= Circuito a costanti concentrate

(1)

Circuito a costanti concentrate

Il contributo dei cavetti di collegamento a resistenza, capacita' ed induttanza del circuito e' trascurabile:

resistenza, capacita' (ed induttanza) sono solo quelle concentrate all'interno dei componenti.

Il tempo di propagazione dei segnali lungo i conduttori del circuito e' piccolo rispetto ai tempi su cui il segnale varia.

periodo tempo di variazione

=

(2)

Linee di trasmissione

Linea di trasmissione bifilare (piattina)

Linea di trasmissione coassiale Se un sistema di conduttori non e' a costanti concentrate, allora e' a costanti distribuite.

Un sistema a costanti distribuite composto da due conduttori paralleli, a sezione uniforme e caratteristiche costanti su tutta la lunghezza e' una linea di trasmissione.

Linea bifilare intrecciata (twisted)

(3)

Linee di trasmissione

In una linea di trasmissione resistenza, capacita', induttanza e conduttanza sono distribuiti su tutta la lunghezza della linea

C capacita' L induttanza R resistenza

G conduttanza

}

per unita' di lunghezza

Z = R + jL impedenza

Y = G + jC ammettenza

}

per unita' di lunghezza

(4)

Linee di trasmissione bilanciata

(5)

∂ V

∂ x =−Z I ∂ I

∂ x =−Y V

^con

Z =R j  L Y =G jC

Variazione di tensione e corrente lungo la linea:

(6)

∂ V

∂ x =−Z I ∂ I

∂ x =−Y V

∂

²

V

∂ x

²

=−Z ∂ I

∂ x

∂

²

I

∂ x

²

=−Y ∂ V

∂ x

∂

²

V

∂ x

²

− Z Y V =0 ∂

²

I

∂ x

²

−Z Y I=0

Equazioni dei telegrafisti

derivando rispetto a x:

e sostituendo:

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

(7)

V  x =V

₁

e

^ ^x

V

₂

e

^−^x

Soluzione delle equazioni dei telegrafisti

Se la linea non ha perdite:

I  x=I

₁

e

^ ^x

 I

₂

e

^−^x

 = j =  ^{Z Y =}  ^ R j  LG jC 

R=0 G=0  = j  = j   ^{L C}

V ed I sono anche dipendenti dal tempo:

V  x ,t =V

₁

e

j  t x

V

₂

e

^{jt − x}

I  x , t=I

₁

e

^{jt  x}

 I

₂

e

^{jt − x}

Segnale che si propaga lungo la linea

}

: costante di attenuazione (neper/m) : costante di fase (radianti/m)

∂

²

V

∂ x

²

− Z Y V =0 ∂

²

I

∂ x

²

−Z Y I=0

(8)

 t± x = cost

Velocita' di propagazione

u = dx

dt = ∓ 

 = ∓ 1

 ^LC

V  x ,t  = V

₁

e

j t  x

V

₂

e

j t − x

u = − 

 u =  



Onda regressiva: si propaga da destra verso sinistra Onda progressiva: si propaga da sinistra verso destra

(9)

Velocita' di propagazione

u = ω β = 1

√ μ ϵ

Per il cavo coassiale:

 =  ^{L C}

L=⋅log  D

₂

/ D

₁

 2  C=⋅ 2 

log D

₂

/ D

₁



 =  ^{ }

}

e se il dielettrico e' il vuoto (o l'aria):

u

₀

= ω β = 1

√ μ

₀

ϵ

₀

= c

Nei cavi di laboratorio con polietilene come dielettrico:

 / ₀ = 1  / ₀ ≃ 2.3 u ≃ c / 1.5

(10)

Linea di trasmissione coassiale per grosse potenze, con dielettrico aria.

Diametro conduttore interno: 32 mm

Diametro conduttore esterno: 76 mm

Potenza massima: 300 kW a 2 MHz

(11)

Lunghezza d'onda

V  x ,t =V

₁

e

j  t x

V

₂

e

^{jt − x}

I  x , t=I

₁

e

^{jt  x}

 I

₂

e

^{jt − x}

La tensione e la corrente si ripetono nello spazio con la periodicita' x = 2 .

La quantita'  = 2  /  e' la lunghezza d'onda del segnale.

Un circuito e' a costanti concentrate quando l <<  (l = dimensioni del circuito).

