(0) = Vi = 0V, si perviene alla relazione:

) 2 ( ) 1

( )

(

^{( t RC) t RC}

c

t E E e E e

v = − ⋅

⁻

= ⋅ −

⁻

Il risultato conseguito tramite la relazione (1) è di validità generale ed è noto nella forma seguente:

) . 1 ( ]

) ( [ ) ( )

( t v v V e

^{( )}

bis

v

_c

=

_c

∞ −

_c

∞ −

_i

⋅

^{−t RC}

Nota la tensione vC(t), il calcolo della corrente iC(t) è univocamente determinato facendo ricorso alla relazione costitutiva del bipolo condensatore; infatti, si relaziona nel modo seguente:

1 ) ( ]

) ( [ }

] ) ( [ ) ( ) {

) (

( v v V e C v V e RC

dt C d dt

t C dv t

i

_c

=

^c

=

_c

∞ −

_c

∞ −

_i

⋅

^{−t RC}

= − ⋅

_c

∞ −

_i

⋅

^{−t RC}

−

da cui, operando le dovute semplificazioni algebriche, si perviene alla seguente scrittura finale:

RC c t

RC i t

c c

e I e

R V t v

i ∞ − ⋅

⁻

=

⁺

⋅

⁻

= [ ( ) ] ( 0 )

)

(

, in cui si è posto:

R V I

_c

[ v

^c

( )

ⁱ

]

) 0

( ∞ −

+

=

La ricerca dell’attribuzione dimensionale al prodotto RC fornisce l’analisi seguente:

ondi I t

t I I

Q I

V V R Q C

CR [ ] sec

] [

] [ ] ] [

[ ] [ ]

[ ⋅ = =

 =

 

= 

 

 

 ⋅

 

= 

⋅

=

Per questo motivo, la grandezza

ττ τ τ = RC

viene definita “costante di tempo”. Essa caratterizza tutte le prestazioni dinamiche del transitorio afferente una rete RC sottoposta a segnali caratterizzati da variazioni lineari a tratti (successione di gradini).

Riferendosi al caso espresso dalla relazione (2), si determini il valore assunto dalla tensione vC(t) ai morsetti del condensatore all’istante di tempo t = ττττ, ovvero, dopo un intervallo di tempo dall’istante t=0s e pari alla costante di tempo ττττ; si ottiene:

) 3678 , 0 1 ( )

1 ( )

1 ( )

1 ( )

(

¹

) ) (

(

 = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ −



 



 ⋅ −

=

^{− −}

=

−

=

E e E e E e E

t

v

^RC

t RC t

c t τ

τ τ

ovvero:

( ) 0 , 632 ( ) 63 , 2 % ( 3 )

)

(

E v E

t

v

_c

c t

= ⋅ ⇒ = ⋅

=

τ

τ

La relazione (3) costituisce una seconda definizione per la costante di tempo ττττ. Infatti, la costante di tempo ττττ definisce il tempo necessario alla tensione vC(t) ai morsetti del condensatore per conseguire il 63,2% del suo valore finale di regime.

La ricerca del valore assunto dalla corrente iC(t) del condensatore all’istante di tempo t = ττττ, ovvero, dopo un intervallo di tempo dall’istante t = 0 pari alla costante di tempo fornisce la relazione:

) 0 ( 368 , 0 )

0 ] (

) ( [ ]

) ( ) [

(

^{1 1}

) ) (

(

+

− +

−

=

−

=

∞ − ⋅ = ⋅ ≅

 =

 





 



− ⋅

= ∞

^{c i} _{c c}

t RC i t

c

c t

e I e I

R V e v

R V t v

i

τ τ

Quanto ora ottenuto costituisce una terza definizione di costante di tempo ττττ. Infatti, la costante di tempo ττττ definisce il tempo necessario alla corrente iC(t) del condensatore per conseguire il 36,8%

del suo valore iniziale.

