Equazioni differenziali - 1

Equazioni differenziali - 1

Antonino Polimeno

Universit`a degli Studi di Padova

Equazioni differenziali - 1

Un’equazione differenziale `e un’equazione la cui soluzione `e costituita da una funzione incognita in una o pi`u variabili

indipendenti, in cui compaiono anche le derivate (o i differenziali) della funzione incognita

F x1, x2, . . . , xn, y , . . . ,∂^(a1+...+an)y

∂x₁^a1. . . xn^an

, . . .

!

= 0

I Sistema di equazioni differenziali

F₁ x₁, x₂, . . . , x_n, y₁, . . . , y_m, . . . ,∂(a11+...+a1n)y₁

∂x₁^a11. . . x_n^a1n , . . . , ∂(am1+...+amn)y_m

∂x₁^am1. . . x_n^amn, . . .

!

= 0

. . .

F_m x₁, x₂, . . . , x_n, y₁, . . . , y_m, . . . ,∂(a11+...+a1n)y₁

∂x₁^a11. . . x_n^a1n , . . . , ∂(am1+...+amn)y_m

∂x₁^am1. . . x_n^amn, . . .

!

= 0

Equazioni differenziali - 2

Esempi:

I sistema di equzioni: equazioni che descrivano la cinetica di un meccanismo di reazione

I equazione differenziale ordinaria: equazione di Schr¨odinger che descrive un autostato ψ_n(x ) di un oscillatore armonico monodimensionale

I equazione differenziale alle derivate parziali: equazione di Schr¨odinger dipendente dal tempo che descrive un stato generico ψ(x , t) di un oscillatore armonico monodimensionale N.B.Un’equazione differenziale ammette infinite soluzioni

y₁, . . . , y_m. L’univocit`a della soluzione `e ottenuta solo specificando le condizioni al contorno e/o le condizioni iniziali.

Equazioni differenziali ordinarie - 1

Forma esplicita d^ay

dx^a = f x , y ,d^yx

d ,^y . . . ,d^a−1y dx^a−1

!

Una soluzione univoca si ottiene date a condizioni iniziali:

y (x₀) = y₀ dy

dx    x =x0

= y⁰₀ . . . d^ay

dx^a    x =x0

= y₀^(a)

oppure condizioni al contorno, che stabiliscono il comportamento della funzione incognita in pi`u di un punto

Equazioni differenziali ordinarie - 2

Esempi:

I La concentrazione di una specie chimica [A] in un reattore chiuso, che sia descritta da un cinetica di ordine r

d [A]

dt = −k[A]^r [A]_t=0= [A]₀

I Gibbs-Duhem: x `e la frazione molare del soluto, e µH<sub>2</sub>O(x ) `e una funzione nota che descrive il potenziale chimico dell’acqua in soluzione in funzione della frazione molare del soluto, abbiamo che

d µsoluto

dx = −1 − x x

d µ_H2O

dx µsoluto(1) = µ^∗_soluto

I Equazione di Schr¨odinger per gli autostati di una particella che si muova in una scatola 1D di lunghezza L

−~² 2m

d²Ψ(x )

dx² = E Ψ(x ) Ψ(0) = Ψ(L) = 0

Equazioni differenziali ordinarie - 3

Integrazione semplice ^dy_dx = f (x )::

y (x ) = y (x₀) + Z x

x0

f (u)du

Variabili separabili M(x )dx + N(y )dy = 0:

Z x

x0

M(u)du + Z y

y0

N(v )dv = 0

Equazione lineare

y⁰ = z⁰e⁻ Rx

x0a(u)du

− zae⁻ Rx

x0a(u)du z⁰e⁻

Rx x0a(u)du

+ b = 0 ⇒ z = y0−

Z_x x0

b(v )e Rv

x0a(u)du dv

y = e⁻

Rx x0a(u)du"

y₀− Z_x

x0 b(v )e

Rv x0a(u)du

dv

#

Equazioni differenziali ordinarie - 4

Ordine maggiore di 1: il caso pi`u semplice, dⁿy

dxⁿ = f (x ) si risolve integrando ripetutamente f (x ):

y =

n−1

X

k=0

(x − x₀)^k k! y₀^(k)+

Z x x0

Z u1

x0

. . . Z un−1

x0

f (u_n−1)Πⁿ⁻¹_k=1du_k

L’integrale multiplo per`o si pu`o scrivere come

y =

n−1

X

k=0

(x − x₀)^k

k! y₀^(k)+ 1 (n − 1)!

