Federica Gregorio e Cristian Tacelli
1 Sistemi lineari
Un sistema lineare m × n (m equazioni in n incognite) `e un insieme di equazioni lineari che devono essere soddisfatte contemporaneamente
a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 ...
am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn = bm
(1)
dove aij sono i coefficienti del sistema, bi i termini noti, xj le incognite, i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n.
Un sistema lineare si dice compatibile se ammette almeno una soluzione, i.e., esiste almeno una n-upla di elementi (x1, · · · , xn) che soddisfi (1), al- trimenti si dice incompatibile o impossibile. Pu`o accadere che un sistema di equazioni lineari ammetta pi`u di una soluzione. In quest’ultimo caso si dimostra che ne ammette infinite.
Esempio 1.1. (1) Il seguente sistema lineare di due equazioni in due incog- nite `e impossibile.
(x + y = 0 x + y = 1.
(2) Il sistema
(x + y = 0 3x + y = 1
`
e compatibile e ammette soluzione X = (x, y) = (12, −12).
(3) Il sistema
(x + y = 0 2x + 2y = 0
ammette come soluzione il vettore (x, y) = (−1, 1) ma anche (−2, 2).
Infatti, ammette infinite soluzioni del tipo (x, y) = (−t, t), t ∈ R.
Possiamo scrivere (1) in forma matriciale AX = B
dove A = (aij) ∈ Mm×n(R) `e la matrice dei coefficienti, X =
x1
... xn
∈
Mn×1(R) il vettore soluzione e B =
b1
... bm
∈ Mm×1(R) il termine noto. Si cerca il vettore X tale che AX = B.
1.1 Metodo di Gauss
Siano A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mm×1(R) e si consideri il sistema AX = B.
Definiamo (A|B) ∈ Mm×(n+1)(R) come la matrice costituita da A e come ultima colonna il vettore B, cio`e
(A|B) =
a11 · · · a1n b1 a21 · · · a2n b2 ... ... ... ... am1 · · · amn bm
.
(A|B) `e detta matrice completa di (1). Il metodo di Gauss consiste nella trasformazione del sistema lineare in un sistema triangolare equivalente. Le trasformazioni consentite sono
• scambio di righe;
• moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo;
• somma di una riga con una combinazione lineare delle altre.
Queste operazioni non alterano l’insieme delle soluzioni del sistema. Si ot- tiene dunque un sistema triangolare risolvibile col metodo di sostituzione all’indietro. Cominciamo con un esempio.
Esempio 1.2.
x + y − z = 1 x + 2y + z = 3 2x − 3y + z = 2
Effettuiamo la riduzione del sistema ad un sistema triangolare tramite le ma- trici associate al sistema. Scriviamo dunque la matrice (A|B) e la riduciamo a una matrice a scalini.
1 1 −1 1
1 2 1 3
2 −3 1 2
1 1 −1 1
0 1 2 2
0 5 −3 0
1 1 −1 1
0 1 2 2
0 0 13 10
Riscriviamo il sistema associato a quest’ultima matrice
x + y − z = 1 y + 2z = 2 13z = 10.
Questo `e un sistema triangolare risolvibile dunque con una sostituzione all’indietro.
Cio`e, ricaviamo la variabile z dall’ultima equazione la sostituiamo nella sec- onda, ricaviamo y, sostituiamo nella prima e otteniamo x = 1713, y = 136 , z =
10 13.
Teorema 1.3 (Teorema di Rouch`e-Capelli). Dati A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mm×1(R). Il sistema AX = B ammette soluzione se e solo se rank A = rank(A|B). Inoltre, se il sistema `e compatibile e r = rank A = rank(A|B), allora il sistema ammette un’unica soluzione se e soltanto se r = n (r `e uguale al numero delle incognite). Il sistema ammette infinite soluzioni (pre- cisamente ∞n−r, i.e., infinite soluzioni dipendenti da n − r parametri) se e soltanto se r < n.
Proof. Dimostriamo solo la prima parte. Poich`e ciascun sistema lineare `e equivalente ad un sistema a scalini, considero il sistema triangolare. Esso `e compatibile se e soltanto se il pivot pi`u in basso si trova in A e quindi se e soltanto se A e (A|B) hanno lo stesso numero di pivot, il che equivale a dire rank A = rank(A|B). Infatti, se l’ultimo pivot, chiamiamolo b, b 6= 0, si trova nell’ultima colonna avr`o nel sistema un’equazione del tipo 0 = b che rende il sistema incompatibile.
1.2 Metodo di Cramer
Consideriamo sistemi quadrati, n = m. Siano A ∈ Mn(R) e B ∈ Mn×1(R).