Si definisce tempo di assestamento

T

_a il tempo impiegato dalla tensione vC(t) ai morsetti del condensatore per conseguire il 99% del valore finale di regime vC(∞∞∞∞), ovvero il tempo dopo il quale la tensione vC(t) ai morsetti del condensatore entra stabilmente in una fascia dell’1% del valore finale di regime.

Pertanto, con riferimento alla situazione circuitale espressa dalla relazione (2) si può relazionare come di seguito esplicitato:

E e

E e

E t

v

^{T RC}

T t RC t T

c t ^a

a

( 1 )

a

( 1 ) 99 %

) (

) ) (

(

 = ⋅ − =



 



 ⋅ −

=

⁻

=

−

= , ed ancora:

RC T RC

T RC

T

a a

a

e e

E e

E 1

100 99 1

, 0 100 1

) 99 1

( − = ⇒ − = ⇒ =

⋅

^{− −}

L’algebra ordinaria assicura che se due frazioni sono uguali ed hanno uguali altresì il numeratore allora devono avere uguale anche il denominatore; consegue, pertanto, che:

5 τ 6

, 4 100

log

100 ⇒ = ⇒ = ⋅ ≅

= T RC

RC

e

^{Ta RC}

T

^a _{e a}

Si riprenda in considerazione il circuito mostrato in figura 6. All’istante

t

_O

> T

_a il tasto S si porti in posizione 2. Il condensatore si è completamente caricato (cioè, può ritenersi modellato dal bipolo circuito aperto) per cui è ovvia la posizione che esprime la condizione iniziale nei confronti del nuovo transitorio dovuto alla commutazione del tasto S:

E t

v t

v

_{c o}

t c t

o

= =

=

( )

)

(

_{( )}

L’analisi richiesta del transitorio per ogni istante di tempo t ≥≥≥≥ t_O deve attivarsi con riferimento alla rete riportata nella figura 7.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni consente di relazionare come segue:

) ) (

) ( ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( v t

dt t RC dv t

v t

v t i R t v t

v t v t

v

_s

=

_R

+

_c

⇒

_s

= ⋅

_c

+

_c

⇒

_s

=

^c

+

_c

Atteso che vS(t)=0V, per tutti gliistanti di tempo afferenti l’analisi in corso (tasto S in posizione 2), si perviene alla seguente relazione:

RC dt t

v t dv RC

t v dt

t t dv

dt v t RC dv

c c c

c c

c

+ ⇒ = − ⇒ = −

= ( )

) ( )

( )

) ( ) (

0 (

Il modello matematico ottenuto è ancora un’equazione differenziale lineare del primo ordine con coefficienti costanti inquadrabile nella tipologia delle equazioni a variabili separabili; pertanto, la procedura risolutiva attiva l’operazione di integrazione membro a membro. Si ottiene la scrittura di seguito riportata:

[ ] ^

 

 

− 

⇒ =

−

⇒ =

−

= ∫ ∫ ∫

∫

e c ^t_t ^t_t

t

t t

t c c t

t t

t c c

o o o

o o

o

RC t t

v RC dt

t dt v

t v RC

dt t

v t

dv 1

) ( 1 log

) (

) ( ' )

( ) (

+ + ++

−

−

−−

0

2 1

E

_vS(t)=0

C R

vC(t) iC(t)

vR(t)

E vS

tO>Ta

t

S

+ + + +++++++++++++ + + + +++++

(figura 7)

vC(to)

Ricordando le proprietà dei logaritmi e quando in precedenza postulato in relazione alle condizioni iniziali vC(tO)=E, si ottengono le scritture che di seguito si esplicitano:

RC t t t

v t v RC

t t t

v t

v

^o

o c e c o o

c e c

e

) ( ) (

) log (

) ) (

( log ) (

log −

−

⇒ =

− −

=

−

, ovvero:

RC t t o

c c

o c RC c

t

t _{o o}

e t v t t v

v t e v

) ( )

(

) ( ) ) (

( ) (

− −

− −

⋅

⇒ =

=

, essendo:

0 t t

o

) (

)

( ≥ ∀ ≥

o c

c

t v

t v

Si noti che per t→→→→∞∞ si ottiene v∞∞ C(∞∞∞)∞ =0V; cioè, a regime, il condensatore ritorna completamente scarico.