Z x

x0

(x − u)ⁿ⁻¹f (u)du

in generale i metodi di soluzione analitici semplici sono rari e comunque riconducibili alla soluzione di sistemi di equazioni differenziali.

Equazioni lineari - 1

y⁽ⁿ⁾+ a1y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + an−1y⁰+ any = f

1. f , a1, . . . , ansono funzioni in x , se f = 0 l’equazione si dice omogenea

2. Se a₁, . . . , a_n sono costanti abbiamo un’equazione lineare a coefficienti costanti

3. condizioni iniziali y (x0) = y0, ^dy_dx

  _{x =x}

0

= y⁰₀≡ y₀⁽¹⁾, . . . , dⁿ⁻¹y dxⁿ⁻¹    x =x₀

= y₀⁽ⁿ⁻¹⁾ 4. equivalente alla soluzione di un sistema di n equazioni differenziali

del primo ordine: z1= y , z2= y⁰, z3= y⁰⁰ e cos`ı via fino a z_n= y⁽ⁿ⁻¹⁾

z₁⁰ = z₂ z₂⁰ = z₃

. . . z_n−1⁰ = z_n

z_n⁰ = −a₁z_n−1− a₂z_n−2− . . . − a_nz₁+ f

Equazioni lineari - 2

Definendo i vettori z = (z1, . . . , zn)^T, f = (0, . . . , f )^T e la matrice

A =









0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

. . . .

−a_n −a_n−1 −a_n−2 . . . −a₁









otteniamo

d z

dx = Az + f z(x₀) = z₀

il vettore z0 `e formato dai valori iniziali delle derivate di y (x ) in x0. La soluzione di una equazione differenziale ordinaria lineare di ordine n si pu`o sempre ricondurre alla soluzione di un sistema lineare di n equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine (il contrario `e anche, generalmente, vero).

Equazioni lineari - 3

L’equivalenza equazione differenziale ordinaria di ordine n / sistema di n equazioni differenziali ordinarie `e sempre vera (non solo per ilc aso lineare)

y⁽ⁿ⁾= F (x , y , y⁰, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾) (1) definire z₁= y , z₂ = y⁰, z₃= y⁰⁰ e cos`ı via fino a z_n= y⁽ⁿ⁻¹⁾, ottenendo

z₁⁰ = z₂ z₂⁰ = z3

. . . (2)

z_n−1⁰ = zn

z_n⁰ = −F (x, z₁, z₂, . . . , z_n−1)

Equazioni lineari - 4

Equazione omogenea: f = 0 e n soluzioni linearmente indipendenti yi, con i = 1, . . . , n

y =

n

X

i =1

ciyi

dove le costanti c_i si possono determinare sulla base delle condizioni iniziali, risolvendo un sistema lineare. La condizione di indipendenza lineare di n funzioni si pu`o trovare calcolando il wronskiano

∆(x ) = det









y1 y2 . . . yn

y₁⁰ y₂⁰ . . . y_n⁰ . . . . . . . . . . . . y₁⁽ⁿ⁻¹⁾ y₂⁽ⁿ⁻¹⁾ . . . yn⁽ⁿ⁻¹⁾









≡ ∆(x0)e⁻

Rx x0a1(u)du

le n soluzioni sono linearmente indipendenti se e solo se il wronskiano non `e identicamente nullo.

Equazioni lineari - 5

Equazione non omogenea: f 6= 0, ¯y `e una soluzione particolare, y_i, con i = 1, . . . , n sono n soluzioni linearmente indipendenti

y = ¯y +

n

X

i =1

ciyi

se conosciamo le yi `e possibile trovare una soluzione particolare dell’equazione non omogenea

1. risolvere il sistema in n funzioni incognite ¯y_i⁰

¯

y₁⁰y₁+ . . . ¯y_n⁰y_n = 0

¯

y₁⁰y₁⁰+ . . . ¯yny_n⁰ = 0 . . .