Definiamo la matrice Bj ∈ Mn(R) ottenuta sostituendo la colonna j-sima di A con B, cio`e
B1 =
b1 a12 · · · a1n b2 a22 · · · a2n ... ... · · · ... bn an2 · · · ann
, · · · , Bn=
a11 · · · a1(n−1) b1 a21 · · · a2(n−1) b2 ... ... · · · ... an1 · · · an(n−1) bn
Teorema 1.4. Sia A ∈ Mn(R) e B ∈ Mn×1(R). Se det A 6= 0, allora il sistema AX = B ammette un’unica soluzione X ∈ Mn×1(R) data da
x1 = det B1
det A, x2 = det B2
det A, · · · , xn = det Bn det A .
Proof. Se det A 6= 0, allora A `e invertibile. Quindi X = A−1B. Ricordiamo che A−1 = det A1 ((−1)i+jdet Aji). Risulta dunque
X = 1
det A
(−1)1+1det A11b1+ · · · + (−1)1+ndet An1bn
...
(−1)n+1det A1nb1+ · · · + (−1)n+ndet Annbn
= 1
det A
det B1
... det Bn
.
1.3 Sistemi omogenei
Un sistema lineare si dice omogeneo se il vettore dei termini noti `e il vettore nullo. Quindi un sistema omogeneo `e del tipo
AX = 0
con A ∈ Mm×n(R). Un sistema omogeneo `e sempre compatibile poich`e es- iste almeno la soluzione banale X = 0. La soluzione banale non `e sempre l’unica (vedi Esempio 1.1 (3)). Vogliamo dunque stabilire un criterio per capire quando il sistema ammette altre soluzioni oltre la banale. Sappiamo in generale che un sistema pu`o essere incompatibile, avere infinite soluzioni o avere un’unica soluzione. Per un sistema omogeneo la prima alternativa non si realizza mai, dunque o esiste un’unica soluzione, la banale, o esistono infi- nite soluzioni. Come conseguenza del teorema di Rouch´e-Capelli otteniamo il seguente teorema.
Teorema 1.5. Sia A ∈ Mm×n(R). Il sistema AX = 0 ammette soluzioni non banali (e dunque infinite soluzioni) se e soltanto se rank A < n.
Corollario 1.6. Sia A ∈ Mn(R). Il sistema lineare omogeneo AX = 0 ammette infinite soluzioni se e soltanto se det A = 0.
Proof. Per il teorema precedente, avr`o infinite soluzioni se e soltanto se il rango di A `e minore di n. Essendo la matrice quadrata di ordine n (e il numero di incognite n), il rango di A sar`a minore di n se e soltanto se det A = 0.
Corollario 1.7. Sia A ∈ Mm×n(R) con m < n (numero di equazioni minori delle incognite). Il sistema AX = 0 ammette soluzioni non banali (e dunque infinite soluzioni).
Proof. Poich`e A `e m × n, il rango di A `e minore del minimo tra m e n, dunque m. Ma m < n, quindi rank A < n, quindi l’asserto segue dal teorema precedente.
1.4 Soluzioni di un sistema omogeneo
Proposizione 1.8. Sia A ∈ Mn(R). Le soluzioni del sistema lineare omo- geneo AX = 0 formano un sottospazio vettoriale di Rn.
Proof. Denotiamo con S = {X ∈ Rn|AX = 0} l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo. Per dimostrare che S `e un sottospazio di Rn utilizziamo la caratterizzazione e dimostriamo che la somma di elementi di S appartiene a S e il prodotto di un elemento di S con uno scalare sta in S. Siano dunque X, Y ∈ S. Poich`e il sistema `e lineare avremo che A(X + Y ) = AX + AY = 0 + 0 = 0 quindi X + Y `e ancora soluzione del sistema. Lo stesso avviene se si considera X ∈ S e λ ∈ R. Avremo A(λX) = λAX = λ0 = 0.
Esempio 1.9. Consideriamo il seguente sistema lineare omogeneo.
x + z = 0 4x + y = 0 6x + y + 2z = 0.
Cerchiamo le soluzioni riducendo a scalini la matrice dei coefficienti.
1 0 1 4 1 0 6 1 2
1 0 1 0 1 −4 0 0 0
Il rango di A `e due, quindi per il teorema di Rouch`e-Capelli il sistema am- mette ∞1 soluzioni che troviamo risolvendo
(x + z = 0 y − 4z = 0.
Otteniamo x = −4x e y = 4z. Le soluzioni di questo sistema formano un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 1.
S = {(−z, 4z, z)|z ∈ R}, dim S = 1, BS = {(−1, 4, 1)}.
1.5 Esercizi
Discutere la compatibilit`a dei seguenti sistemi lineari.
(1)
x + y = 1 x + y − z = 0 2x + 2y − 2z = 1
(2)
x + y − z = 1 x + 2y + z = 3 2x − 3y + z = 2 2x + 3y = 4
(3)
x − y + z = 6 2x + y − z = −3
−x − 2y + 2z = 9 5x + y − z = 0
(4)
(h − 1)y + hz = −1
−hx + (h − 1)y + z = 0 2x + z = −1
(5)
x − 4y + (1 − h)z = 0 2y + hz = h
hx + hz = 1