(12)

Linea con perdite condizioni di Heaviside

 =  ^{Z Y =}  ^ R j  LG j C  =  j

In generale  non e' proporzionale a  e la velocita' di propagazione /β e' funzione della frequenza. La linea presenta dispersione. Se si verificano le condizioni di Heaviside

si ha e

L R = C

G =  ^{R G} ^{ =}  ^{L C}

Il coefficiente  descrive l'attenuazione del segnale lungo la linea per effetto delle perdite:

V  x ,t =V

₁

e

^^x

e

^{j t x}

 V

₂

e

^−^x

e

^{jt − x}

L'attenuazione di un cavo in decibel e':

A = 20⋅log

₁₀

 e

^±^x

 = ±20⋅ x log

₁₀

 e ≃ ±8.7  x

cioe' 8.7 dB/m.

R≠0 G≠0

(13)

Impedenza caratteristica della linea

Il rapporto tra tensione e corrente varia da punto a punto lungo la linea:

V  x

I  x = V

₁

e

^^x

V

₂

e

^− ^x

I

₁

e

^^x

I

₂

e

^−^x

∂ V

∂ x =−Z I ^{I  x = −} _Z ¹ ^∂ _∂ ^V _x ^{= −} ^ _Z ^V

1

e

^^x

 

Z V

₂

e

^{− }^x

I

₁

= −  ^Y ^Z ^V

¹

^I

²

⁼  ^Y ^Z ^V

²

V  x

I  x =  ^Y ^Z ^⋅ ^−V ^V

¹¹

^e ^e

^^^x

^

^x

^V ^V

²

^e

²

^e

^−^−^x^x

Confrontando le due espressioni per I(x):

V

₂

 x

I

₂

 x  =  ^Y ^Z ⁼ ^Z

⁰

In presenza del solo segnale diretto:

impedenza caratteristica

della linea

 ^{Z Y = }

costante di propagazione

della linea

( γ= √ ^{Z Y )}

(14)

Se R_L = Z₀, V(x) / I(x) = Z₀ lungo tutta la linea ed anche alla terminazione AA' in x=0.

Si ha la sola onda diretta V₂ e^jx che si propaga da sinistra verso destra.

Se R_L ≠ Z₀, le condizioni al contorno in x=0 possono essere soddisfatte solo considerando anche un'onda riflessa V₁ e^jx che si propaga da destra verso sinistra:

V 0

I 0 = Z

₀

⋅ V

₁

e

^{j  x}

 V

₂

e

⁻^{j  x}

− V

₁

e

^^{j  x}

V

₂

e

⁻^{j  x}

= Z

₀

⋅ V

₁

 V

₂

−V

₁

V

₂

= R

_L

V

₁

V

₂

= R

_L

− Z

₀

R

_L

 Z

₀

= 

_v Coefficiente di riflessione di tensione

Riflessione

(15)

Onde stazionarie

∣ V (x ,t )∣

²

= ∣ e

^{j ω t}

∣

²

⋅ (V

₁

e

^{j βx}

+ V

₂

e

⁻^{j βx}

) ⋅ ( V

₁

e

^{j βx}

+V

₂

e

⁻^{j β x}

)

^∗

=

∣V

₁

∣

²

+∣ V

₂

∣

²

+ 2∣V

₁

∣⋅∣V

₂

∣⋅ cos(2β x +cost.)

L'onda diretta e riflessa si sommano dando interferenza. L'ampiezza del segnale oscilla lungo la linea:

V  x ,t  = V

₁

e

j t  x

 V

₂

e

j  t − x

SWR = ∣V

₂

∣∣V

₁

∣

∣V

₂

∣−∣V

₁

∣

Il rapporto tra l'ampiezza massima e la minima del segnale lungo la linea e' il rapporto di onde stazionarie (Standing Wave Ratio)

(16)

Il generatore che invia il segnale alla linea vede una impedenza diversa da quella di terminazione all'altra estremita' della linea.