¯

y₁⁰y₁⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . ¯y_n⁰y_n⁽ⁿ⁻¹⁾ = f

2. calcolare per integrazione, note le derivate ¯y_i⁰, le funzioni ¯yi

3. costruire la soluzione particolare ¯y come ¯y =Pn i =1¯yiyi

Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti - 1

˙x(t) = Ax(t) + f(t) x(t0) = x0

dove A `e una matrice a coefficienti costanti n × n Caso omogeneo f = 0

x(t) = e^A(t−t0)x₀ e^At = 1 + At +1

2A²t⁺. . . =

∞

X

k=0

1 k!A^kt^k Caso non-omogeneo f 6= 0

x(t) = e^At

Z t t0

e^−Aτf(τ )d τ + e^−At0x0



Posto AV = VΛ, dove Λ `e la matrice diagonale degli autovalori di A e V la matrice degli autovettori, f (A) = Vf (Λ)V⁻¹

x(t) = VeΛ^tV⁻¹x0 omogeneo x(t) = VeΛ^t

Z t t0

e⁻ΛτV⁻¹f(τ )d τ + e⁻Λt0V⁻¹x0



non − omogeneo

Equazioni alle derivate parziali - 1

Equazione differenziale lineare alle derivate parziali di secondo ordine:

n

X

i ,j =1

a_ij(x) ∂²y

∂xi∂xj

+

n

X

i =1

b_i(x)∂y

∂xi

+ c(x)y = f (x )

I Operatore vettore gradiente:

∇ =













∂

∂x₁

∂

∂x₂ . . .

∂

∂x₂













(3)

I La divergenza di un vettore v(x) di funzioni in x, `e il prodotto scalare del vettore gradiente con v:

∇^Tv =

n

X

i =1

∂v_i

∂xi Forma compatta:

n X i ,j =1

∂

∂x_ia_ij(x)∂y

∂x_i + n X i =1

b_i(x)∂y

∂x_i + c(x)y = (∇^TA∇ + b^T∇ + c)y = f

dove A `e la matrice di funzioni a<sub>ij</sub>, b `e il vettore di funzioni b_i(modificate).

Equazioni alle derivate parziali - 2

Equazione di Schr¨odinger descrive la funzione d’onda di un sistema rispetto alle coordinate x;

i ~∂Ψ

∂t = −~² 2

n

X

i =1

1 m_i

∂²Ψ

∂x_i² + V (x)Ψ = ˆHΨ

Equazione di diffusione descrive la concentrazione di un soluto in tre dimensioni, cio`e con i , j = 1, 2, 3

∂C

∂t =X

ij

∂

∂x_iDij

∂C

∂x_j + S

S `e una funzione che descrive i flussi in entrata e in uscita del soluto

Equazioni alle derivate parziali - 3

Le equazioni differenziali lineari alle derivate parziali di secondo ordine sono classificabili in un un punto dato x₀

ellittiche se gli autovalori di A in x0 sono tutti positivi o tutti negativi

paraboliche se gli autovalori di A in x₀ sono tutti positivi o tutti negativi, meno uno che `e nullo

iperboliche se gli autovalori di A in x₀ sono tutti positivi, meno uno che `e negativo, o se sono tutti negativi, meno uno che `e positivo

ultraiperboliche in tutti gli altri casi

L’equazione di diffusione e l’equazione di Schr¨odinger sono entrambe paraboliche.

N.B. Per`o L’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo

−^~₂² Pn i =1

1 mi

∂²Ψ

∂x_i² + V (x)Ψ = ˆHΨ = E Ψ `e una equazione ellittica.

Condizioni al contorno - 1

I Dato un processo chimico o fisico descritto da un’equazione differenziale alle derivate parziali nelle n variabili (reali) indipendenti x, si definir`a una regione dello spazio D ⊂ Rⁿ detta dominio di definizione dell’equazione.

I Al dominio D possiamo associare una frontiera F

I Per la definizione di una soluzione univocamente definita `e necessario stabilire delle condizioni aggiuntive in D, dette condizioni al contorno

Condizioni al contorno - 2

Condizioni di Cauchy per le equazioni iperboliche e paraboliche

y |_x∈F = ¯y0(x) ∂y

∂n    _x∈F

= n^T∇y |x∈S = ¯y1(x)

Condizioni di Dirichlet per le equazioni ellittiche y |_x∈F = ¯y (x) Condizioni di Neumann per le equazioni ellittiche

∂y

∂n    _x∈F

= ¯y (x)

Condizioni miste per le equazioni ellittiche



αy + β∂y

∂n

   _x∈F

= ¯y (x)

dove α e β sono funzioni note.