La considerazione relativa alla situazione vC(∞∞∞∞)=0V consente poi di osservare che la relazione che fornisce l’andamento temporale della tensione vC(t) per ogni t > tO è quanto in realtà logicamente si deduce dalla (1bis) ponendo: vC(∞∞∞∞)=0, Vi=vC(tO) con traslazione temporale pari a (t–tO); infatti:

RC t t o

RC c t t o

c t

t t v V t v i c

c c

o o

o o c i

c

v t e v t e

e V v

v t v

) ( )

(

) (

) (

0 )

(

0 [ 0 ( )] ( )

] ) ( [ ) ( ) (

− −

− −

−

=

=

− ∞

⋅

=

⋅

−

−

=

⋅

−

∞

−

∞

=

^τ

Relativamente alla determinazione della corrente iC(t) per ogni t > tO, si ricorre alla nota relazione costitutiva, ovvero:

} )

( ) {

) (

(

^c _{c o} ^{t RC}

c

v t e

dt C d dt

t C dv t

i = = ⋅

⁻ , ovvero:

RC t o t

RC c t o t

RC c t o t

c

c ^o

e

^o

I t e

^o

R t v e RC

t v C t

i

^{( )}

( )

^{( )}

( )

^{( )}

1 ) ( )

( )

( = ⋅ ⋅

^{− −}

− = − ⋅

^{− −}

=

⁺

⋅

^{− −}

I grafici afferenti gli andamenti temporali delle grandezze di interesse sono riportati nella figura.

Si osservi che anche per la corrente iC(t), la relazione ora ottenuta consegue dalla scrittura generale:

RC i t

c c

e

R V t v

i ∞ − ⋅

⁻

= [ ( ) ] )

(

allorché si ponga vC(∞∞∞∞)=0; Vi=vC(tO) contestualmente ad una traslazione temporale pari a (t – tO), come evidenziato nella relazione di seguito riportata:

τ

τ ( )

) ( )

(

) (

0 ) (

) ( )]

( 0 [ ]

) ( ) [

(

^{o o}

o o c i c

t o t

t c o t

c t

t t v V RC v i t

c c

e

R t e v

R t e v

R V t v

i

^{− − − −}

−

=

=

− ∞

⋅

−

=

− ⋅

=

− ⋅

= ∞

In conclusione si può asserire che il transitorio, relativo alla carica e alla scarica di un condensatore, è regolato dalle seguenti leggi temporali:

) (

)

)]

(

( ) ( [ ) ( )

(

_{c c c o} ^{t t R C}

c

t v v v t e

^{o TH}

v = ∞ − ∞ − ⋅

^{− −}

) (

) ( )

(

( )

)]

( ) ( ) [

(

^{t t R C} _{c o} ^{t t R C}

TH o c

c c

e

^{o TH}

I t e

^{o TH}

R t v t v

i ∞ − ⋅

^{− −}

=

⁺

⋅

^{− −}

=

Per completezza si riporta il programma relativo alla simulazione software, mediante PSpice, della rete oggetto della presente prova di laboratorio.

TRANSITORIO RETE RC VS 1 0 PULSE(0 5 0 0 0 1M 2M) D1 1 2 D1N4002

R1 2 3 2.2K R2 3 0 10K

C1 3 0 100NF IC=0V .LIB NOM.LIB

.TRAN 2US 6MS 0 2US UIC .PRINT TRAN V(3) I(C1) .PROBE

.END