Z x  = V  x 

I  x = R

₀

⋅ V

₁

e

^{j  x}

V

₂

e

⁻^{j  x}

−V

₁

e

^^{j  x}

V

₂

e

⁻^{j  x}

= R

₀

⋅ Z

_L

 e

^{j  x}

e

⁻^{j  x}

− R

₀

 e

^{j  x}

− e

⁻^{j  x}



−Z

_L

 e

^{j  x}

− e

⁻^{j  x}

 R

₀

 e

^{j  x}

− e

⁻^{j  x}



= R

₀

Z

_L

− j R

₀

tan  x  R

₀

− j Z

_L

tan  x 

Trasformazione di impedenza

(17)

Trasformazione di impedenza

Linea di trasmissione in cortocircuito con R₀ = 50 .

Linea di trasmissione aperta con R₀ = 50 .

Linea con perdite Linea senza perdite

La frequenza f_ e' quella per cui la lunghezza d'onda  e' uguale alla lunghezza della linea.

(18)

Segnali a banda larga e a banda stretta

Segnale audio: 20 Hz – 20 kHz Impulsi da fotomoltiplicatore: 20 kHz – 500 MHz Segnale televisivo in banda UHF, canale 61: 790 – 798 MHz

(19)

Propagazione di un segnale a banda larga

(20)

Riflessione di un segnale

a banda larga

(21)

Riflessione di un segnale a gradino

(22)

Oscilloscopio Tektronix 2245A

(23)

Generatore di funzioni hp8111A

(24)

1) Misurare, in trasmissione o in riflessione, la lunghezza elettrica T_L della linea.

2) Dal valore di T_L e dalla lunghezza geometrica calcolare la velocita' di propagazione dei segnali lungo la linea e la costante dielettrica dell'isolante interno.

3) Terminare la linea con una resistenza variabile (0 ... 100 ); dalla condizione di riflessione nulla verificare l'impedenza caratteristica.

4) Misurare l'impedenza complessa della linea aperta per alcune frequenze, comprese tra 0 e 1 / T_L. Tra la tensione V₀ che si ha all'oscilloscopio con la linea non collegata e la tensione V₁ che si ha con la linea collegata vale la relazione:

V₁ = V₀ Z_L / (50  + Z_L)

Dai valori complessi (modulo e fase) di V₀ e V₁ calcolare il valore (complesso) di Z_L (sincronizzare oscilloscopio e generatore tramite trigger.

Misure su una linea di trasmissione

(25)

Misura della lunghezza elettrica di una linea di trasmissione

Il generatore ha una resistenza di uscita di 50 

Linea a 50 

L'oscilloscopio ha una impedenza di ingresso di 1 M

(e 20 pF) e permette di “osservare” il segnale al passaggio senza interferire

Terminazione della linea Segnale inviato

dal generatore Segnale riflesso con linea aperta

Segnale riflesso con linea in cortocircuito

t t V V

2 T 2 T

_L_L

generatore di impulsi

oscilloscopio

Misura in riflessione

(26)

Linea a 50  Segnale all'inizio

della linea

t t V V

T T

_L_L

Segnale alla fine della linea

Terminazione

Misura in trasmissione

1) Misurare, in trasmissione o in riflessione, la lunghezza elettrica T_L della linea.

2) Dal valore di T_L e dalla lunghezza geometrica calcolare la velocita' di propagazione dei segnali lungo la linea e la costante dielettrica dell'isolante interno.

Misura della lunghezza elettrica di una linea di trasmissione

(27)

Misura della impedenza caratteristica di una linea di trasmissione

Linea a 50 

Segnale inviato

dal generatore Segnale riflesso con linea aperta

Segnale riflesso con linea in cortocircuito

t t V V

2 T 2 T

_L_L

Terminazione della linea

Linea di impedenza Z

3) Terminare la linea con una resistenza variabile (0 ... 100 ); dalla condizione di riflessione nulla verificare l'impedenza caratteristica.

(28)

Linea aperta trigger

Misura dell'impedenza trasformata da una linea di trasmissione generatore di segnale sinusoidale

a frequenza variabile oscilloscopio

V₁

V₀= Z_L

50Ω+Z_L ^V⁰ tensione all'oscilloscopio con linea non collegata V₁ tensione all'oscilloscopio con linea collegata Z_L Impedenza equivalente della linea

4) Misurare l'impedenza complessa della linea aperta per alcune frequenze, comprese tra 0 e 1 / T_L

V

₀

, V

₁

e Z

_L

sono quantita' complesse

Z_L=50 Ω⋅ 1

V₀/V₁−1

= Circuito a costanti concentrate